「ボール」について
タグ「ボール」の検索結果
（1ページ目：全20問中1問～10問を表示）
私立 慶應義塾大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の$4$つの箱があり，$\mathrm{A}$の箱には$7$個の黒ボールと$3$個の白ボールが入っている．$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の箱にも黒ボールと白ボールが入っていて，どの箱においても$1$個を無作為に取り出したときに黒ボールである確率は$\alpha$である（$0<\alpha<1$）．また，少なくとも$3$個以上のボールがそれぞれの箱には入っている．このとき，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の箱からそれぞれ$3$個のボールを無作為に取り出し$\mathrm{A}$の箱に加えた後，$\mathrm{A}$の箱から$1$個のボールを無作為に取り出したときにそれが黒ボールである確率は
\[ \frac{[$1$][$2$]}{[$3$][$4$]}+\frac{[$5$][$6$]}{[$7$][$8$]} \alpha \]
である．
(2)$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$の$4$つの箱があり，$\mathrm{E}$の箱には$7$個の黒ボールと$3$個の白ボールが入っている．$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$の箱にも黒ボールと白ボールが入っていて，どの箱においても$1$個を無作為に取り出したときに黒ボールである確率は$\alpha$である（$0<\alpha<1$）．また，少なくとも$3$個以上のボールがそれぞれの箱には入っている．このとき，まず，$\mathrm{E}$と$\mathrm{F}$の箱からそれぞれ$3$個のボールを無作為に取り出し交換してもとの箱に戻し，次に，$\mathrm{E}$と$\mathrm{G}$の箱からそれぞれ$3$個のボールを無作為に取り出し交換してもとの箱に戻し，次に，$\mathrm{E}$と$\mathrm{H}$の箱からそれぞれ$3$個のボールを無作為に取り出し交換してもとの箱に戻した後，$\mathrm{E}$の箱から$1$個のボールを無作為に取り出したときにそれが黒ボールである確率は
\[ \frac{\kakkofour{$9$}{$10$}{$11$}{$12$}}{10000}+\frac{[$13$][$14$][$15$]}{1000} \alpha \]
である．
(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の$4$つの箱があり，$\mathrm{A}$の箱には$7$個の黒ボールと$3$個の白ボールが入っている．$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の箱にも黒ボールと白ボールが入っていて，どの箱においても$1$個を無作為に取り出したときに黒ボールである確率は$\alpha$である（$0<\alpha<1$）．また，少なくとも$3$個以上のボールがそれぞれの箱には入っている．このとき，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の箱からそれぞれ$3$個のボールを無作為に取り出し$\mathrm{A}$の箱に加えた後，$\mathrm{A}$の箱から$1$個のボールを無作為に取り出したときにそれが黒ボールである確率は
\[ \frac{[$1$][$2$]}{[$3$][$4$]}+\frac{[$5$][$6$]}{[$7$][$8$]} \alpha \]
である．
(2)$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$の$4$つの箱があり，$\mathrm{E}$の箱には$7$個の黒ボールと$3$個の白ボールが入っている．$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$の箱にも黒ボールと白ボールが入っていて，どの箱においても$1$個を無作為に取り出したときに黒ボールである確率は$\alpha$である（$0<\alpha<1$）．また，少なくとも$3$個以上のボールがそれぞれの箱には入っている．このとき，まず，$\mathrm{E}$と$\mathrm{F}$の箱からそれぞれ$3$個のボールを無作為に取り出し交換してもとの箱に戻し，次に，$\mathrm{E}$と$\mathrm{G}$の箱からそれぞれ$3$個のボールを無作為に取り出し交換してもとの箱に戻し，次に，$\mathrm{E}$と$\mathrm{H}$の箱からそれぞれ$3$個のボールを無作為に取り出し交換してもとの箱に戻した後，$\mathrm{E}$の箱から$1$個のボールを無作為に取り出したときにそれが黒ボールである確率は
\[ \frac{\kakkofour{$9$}{$10$}{$11$}{$12$}}{10000}+\frac{[$13$][$14$][$15$]}{1000} \alpha \]
