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獨協医科大学 私立 獨協医科大学 2014年 第1問
次の問いに答えなさい.

(1)$a$を正の定数とし,$x$についての$2$つの不等式
$\log_3 (x+2a)+\log_3 (x+3a)<\log_3 10ax \cdots\cdots①$
$\log_3 (3x-4)+\log_3 (3x+2)<2 \log_9 (6x-5)+1 \cdots\cdots②$
を考える.
$①$の解は
\[ [ア]a<x<[イ]a \]
である.
$②$の解は
\[ \frac{[ウ]}{[エ]}<x<\frac{[オ]}{[カ]} \]
である.
$①,\ ②$をともに満たす実数$x$が存在するとき,$a$のとり得る値の範囲は
\[ \frac{[キ]}{[ク]}<a<\frac{[ケ]}{[コ]} \]
である.
(2)放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2$上に$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$がある.$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$p,\ q$としたとき,$p,\ q$は$q<p$を満たす整数で,$p>0$,$p+q$は正の偶数とする.
また,点$\mathrm{P}$における放物線$C$の接線を$\ell$,$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$を通る直線を$m$とし,直線$\ell,\ m$が$x$軸の正の向きとなす角をそれぞれ$\displaystyle \alpha,\ \beta \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2} \right)$,$2$直線$\ell,\ m$のなす角を$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とする.
$p=5,\ q=1$のとき
\[ \tan \alpha=[サ],\quad \tan \beta=[シ] \]
であり
\[ \tan \theta=\frac{1}{[ス]} \]
である.
また,$\displaystyle \tan \theta=\frac{1}{7}$を満たす整数$p,\ q$の組$(p,\ q)$をすべてあげると,
\[ (p,\ q)=([セ],\ [ソ]),\ ([タチ],\ [ツテ]),\ ([トナ],\ [ニヌネ]) \]
である.ただし,$[セ]<[タチ]<[トナ]$とする.
西南学院大学 私立 西南学院大学 2010年 第4問
$3$次関数$f(x)=x^3-9px^2+15p^2x-q$について,次の問に答えよ.

(1)$p=1$,$q=0$のとき,$x=[ナ]$で極小値$[ニヌネ]$をとり,$x=[ノ]$で極大値$[ハ]$をとる.
(2)$p$を正の定数とする.$f(x)=0$が$3$つの異なる実数解を持つときの$q$の範囲は,$[ヒフヘ]p^3<q<[ホ]p^3$である.
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「ニヌネ」とは・・・

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