机のひきだし$\mathrm{A}$に$3$枚のメダル，ひきだし$\mathrm{B}$に$2$枚のメダルが入っている．ひきだし$\mathrm{A}$の各メダルの色は金，銀，銅のどれかであり，ひきだし$\mathrm{B}$の各メダルの色は金，銀のどちらかである．

(1)ひきだし$\mathrm{A}$のメダルの色が$2$種類である確率を求めよ．
(2)ひきだし$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をあわせたメダルの色が$2$種類である確率を求めよ．
(3)ひきだし$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をあわせてちょうど$3$枚の金メダルが入っていることがわかっているとき，ひきだし$\mathrm{A}$のメダルの色が$2$種類である確率を求めよ．

メダル$1$個を入れて，「一等賞」か「二等賞」か「はずれ」が出るゲーム機がある．一等賞だとメダル$10$個が戻り，二等賞だとメダル$2$個が戻り，はずれだとメダルは戻らない．二等賞が出る確率を$p$，はずれが出る確率を$q$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)メダルを$1$個もっている人が，$1$回ゲームをする．ゲーム終了後，手にしているメダルの個数の期待値を$p$と$q$を用いて表せ．
(2)メダルを$2$個もっている人が，$2$回ゲームをする．ゲーム終了後，$12$個のメダルを手にしている確率を$p$と$q$を用いて表せ．
(3)メダルを$3$個もっている人が，$3$回ゲームをする．ゲーム終了後，$12$個のメダルを手にしている確率を$p$と$q$を用いて表せ．
(4)メダルを$5$個もっている人が，$5$回ゲームをする．ゲーム終了後，$10$個のメダルを手にしている確率を$p$と$q$を用いて表せ．
(5)メダルを$5$個もっている人が，メダルがなくなるまでゲームをする．ちょうど$7$回目でゲームが終了する確率を$p$と$q$を用いて表せ．