である．
公立 名古屋市立大学 2016年 第3問$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人で交互にボールを的に向かって投げるゲームを行う．先にボールを的に当てた方を勝ちとしゲームを終了する．$\mathrm{A}$がボールを$1$回投げて的に当たる確率は$p$，$\mathrm{B}$がボールを$1$回投げて的に当たる確率は$q$である．ただし，$0<p<1$，$0<q<1$である．$\mathrm{A}$を先攻とし，$\mathrm{A}$の最初の投球を$1$回目，次の$\mathrm{B}$の投球を$2$回目，$\cdots$と数える．次の問いに答えよ．
(1)$n$回目の投球で$\mathrm{A}$がゲームに勝つ確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$がゲームに勝つ確率を求めよ．
(3)$\mathrm{B}$がゲームに勝つ確率が，$\mathrm{A}$が勝つ確率より高くなるときの$p,\ q$の条件を求めよ．また，その条件を満たす$(p,\ q)$の領域を横軸$p$，縦軸$q$の座標平面に図示せよ．
(1)$n$回目の投球で$\mathrm{A}$がゲームに勝つ確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$がゲームに勝つ確率を求めよ．
(3)$\mathrm{B}$がゲームに勝つ確率が，$\mathrm{A}$が勝つ確率より高くなるときの$p,\ q$の条件を求めよ．また，その条件を満たす$(p,\ q)$の領域を横軸$p$，縦軸$q$の座標平面に図示せよ．
国立 広島大学 2015年 第5問$n$を自然数とする．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$の$5$人が$1$個のボールをパスし続ける．最初に$\mathrm{A}$がボールを持っていて，$\mathrm{A}$は自分以外の誰かに同じ確率でボールをパスし，ボールを受けた人は，また自分以外の誰かに同じ確率でボールをパスし，以後同様にパスを続ける．$n$回パスしたとき，$\mathrm{B}$がボールを持っている確率を$p_n$とする．ここで，たとえば，$\mathrm{A} \to \mathrm{C} \to \mathrm{D} \to \mathrm{A} \to \mathrm{E}$の順にボールをパスすれば，$4$回パスしたと考える．次の問いに答えよ．
(1)$p_1,\ p_2,\ p_3,\ p_4$を求めよ．
(2)$p_n$を求めよ．
(1)$p_1,\ p_2,\ p_3,\ p_4$を求めよ．
(2)$p_n$を求めよ．
公立 横浜市立大学 2014年 第4問$n$を$4$以上の整数とする．$1$番から$n$番までの番号がふられたボールが$1$つずつある．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)以下のような操作でボールを$1$列に並べる：
(i) $1$番のボールを適当な位置におく．
(ii) $2$番のボールを$1$番のボールの左または右に同じ確率でおく．
(iii) $3$番のボールをすでに並んでいる$2$つのボールの左または間または右に同じ確率でおく．
\mon[$\tokeishi$] 以下$n$番まで番号順に，$k$番のボールを，すでに並んでいるボールの一番左または間または一番右に同じ確率でおく，ことを繰り返す．
例えば，左から$2$番，$1$番，$3$番のボールが並んでいるとき，$4$番のボールが$2$番と$1$番の間におかれる確率は$\displaystyle \frac{1}{4}$である．
$n$番のボールをおき終えたとき，$i$番のボールが左から$j$番目に並ぶ確率は$\displaystyle \frac{1}{n}$であることを証明せよ．ただし，$i$と$j$は$1$以上，$n$以下の整数とする．
(2)$(1)$のボールの列を，（左から）番号順に並び替えるため，以下の操作を考える：
隣り合った$2$つのボールの組で，左のボールの番号が右のそれより大きなもの（入れ替え可能な組と呼ぶ）が存在するとき，そのようなボールの組を$1$つ選び，入れ替える．
入れ替え可能な組が複数あった場合に，入れ替える組をどのように選んだとしても，この操作を繰り返すことにより，すべてのボールの列は，必ず番号順の列になることを証明せよ．
(3)$(2)$の操作の回数は，入れ替える組の選び方とは無関係であることを証明せよ．
(4)$(2)$においてボールの列を番号順に並べ替えるとき，$i$番のボールを，より番号の小さいボールと入れ替える回数の期待値を$E_i$とする．このとき，
\[ \sum_{i=1}^n E_i \]
を求めよ．
(1)以下のような操作でボールを$1$列に並べる：
(i) $1$番のボールを適当な位置におく．
(ii) $2$番のボールを$1$番のボールの左または右に同じ確率でおく．
(iii) $3$番のボールをすでに並んでいる$2$つのボールの左または間または右に同じ確率でおく．
