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高知大学 国立 高知大学 2014年 第4問
$k$は$1$以上の整数であるとする.連続した整数が書かれた$2^k-1$枚のカードが$1$組あり,その中に無作為に選ばれた当たりが一枚だけ含まれているとする.次のようなルールで当たりのカードにたどりつくことを考える.

(i) カードのうち,ちょうど真ん中の整数の書かれたカードをひく.それが当たりなら終了する.
(ii) ハズレならば,真ん中の整数より大きいカードの組と小さいカードの組に分ける.
(iii) 当たりのカードの含まれた組を教えてもらい,その組に対して,$(ⅰ)$に戻って繰り返す.

このルールのもとで,ひいたカードの枚数の期待値を$E_k$とおく.このとき,次の問いに答えなさい.

(1)$E_1,\ E_2,\ E_3,\ E_4$を求めよ.
(2)$E_{k+1}$を$E_k$を用いて表せ.
(3)$\displaystyle d_k=E_k-\frac{1}{{2}^{k}}(E_k+1)$とおくとき,$d_k$のみたす漸化式を求めよ.
(4)$E_k$を求めよ.
(5)$\displaystyle \lim_{k \to \infty}(E_k-k)$を求めよ.ただし,$\displaystyle \lim_{k \to \infty} \frac{k}{{2}^{k}}=0$であることを用いてもよい.
釧路公立大学 公立 釧路公立大学 2012年 第2問
以下の各問に答えよ.

(1)次の式の展開式における$x^3y^3$の項の係数を求めよ.$(x-2y)^6$
(2)アタリくじ$3$枚とハズレくじ$7$枚が入っている箱がある.この箱からくじを$3$枚同時に取り出し,取り出されたアタリくじ$1$枚について$500$円を受け取るゲームがある.このゲームの参加料が何円未満であれば,このゲームに参加することが得であるといえるか求めよ.
(3)$3$辺が$\mathrm{AB}=12$,$\mathrm{BC}=13$,$\mathrm{CA}=5$である$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円と辺$\mathrm{BC}$,$\mathrm{CA}$,$\mathrm{AB}$の接点を,それぞれ$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$とする.$\mathrm{BP}$の長さと内接円の半径を求めよ.
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