次の問いに答えよ．

(1)赤玉$6$個と白玉$4$個が入っている袋から，同時に$2$個の玉を取り出す．このとき，赤玉$2$個を取り出す確率は，$\displaystyle \frac{1}{[ユ]}$である．また，白玉$2$個を取り出す確率は，$\displaystyle \frac{[ヨ]}{[ラリ]}$である．

(2)赤玉$4$個と白玉$2$個を袋$\mathrm{A}$，赤玉$2$個と白玉$2$個を袋$\mathrm{B}$それぞれ別の袋に入れ，おのおのの袋から$1$個の玉を取り出す．このとき，両方が赤玉である確率は，$\displaystyle \frac{1}{[ル]}$である．また，両方が白玉である確率は，$\displaystyle \frac{1}{[レ]}$である．

(3)赤玉$6$個と白玉$4$個が入っている袋に，新たに青玉$3$個を加え，同時に$2$個の玉を取り出す．このとき，それらが同じ色である確率は，$\displaystyle \frac{[ロ]}{[ワン]}$である．

放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}$上の点$\displaystyle \left( 4,\ \frac{17}{2} \right)$における接線を$\ell$とする．

(1)点$(4,\ 0)$を通り，接線$\ell$に直交する直線$m$の方程式は
\[ y=-\frac{[モ]}{[ヤ]}x+[ユ] \]
である．
(2)この放物線と直線$m$の$2$つの交点の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta$（ただし$\alpha>\beta$）とすれば$\alpha$は
\[ \alpha=\frac{-[ヨ]+\sqrt{[ラリ]}}{[ル]} \]
である．
(3)この放物線と直線$m$および直線$x=0$で囲まれた図形のうち第$1$象限にある部分の面積を$S_1$，放物線と直線$m$および直線$x=4$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．このとき$2$つの面積の差は
\[ S_2-S_1=\frac{[レロ]}{3} \]
である．

平行四辺形$\mathrm{ABCD}$を考える．辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{AD}$の長さは，それぞれ$3,\ 4$で，$\angle \mathrm{ABC}$は$60^\circ$であるとする．辺$\mathrm{AD}$と辺$\mathrm{BC}$の中点をそれぞれ，$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$とおく．また，線分$\mathrm{AN}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{CM}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}$とおく．以下の問に答えなさい．

(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{[ヘ]}{[ホ]} \overrightarrow{a}+\frac{[マ]}{[ミ]} \overrightarrow{b}$と表せる．また，$\displaystyle \mathrm{AP}=\frac{[ム] \sqrt{[メ]}}{[モ]}$となる．

(2)$\displaystyle \cos (\angle \mathrm{PAQ})=\frac{[ヤユ] \sqrt{[ヨ]}}{[ラリ]}$となる．
(3)三角形$\mathrm{ABP}$の外接円の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ルレロ]}}{[ワヲ]}$である．
(4)三角形$\mathrm{ABP}$の外心を$\mathrm{O}$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表しなさい．