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東京大学 国立 東京大学 2011年 第5問
$p,\ q$を2つの正の整数とする.整数$a,\ b,\ c$で条件
\[ -q \leqq b \leqq 0 \leqq a \leqq p,\quad b \leqq c \leqq a \]
を満たすものを考え,このような$a,\ b,\ c$を$[a,\ b\ ;\ c]$の形に並べたものを$(p,\ q)$パターンと呼ぶ.各$(p,\ q)$パターン$[a,\ b\ ;\ c]$に対して
\[ w([a,\ b\ ;\ c]) = p-q-(a+b) \]
とおく.

(1)$(p,\ q)$パターンのうち,$w([a,\ b\ ;\ c])=-q$となるものの個数を求めよ.また,$w([a,\ b\ ;\ c])=p$となる$(p,\ q)$パターンの個数を求めよ.\\
以下$p=q$の場合を考える.
(2)$s$を整数とする.$(p,\ p)$パターンで$w([a,\ b\ ;\ c])=-p+s$となるものの個数を求めよ.
(3)$(p,\ p)$パターンの総数を求めよ.
東京大学 国立 東京大学 2011年 第3問
$p$,$q$を2つの正の整数とする.整数$a$,$b$,$c$で条件
\[
-q\leqq b\leqq0\leqq a\leqq p,\quad b\leqq c\leqq a
\]
を満たすものを考え,このような$a$,$b$,$c$を$[a,\ b\ ;\ c]$の形に並べたものを$(p,\ q)$パターンと呼ぶ.各$(p,\ q)$パターン$[a,\ b\ ;\ c]$に対して
\[
w([a,\ b\ ;\ c])=p-q-(a+b)
\]
とおく.

(1)$(p,\ q)$パターンのうち,$w([a,\ b\ ;\ c])=-q$となるものの個数を求めよ.また,$w([a,\ b\ ;\ c])=p$となる$(p,\ q)$パターンの個数を求めよ.\\
以下$p=q$の場合を考える.
(2)$s$を$p$以下の整数とする.$(p,\ p)$パターンで$w([a,\ b\ ;\ c])=-p+s$となるものの個数を求めよ.
兵庫県立大学 公立 兵庫県立大学 2011年 第3問
$2$つの野球チーム$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が優勝を争うシリーズ戦が行われる.先に$n$試合勝った方が優勝することにする.ただし,各試合において引き分けはないものとし,$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が相手に勝つ確率はそれぞれ$p,\ q (p+q=1,\ p>0,\ q>0)$とする.このとき,以下の問に答えなさい.

(1)$n=3$のとき,$\mathrm{A}$が優勝する場合の勝敗パターンを試合総数の少ない順にすべて書きなさい.例えば,シリーズ各試合の勝ちチームが順に$\mathrm{A}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{A}$であったとき,この場合の勝敗パターンを$\mathrm{AABA}$で表すことにする.
(2)$n=3$のとき,$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めなさい.
(3)$n=4$のとき,$\mathrm{A}$が優勝する場合の勝敗パターンの総数と,$\mathrm{A}$が優勝する確率とを求めなさい.
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