\mon[$\tokeishi$] 以下$n$番まで番号順に，$k$番のボールを，すでに並んでいるボールの一番左または間または一番右に同じ確率でおく，ことを繰り返す．
例えば，左から$2$番，$1$番，$3$番のボールが並んでいるとき，$4$番のボールが$2$番と$1$番の間におかれる確率は$\displaystyle \frac{1}{4}$である．
$n$番のボールをおき終えたとき，$i$番のボールが左から$j$番目に並ぶ確率は$\displaystyle \frac{1}{n}$であることを証明せよ．ただし，$i$と$j$は$1$以上，$n$以下の整数とする．
(2)$(1)$のボールの列を，（左から）番号順に並び替えるため，以下の操作を考える：
隣り合った$2$つのボールの組で，左のボールの番号が右のそれより大きなもの（入れ替え可能な組と呼ぶ）が存在するとき，そのようなボールの組を$1$つ選び，入れ替える．
入れ替え可能な組が複数あった場合に，入れ替える組をどのように選んだとしても，この操作を繰り返すことにより，すべてのボールの列は，必ず番号順の列になることを証明せよ．
(3)$(2)$の操作の回数は，入れ替える組の選び方とは無関係であることを証明せよ．
(4)$(2)$においてボールの列を番号順に並べ替えるとき，$i$番のボールを，より番号の小さいボールと入れ替える回数の期待値を$E_i$とする．このとき，
\[ \sum_{i=1}^n E_i \]
を求めよ．
国立 滋賀大学 2013年 第2問$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人がそれぞれ$9$個のボールを持っていて，次のようなゲームを行う．まずどちらかが硬貨を投げ，表であれば$\mathrm{A}$の勝ち，裏であれば$\mathrm{B}$の勝ちとする．勝者は$0$から$3$までの数が$1$つずつ書かれた$4$枚のカードから無作為に$1$枚を取り出し，書かれている数だけ敗者からボールを受け取る．ただし，取り出したカードはもとに戻すものとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)このゲームを$2$回続けて行ったとき，$2$人の持っているボールの個数が同じである確率を求めよ．
(2)このゲームを$2$回続けて行ったとき，$\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$よりも$2$個多くボールを持っている確率を求めよ．
(3)このゲームを$3$回続けて行ったとき，$2$人の持っているボールの個数が同じである確率を求めよ．
(1)このゲームを$2$回続けて行ったとき，$2$人の持っているボールの個数が同じである確率を求めよ．
(2)このゲームを$2$回続けて行ったとき，$\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$よりも$2$個多くボールを持っている確率を求めよ．
(3)このゲームを$3$回続けて行ったとき，$2$人の持っているボールの個数が同じである確率を求めよ．
公立 福岡女子大学 2013年 第1問箱の中に，赤，青，黄，白，黒の$5$種類の色のボールがそれぞれ$2$個ずつ入っており，全部で$10$個ある．$10$個のボールには異なる番号が付けられている．以下の問に答えなさい．ただし，すべて整数値で解答しなさい．
(1)同時に$3$個取り出す場合の数を求めなさい．
(2)同時に$3$個取り出すとき，赤のボールが含まれる場合の数を求めなさい．
(1)同時に$3$個取り出す場合の数を求めなさい．
(2)同時に$3$個取り出すとき，赤のボールが含まれる場合の数を求めなさい．
公立 富山県立大学 2013年 第2問$2$から$21$までの整数がそれぞれ$1$つずつ書かれた$20$個のボールが，箱の中に入っている．まず，箱の中の$20$個のボールから$1$個を取り出し，そのボールに書かれた数を$p$とする．次に，箱の中の$19$個のボールから$1$個を取り出し，そのボールに書かれた数を$q$とする．このとき，次の確率を求めよ．
(1)$\log_{10}(p+q)=1$となる確率
(2)$\log_{10}p>\log_{10}q$となる確率
(3)$\log_pq>2$となる確率
(4)$2 \log_pq$が整数となる確率
(1)$\log_{10}(p+q)=1$となる確率
(2)$\log_{10}p>\log_{10}q$となる確率
(3)$\log_pq>2$となる確率
(4)$2 \log_pq$が整数となる確率
公立 横浜市立大学 2013年 第2問$n$個のボールと，$1$から$n$までの番号がふられた$n$個の空の箱がある．また，$1$から$n$の番号が書かれた$n$枚のカードが袋の中に入っている．いま，以下の手順に従いボールを箱の中に入れていくことを考える．
手順$1$ \quad 袋からカードを$1$枚無作為に取り出して，手順$2$に進む．
手順$2$ \quad 手順$1$で取り出したカードに書かれている番号の箱が，
\begin{itemize}
空ならば，そこにボールを$1$つ入れて，手順$3$へ進む．
空でなければ，カードを袋に戻さず手元に置き，手順$1$に戻る．
\end{itemize}
手順$3$ \quad 手元のすべてのカードを袋に戻す．この時点で，
