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東京理科大学 私立 東京理科大学 2014年 第1問
白,赤,黄,緑の$4$色に光るライトがある.はじめ,ライトの色は白であり,$1$分経過するごとに,次のルールでライトの色が変わるものとする.ただし,ライトの色が白のときについては$n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$,それ以外の色のときについては$n=1,\ 2,\ \cdots$とする.

(i) $n$分後に白のとき,$n+1$分後ではそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で赤,黄,緑になる.
(ii) $n$分後に赤のとき,$n+1$分後ではそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で白,黄,緑になる.
(iii) $n$分後に黄のとき,$n+1$分後ではそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で白,赤,緑になる.
\mon[$\tokeishi$] $n$分後に緑のとき,$n+1$分後ではそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で白,赤,黄になる.

$n$を自然数とし,$n$分後にライトの色が白である確率を$P_n$,また,$n$分後にライトの色が赤である確率を$Q_n$とする.

(1)$\displaystyle P_2=\frac{[ア]}{[イ]},\ Q_2=\frac{[ウ]}{[エ]}$である.

(2)$P_n$および$Q_n$についての漸化式を利用すると,自然数$n$に対して,$n$が$3$以上のとき,


$\displaystyle P_n=\frac{[オ]}{[カ]} \left( [キ]-{\left( -\frac{[ク]}{[ケ]} \right)}^{n-1} \right)$

$\displaystyle Q_n=\frac{[コ]}{[サ]} \left( [シ]+\frac{[ス]}{[セ]} {\left( -\frac{[ソ]}{[タ]} \right)}^{n-1} \right)$


である.
愛知県立大学 公立 愛知県立大学 2012年 第1問
$3$行$3$列に置かれた$9$個のライトがある.スイッチを入れると,それぞれのライトは青,黄,赤のいずれかの色に等しい確率で点灯するものとする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)すべてのライトが同じ色で点灯する確率を求めよ.
(2)青,黄,赤の色が各$1$色ずつ点灯している行の数が$1$である確率を求めよ.
(3)青,黄,赤の色が各$1$色ずつ点灯している行の数の期待値を求めよ.
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「ライト」とは・・・

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