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東京理科大学 私立 東京理科大学 2012年 第1問
次の問いに答えよ.

(1)$1$から$9$までの番号が書かれた$9$個のポールが袋に入っている.この袋の中から$1$個のボールを取り出し,その番号を確認してからもとに戻す試行を考える.

(i) この試行を$3$回行ったとき,同じ番号のボールを少なくとも$2$回取り出す確率は$\displaystyle\frac{[ア][イ]}{[ウ][エ]}$である.

(ii) この試行を$2$回行ったとき,取り出したボールの番号の差が$1$以下となる確率は$\displaystyle\frac{[オ][カ]}{[キ][ク]}$である.

(2)$t$を$t>1$をみたす実数とし,$xy$平面上で次の方程式で表される$3$直線$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$を考える.
\[ \begin{array}{l}
\ell_1:tx-y=0 \\
\ell_2:x-ty-t^2=0 \\
\ell_3:x+ty-t^2=0
\end{array} \]
$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$で囲まれる三角形の面積を$S(t)$とし,この三角形の$x$軸の上側の部分の面積を$S_1(t)$,$x$軸の下側の部分の面積を$S_2(t)$とする.

(i) $S_2(t)=2S_1(t)$となる$t$の値は$t=\sqrt{[ケ]}$である.
(ii) $\displaystyle S(t)=\frac{t^{[コ]}}{t^{[サ]}-[シ]}$であり,$S(t)$を$t$で微分して符号を調べることにより,$S(t)$は$\displaystyle t=\left( \frac{[ス]}{[セ]} \right)^{\frac{[ソ]}{[タ]}}$で最小値をとることがわかり,最小値は
\[ \frac{7}{[チ]} \left( \frac{[ツ]}{[テ]} \right)^{\frac{[ト]}{[ナ]}} \]
となる.

(3)$p$を実数とし,方程式$\displaystyle x^3-px^2-\frac{13}{4}x+\frac{15}{8}=0$は$3$つの実数解$a,\ b,\ c (a>b>c)$をもつとする.$a+c=2b$をみたすとき,
\[ a=\frac{[ニ]}{[ヌ]},\quad b=\frac{[ネ]}{[ノ]},\quad c=\frac{[ハ]}{[ヒ]},\quad p=\frac{[フ]}{[ヘ]} \]
である.
(4)$\mathrm{O}$を原点とする空間内に$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$がある.
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=2,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=3 \]
であり,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$のどの$2$つのなす角も$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であるとする.$\mathrm{G}$を$\triangle \mathrm{ABC}$の重心とし,$\mathrm{M}$を$\mathrm{AB}$の中点,$\mathrm{N}$を$\mathrm{BC}$の中点,$\mathrm{L}$を$\mathrm{MN}$の中点とする.このとき,
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OG}}|=\frac{[ホ]}{[マ]},\quad |\overrightarrow{\mathrm{GL}}|=\frac{\sqrt{[ミ][ム]}}{[メ][モ]} \]
である.
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