\begin{itemize}
すべての箱にボールが入っていれば終了する．
空の箱が$1$つでもあれば，手順$1$に戻る．
\end{itemize}
また，$1 \leqq k \leqq n$を満たす自然数$k$について，$k-1$個目のボールを箱に入れ終わった状態（ただし，$k=1$のときは，はじめの状態とする）の後に，
\begin{itemize}
次のボール，すなわち$k$個目のボールを箱に入れるまでにちょうど$i$枚のカードを袋から取り出す確率を$P_k(i)$とし，
$i$枚のカードを袋から取り出してもまだ次のボールを箱に入れることができない確率を$Q_k(i)$とする．ただし，$Q_k(0)=1$とする．
\end{itemize}
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$n=4$のとき$P_3(1)$，$P_3(2)$，$Q_3(2)$をそれぞれ求めよ．
(2)$Q_k(i)$を$P_k(i+1)$，$P_k(i+2)$，$\cdots$，$P_k(k)$を用いて表せ．ただし，$0 \leqq i \leqq k-1$とする．
(3)$k-1$個目のボールを箱に入れてから$k$個目のボールを箱に入れるまでに袋から取り出すカードの枚数の期待値$E_k$は$Q_k(0)+Q_k(1)+\cdots +Q_k(k-1)$であることを示せ．
(4)不等式
\[ E_k \leqq \frac{n}{n-k+1} \]
が成り立つことを示せ．
(5)不等式
\[ E_1+E_2+\cdots +E_n \leqq n+n \log n \]
が成り立つことを示せ．
手順$1$ \quad 袋からカードを$1$枚無作為に取り出して，手順$2$に進む．
手順$2$ \quad 手順$1$で取り出したカードに書かれている番号の箱が，
\begin{itemize}
空ならば，そこにボールを$1$つ入れて，手順$3$へ進む．
空でなければ，カードを袋に戻さず手元に置き，手順$1$に戻る．
\end{itemize}
手順$3$ \quad 手元のすべてのカードを袋に戻す．この時点で，
\begin{itemize}
すべての箱にボールが入っていれば終了する．
空の箱が$1$つでもあれば，手順$1$に戻る．
\end{itemize}
また，$1 \leqq k \leqq n$を満たす自然数$k$について，$k-1$個目のボールを箱に入れ終わった状態（ただし，$k=1$のときは，はじめの状態とする）の後に，
\begin{itemize}
次のボール，すなわち$k$個目のボールを箱に入れるまでにちょうど$i$枚のカードを袋から取り出す確率を$P_k(i)$とし，
$i$枚のカードを袋から取り出してもまだ次のボールを箱に入れることができない確率を$Q_k(i)$とする．ただし，$Q_k(0)=1$とする．
\end{itemize}
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$n=4$のとき$P_3(1)$，$P_3(2)$，$Q_3(2)$をそれぞれ求めよ．
(2)$Q_k(i)$を$P_k(i+1)$，$P_k(i+2)$，$\cdots$，$P_k(k)$を用いて表せ．ただし，$0 \leqq i \leqq k-1$とする．
(3)$k-1$個目のボールを箱に入れてから$k$個目のボールを箱に入れるまでに袋から取り出すカードの枚数の期待値$E_k$は$Q_k(0)+Q_k(1)+\cdots +Q_k(k-1)$であることを示せ．
(4)不等式
\[ E_k \leqq \frac{n}{n-k+1} \]
が成り立つことを示せ．
(5)不等式
\[ E_1+E_2+\cdots +E_n \leqq n+n \log n \]
が成り立つことを示せ．
公立 福岡女子大学 2013年 第1問箱の中に，赤，青，黄，白，黒の$5$種類の色のボールがそれぞれ$2$個ずつ入っており，全部で$10$個ある．$10$個のボールには異なる番号が付けられている．以下の問に答えなさい．ただし，すべて整数値で解答しなさい．
(1)同時に$3$個取り出す場合の数を求めなさい．
(2)同時に$3$個取り出すとき，赤のボールが含まれる場合の数を求めなさい．
(1)同時に$3$個取り出す場合の数を求めなさい．
(2)同時に$3$個取り出すとき，赤のボールが含まれる場合の数を求めなさい．
国立 鳥取大学 2012年 第1問袋の中に$1$から$10$までの自然数が$1$つずつ書かれたボールが$10$個入っている．次の問いに答えよ．
(1)袋の中から$3$個のボールを同時に取り出すとき，$3$個のボールに書かれた数の和が$8$になる確率を求めよ．
(2)袋から$1$個のボールを取り出して，書かれている数字を記録し袋に戻す．これを$3$回繰り返すとき，記録された$3$つの数字のうち，ちょうど$2$つが同じ数字になる確率を求めよ．
(1)袋の中から$3$個のボールを同時に取り出すとき，$3$個のボールに書かれた数の和が$8$になる確率を求めよ．
(2)袋から$1$個のボールを取り出して，書かれている数字を記録し袋に戻す．これを$3$回繰り返すとき，記録された$3$つの数字のうち，ちょうど$2$つが同じ数字になる確率を求めよ．