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大阪大学 国立 大阪大学 2015年 第5問
$n$を$2$以上の整数とする.正方形の形に並んだ$n \times n$のマスに$0$または$1$のいずれかの数字を入れる.マスは上から第$1$行,第$2$行,$\cdots$,左から第$1$列,第$2$列,$\cdots$,と数える.数字の入れ方についての次の条件$p$を考える.

条件$p$:$1$から$n-1$までのどの整数$i,\ j$についても,第$i$行,第$i+1$行と第$j$列,第$j+1$列とが作る$2 \times 2$の$4$個のマスには$0$と$1$が$2$つずつ入る.
(図は省略)
(1)条件$p$を満たすとき,第$n$行と第$n$列の少なくとも一方には$0$と$1$が交互に現れることを示せ.
(2)条件$p$を満たすような数字の入れ方の総数$a_n$を求めよ.
静岡大学 国立 静岡大学 2015年 第2問
$1$つのコマと下の図のような$3$つのマス目$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$がある.コマが$\mathrm{A}$または$\mathrm{B}$にあるとき,さいころを投げて出た目の数だけ$\mathrm{C}$の方向にコマを進める.ただし,コマが途中で$\mathrm{C}$や$\mathrm{A}$に来たら,逆の方向に折り返して進める.これを$1$回の操作とする.$\mathrm{A}$または$\mathrm{B}$で止まった場合はその止まったマス目から操作を繰り返し,$\mathrm{C}$に止まった場合は操作を終了する.例えば,$\mathrm{A}$にコマがあり$3$の目が出たら$\mathrm{A} \to \mathrm{B} \to \mathrm{C} \to \mathrm{B}$とコマを進め,続けて操作を繰り返したとき$5$の目が出たら$\mathrm{B} \to \mathrm{C} \to \mathrm{B} \to \mathrm{A} \to \mathrm{B} \to \mathrm{C}$と進めて操作を終了する.

最初にコマを$\mathrm{A}$に置いて操作を始めるとき,次の問いに答えよ.


\begin{tabular}{|p{10mm}|p{10mm}|p{10mm}|}
\hline
$\mathrm{A}$ & $\mathrm{B}$ & $\mathrm{C}$ \\ \hline
\end{tabular}


(1)$1$回の操作で終了する確率$p_1$を求めよ.
(2)$2$回の操作で終了する確率$p_2$を求めよ.
(3)$n$回の操作で終了する確率$p_n$を$n$を用いて表せ.
静岡大学 国立 静岡大学 2015年 第4問
$1$つのコマと下の図のような$3$つのマス目$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$がある.コマが$\mathrm{A}$または$\mathrm{B}$にあるとき,さいころを投げて出た目の数だけ$\mathrm{C}$の方向にコマを進める.ただし,コマが途中で$\mathrm{C}$や$\mathrm{A}$に来たら,逆の方向に折り返して進める.これを$1$回の操作とする.$\mathrm{A}$または$\mathrm{B}$で止まった場合はその止まったマス目から操作を繰り返し,$\mathrm{C}$に止まった場合は操作を終了する.例えば,$\mathrm{A}$にコマがあり$3$の目が出たら$\mathrm{A} \to \mathrm{B} \to \mathrm{C} \to \mathrm{B}$とコマを進め,続けて操作を繰り返したとき$5$の目が出たら$\mathrm{B} \to \mathrm{C} \to \mathrm{B} \to \mathrm{A} \to \mathrm{B} \to \mathrm{C}$と進めて操作を終了する.

最初にコマを$\mathrm{A}$に置いて操作を始めるとき,次の問いに答えよ.


\begin{tabular}{|p{10mm}|p{10mm}|p{10mm}|}
\hline
$\mathrm{A}$ & $\mathrm{B}$ & $\mathrm{C}$ \\ \hline
\end{tabular}


(1)$1$回の操作で終了する確率$p_1$を求めよ.
(2)$2$回の操作で終了する確率$p_2$を求めよ.
(3)$n$回の操作で終了する確率$p_n$を$n$を用いて表せ.
龍谷大学 私立 龍谷大学 2014年 第3問
図のようなマス目で,初めに$\mathrm{S}$のマスにコマを置く.さいころをふり,下のルールに従ってコマを動かして,得点するゲームを行う.なお,$\mathrm{G}$のマスに入ったらゲームを終了する.

\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
\phantom{$\mathrm{G}$} & $\mathrm{G}$ & \phantom{$\mathrm{G}$} \\ \hline
& $\mathrm{S}$ & \\ \hline
\end{tabular}

\begin{itemize}
コマを動かすルール

さいころの目 \qquad 動かし方
\qquad $1,\ 2,\ 3$ \qquad 上に$1$マス
\qquad \phantom{$1,\ $} $4$ \phantom{$,\ 3$} \qquad \ 右に$1$マス
\qquad \phantom{$1,\ $} $5$ \phantom{$,\ 3$} \qquad \ 左に$1$マス
\qquad \phantom{$1,\ $} $6$ \phantom{$,\ 3$} \qquad \ 動かさない
ただし,動かす先のマスがない場合はコマを動かさない.

