$p,\ q$を2つの正の整数とする．整数$a,\ b,\ c$で条件
\[ -q \leqq b \leqq 0 \leqq a \leqq p,\quad b \leqq c \leqq a \]
を満たすものを考え，このような$a,\ b,\ c$を$[a,\ b\ ;\ c]$の形に並べたものを$(p,\ q)$パターンと呼ぶ．各$(p,\ q)$パターン$[a,\ b\ ;\ c]$に対して
\[ w([a,\ b\ ;\ c]) = p-q-(a+b) \]
とおく．

(1)$(p,\ q)$パターンのうち，$w([a,\ b\ ;\ c])=-q$となるものの個数を求めよ．また，$w([a,\ b\ ;\ c])=p$となる$(p,\ q)$パターンの個数を求めよ．\\
以下$p=q$の場合を考える．
(2)$s$を整数とする．$(p,\ p)$パターンで$w([a,\ b\ ;\ c])=-p+s$となるものの個数を求めよ．
(3)$(p,\ p)$パターンの総数を求めよ．

$p$，$q$を2つの正の整数とする．整数$a$，$b$，$c$で条件
\[
-q\leqq b\leqq0\leqq a\leqq p,\quad b\leqq c\leqq a
\]
を満たすものを考え，このような$a$，$b$，$c$を$[a,\ b\ ;\ c]$の形に並べたものを$(p,\ q)$パターンと呼ぶ．各$(p,\ q)$パターン$[a,\ b\ ;\ c]$に対して
\[
w([a,\ b\ ;\ c])=p-q-(a+b)
\]
とおく．

(1)$(p,\ q)$パターンのうち，$w([a,\ b\ ;\ c])=-q$となるものの個数を求めよ．また，$w([a,\ b\ ;\ c])=p$となる$(p,\ q)$パターンの個数を求めよ．\\
以下$p=q$の場合を考える．
(2)$s$を$p$以下の整数とする．$(p,\ p)$パターンで$w([a,\ b\ ;\ c])=-p+s$となるものの個数を求めよ．

$2$つの野球チーム$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が優勝を争うシリーズ戦が行われる．先に$n$試合勝った方が優勝することにする．ただし，各試合において引き分けはないものとし，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が相手に勝つ確率はそれぞれ$p,\ q (p+q=1,\ p>0,\ q>0)$とする．このとき，以下の問に答えなさい．

(1)$n=3$のとき，$\mathrm{A}$が優勝する場合の勝敗パターンを試合総数の少ない順にすべて書きなさい．例えば，シリーズ各試合の勝ちチームが順に$\mathrm{A}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{A}$であったとき，この場合の勝敗パターンを$\mathrm{AABA}$で表すことにする．
(2)$n=3$のとき，$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めなさい．
(3)$n=4$のとき，$\mathrm{A}$が優勝する場合の勝敗パターンの総数と，$\mathrm{A}$が優勝する確率とを求めなさい．