「ビーカー」について
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私立 神戸薬科大学 2015年 第3問ビーカー$\mathrm{A}$に濃度$10 \, \%$の食塩水$400 \, \mathrm{g}$が入っている．
\mon[操作] 「ビーカー$\mathrm{A}$の食塩水$100 \, \mathrm{g}$を取り除き，濃度$5 \, \%$の食塩水$100 \, \mathrm{g}$をビーカー$\mathrm{A}$に加えてよくかき混ぜる」を考える．
この操作を$n$回続けて行ったときのビーカー$\mathrm{A}$の食塩水の濃度を$a_n \, \%$とする．ただし，$\log_{10}2=0.301$，$\log_{10}3=0.477$とする．
(1)$a_1$を求めると，$a_1=[キ]$である．
(2)$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表すと，$a_{n+1}=[ク]$である．
(3)$a_n$を$n$の式で表すと，$a_n=[ケ]$である．
(4)ビーカー$\mathrm{A}$の食塩水の濃度がはじめて$5.001 \, \%$以下となる$n$を求めると，$n=[コ]$である．
\mon[操作] 「ビーカー$\mathrm{A}$の食塩水$100 \, \mathrm{g}$を取り除き，濃度$5 \, \%$の食塩水$100 \, \mathrm{g}$をビーカー$\mathrm{A}$に加えてよくかき混ぜる」を考える．
この操作を$n$回続けて行ったときのビーカー$\mathrm{A}$の食塩水の濃度を$a_n \, \%$とする．ただし，$\log_{10}2=0.301$，$\log_{10}3=0.477$とする．
(1)$a_1$を求めると，$a_1=[キ]$である．
(2)$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表すと，$a_{n+1}=[ク]$である．
(3)$a_n$を$n$の式で表すと，$a_n=[ケ]$である．
(4)ビーカー$\mathrm{A}$の食塩水の濃度がはじめて$5.001 \, \%$以下となる$n$を求めると，$n=[コ]$である．
私立 北海道医療大学 2013年 第2問ある薬品$30 \mathrm{g}$を純水$70 \mathrm{g}$に溶かした溶液が入ったビーカー$\mathrm{A}$と純水$100 \mathrm{g}$が入ったビーカー$\mathrm{B}$がある．今，次のような手順を繰り返して行うとする．
\mon[$①$] ビーカー$\mathrm{B}$の溶液のうち$50 \mathrm{g}$をビーカー$\mathrm{A}$に入れ，その後ビーカー$\mathrm{A}$の溶液をよくかき混ぜる．
\mon[$②$] できあがったビーカー$\mathrm{A}$の溶液のうち$50 \mathrm{g}$をビーカー$\mathrm{B}$に戻し，その後ビーカー$\mathrm{B}$の溶液をよくかき混ぜる．
(1)この手順を$1$回行った後のビーカー$\mathrm{A}$の溶液に含まれる薬品の重さを$a_1$，ビーカー$\mathrm{B}$の溶液に含まれる薬品の重さを$b_1$とする．$a_1,\ b_1$の値を求めよ．
(2)この手順を$n$回（$n \geqq 2$）行った後のビーカー$\mathrm{A}$の溶液に含まれる薬品の重さを$a_n$，ビーカー$\mathrm{B}$の溶液に含まれる薬品の重さを$b_n$とする．$a_n$を$a_{n-1},\ b_{n-1}$で表せ．また，$b_n$を$a_{n-1},\ b_{n-1}$で表せ．
(3)$c_n=a_n+b_n$と置くとき，$c_n$の値を求めよ．
(4)$d_n=a_n-b_n$と置くとき，$d_n$を$n$の式で表せ．
(5)ビーカー$\mathrm{A}$の溶液に含まれる薬品とビーカー$\mathrm{B}$の溶液に含まれる薬品の重さの差が$0.1 \mathrm{g}$以下になるのは，この手順を何回繰り返した後か．
(6)$a_n,\ b_n$を$n$の式で表せ．
\mon[$①$] ビーカー$\mathrm{B}$の溶液のうち$50 \mathrm{g}$をビーカー$\mathrm{A}$に入れ，その後ビーカー$\mathrm{A}$の溶液をよくかき混ぜる．
\mon[$②$] できあがったビーカー$\mathrm{A}$の溶液のうち$50 \mathrm{g}$をビーカー$\mathrm{B}$に戻し，その後ビーカー$\mathrm{B}$の溶液をよくかき混ぜる．
(1)この手順を$1$回行った後のビーカー$\mathrm{A}$の溶液に含まれる薬品の重さを$a_1$，ビーカー$\mathrm{B}$の溶液に含まれる薬品の重さを$b_1$とする．$a_1,\ b_1$の値を求めよ．
(2)この手順を$n$回（$n \geqq 2$）行った後のビーカー$\mathrm{A}$の溶液に含まれる薬品の重さを$a_n$，ビーカー$\mathrm{B}$の溶液に含まれる薬品の重さを$b_n$とする．$a_n$を$a_{n-1},\ b_{n-1}$で表せ．また，$b_n$を$a_{n-1},\ b_{n-1}$で表せ．
(3)$c_n=a_n+b_n$と置くとき，$c_n$の値を求めよ．
(4)$d_n=a_n-b_n$と置くとき，$d_n$を$n$の式で表せ．
(5)ビーカー$\mathrm{A}$の溶液に含まれる薬品とビーカー$\mathrm{B}$の溶液に含まれる薬品の重さの差が$0.1 \mathrm{g}$以下になるのは，この手順を何回繰り返した後か．
(6)$a_n,\ b_n$を$n$の式で表せ．