得点のルール

$(ⅰ)$ $1$回目の試行で$\mathrm{G}$のマスに入ったときは$3$点とする.
$(ⅱ)$ $2$回目の試行で$\mathrm{G}$のマスに入ったときは$2$点とする.
$(ⅲ)$ $3$回目の試行で$\mathrm{G}$のマスに入ったときは$1$点とする.
$\tokeishi$ $3$回までの試行で$\mathrm{G}$のマスに入らなかったときは$0$点とし,ゲームを終了する.

\end{itemize}

(1)得点が$2$点の確率を求めなさい.
(2)得点が$0$点の確率を求めなさい.
九州工業大学 国立 九州工業大学 2013年 第4問
右の図のような,縦方向に$5$行,横方向に$5$列の合計$25$個のマス目から, \\
異なる$5$個のマス目を選んでマス目に○をつける.以下の問いに答えよ.
\img{678_3147_2013_1}{15}


(1)すべての列に○がついているようなマス目の選び方の総数を求めよ.
(2)すべての行と列に○がついているようなマス目の選び方の総数を求めよ.
(3)○のついている列が$2$列,○のついていない列が$3$列になるようなマス \\
目の選び方の総数を求めよ.
(4)右の図のように,右上のマス目が選ばれて○がついており,かつ,×がついた対角線上のマス目を選んで○をつけることができないものとする.このとき,すべての行と列に○がついているようなマス目の選び方の総数を求めよ.
名古屋市立大学 公立 名古屋市立大学 2013年 第2問
文字$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,数字$1,\ 2,\ 3$と書かれたカードをそれぞれ$1$枚ずつ,合計$6$枚を箱に入れる.箱から無作為にカードを$2$枚引いて,図のような列$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$行$1,\ 2,\ 3$とする$3 \times 3$のマス目に以下のルールに従って,石を置くか取り除く試行を行う.
(図は省略)
\begin{itemize}
引いた$2$枚のカードが文字同士,数字同士の組み合わせである場合何もしない.
引いた$2$枚のカードが文字と数字の組み合わせだった場合,もし,その文字と数字に対応するマス目に石が置かれていない場合,石を置く.もしそのマス目に石が置かれている場合,石を取り除く.
カードは試行ごとに箱に戻すとする.
\end{itemize}
例えば,下図の状態のあとカードを引いて,カードが$\mathrm{B}$,$1$の組み合わせの場合,$\mathrm{B}$列$1$行のマス目に石を置く.カードの組み合わせが$\mathrm{A}$,$2$の場合は,$\mathrm{A}$列$2$行のマス目には石が置かれているのでそれを取り除く.
(図は省略)

ただし,第$1$回目の試行を開始する前には,マス目には石は置かれていない.次の問いに答えよ.

(1)第$1$回目の試行のあと,石がマス目に置かれている確率を求めよ.
(2)第$2$回目の試行のあと,石がマス目に置かれている確率を求めよ.
(3)第$3$回目の試行のあと,マス目に置かれている石の数の期待値を求めよ.
九州工業大学 国立 九州工業大学 2011年 第4問
図のような番号のついたマス目と駒とサイコロを使って,以下に示す規則にしたがうゲームを考える.

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline
\end{tabular}

\begin{itemize}
駒は最初0番のマス目に置く.
サイコロを投げ,出た目の数だけ駒を10番のマス目に向かって進める.
駒がちょうど10番のマス目に止まればゴールとする.
ただし,10番のマス目を超える場合は,その分だけ10番のマス目から0番のマス目側に戻る.
\end{itemize}
たとえば,7番のマス目に駒があり,出た目が5であった場合は,駒は8番のマス目に移動し,その次に出た目が2であった場合はゴールする.以下の問いに答えよ.

(1)2投目でゴールする確率を求めよ.
(2)2投目の後,9番のマス目に駒がある確率を求めよ.
(3)3投目でゴールする確率を求めよ.
(4)このゲームを使ってA,Bの2名が対戦する.Aから始めて,交互にサイコロを投げて各自の駒を進める試行を行ない,先にゴールした方を勝ちとする.ただし,どちらも2投以内でゴールしない場合は引き分けとする.引き分ける確率を求めよ.
(5)A,Bの駒をそれぞれ0番,$k$番$(0<k<10)$のマス目に置いて(4)と同様の対戦を開始するとき,Aが勝つ確率よりBが勝つ確率の方が高くなるための$k$の条件を求めよ.
防衛大学校 国立 防衛大学校 2011年 第3問
右の図のような格子状の道および斜めの道がある.次の場合の最短経路は何通りあるか.ただし,小さいマス目はすべて合同な正方形とする.
(図は省略)

(1)$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$まで行く.
(2)$\mathrm{A}$から斜めの道を通らずに$\mathrm{B}$まで行く.
(3)$\mathrm{A}$から$\mathrm{C}$まで行く.
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「マス」とは・・・

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