「ナニ」について
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私立 明治大学 2012年 第3問$xy$平面上に点$\mathrm{P}(1,\ 0)$を中心とする円：$(x-1)^2+y^2=1$がある．この円周上に$4$点$\displaystyle \mathrm{A}(\frac{9}{5},\ \frac{3}{5})$，$\displaystyle \mathrm{B}(\frac{1}{13},\ \frac{5}{13})$，$\mathrm{C}(\alpha,\ \beta)$，$\mathrm{D}(\gamma,\ \delta)$がある．ただし，$\displaystyle \delta<-\frac{4}{5}$とする．$\angle \mathrm{ABC}=90^{\circ}$であり，三角形$\mathrm{ACD}$の面積は$\displaystyle \frac{63}{65}$であるとする．
(1)点$\mathrm{C}$の座標は，$\displaystyle\left( \frac{[ツ]}{[テ]},\ -\displaystyle\frac{[ト]}{[テ]} \right)$である．
(2)$\mathrm{AB}$の長さは$\displaystyle \frac{[ナニ] \sqrt{[ヌネ]}}{[ヌネ]}$であり，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BDC}=\frac{[ノ] \sqrt{[ハヒ]}}{[ハヒ]}$である．
(3)点$\mathrm{D}$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[フヘ]}{[ホマ]},\ -\frac{[ミム]}{[メモ]} \right)$であり，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BPD}=-\frac{[ヤユヨ]}{169}$である．
(1)点$\mathrm{C}$の座標は，$\displaystyle\left( \frac{[ツ]}{[テ]},\ -\displaystyle\frac{[ト]}{[テ]} \right)$である．
(2)$\mathrm{AB}$の長さは$\displaystyle \frac{[ナニ] \sqrt{[ヌネ]}}{[ヌネ]}$であり，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BDC}=\frac{[ノ] \sqrt{[ハヒ]}}{[ハヒ]}$である．
(3)点$\mathrm{D}$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[フヘ]}{[ホマ]},\ -\frac{[ミム]}{[メモ]} \right)$であり，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BPD}=-\frac{[ヤユヨ]}{169}$である．
私立 西南学院大学 2012年 第3問$a$は実数とする．$\displaystyle \int_a^x f(t) \, dt=3x^3-5x^2-4x+4$のとき，以下の問に答えよ．
(1)$f(x)=[サ]x^2-[シス]x-[セ]$である．
(2)$a$の値は小さい順に$[ソタ]$，$\displaystyle \frac{[チ]}{[ツ]}$，$[テ]$である．
(3)$\displaystyle b \int_{x-1}^{x+1}f(t) \, dt+cx=xf^\prime(x)-2$を満たす$b,\ c$は，$b=[ト]$，$c=[ナニ]$である．
(1)$f(x)=[サ]x^2-[シス]x-[セ]$である．
(2)$a$の値は小さい順に$[ソタ]$，$\displaystyle \frac{[チ]}{[ツ]}$，$[テ]$である．
(3)$\displaystyle b \int_{x-1}^{x+1}f(t) \, dt+cx=xf^\prime(x)-2$を満たす$b,\ c$は，$b=[ト]$，$c=[ナニ]$である．
私立 金沢工業大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$x=\sqrt{7}-\sqrt{3}$，$y=\sqrt{7}+\sqrt{3}$のとき，$\displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}$であり，$\displaystyle \frac{1}{x^3}-\frac{1}{y^3}=\frac{[ウ] \sqrt{[エ]}}{[オ]}$である．
(2)$(9x-5)(2x+3)+10x-41=([カ]x-[キ])([ク]x+[ケ])$である．
(3)連立不等式$\displaystyle \frac{5x-7}{3}-1 \leqq x+2<\frac{4x-3}{2}$の解は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}<x \leqq [シ]$である．
(4)等式$2 |x-1|+x-7=0$を満たす実数$x$の値は$[スセ]$と$[ソ]$である．
(5)男子$4$人，女子$3$人が$1$列に並ぶとき，男女が交互に並ぶ並び方は$[タチツ]$通りである．
(6)$1$から$9$までの整数を$1$つずつ書いたカードが$9$枚ある．この中から同時に$2$枚を取り出したとき，それらの整数の積が偶数である確率は$\displaystyle \frac{[テト]}{[ナニ]}$である．
(7)$0^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ$とする．$\displaystyle \sin \theta=\frac{1}{5}$のとき，
\[ \sin (180^\circ-\theta)+\cos (180^\circ-\theta)+\tan (90^\circ-\theta)=\frac{[ア]+[イ] \sqrt{[ウ]}}{[エ]} \]
である．
(8)$a,\ b$を正の整数の定数とする．$2$次関数$y=2x^2+(a-2)x+3-b$のグラフが$x$軸と接するとき，$a=[オ]$，$b=[カ]$，あるいは$a=[キ]$，$b=[ク]$である．ただし，$[オ]<[キ]$である．
(1)$x=\sqrt{7}-\sqrt{3}$，$y=\sqrt{7}+\sqrt{3}$のとき，$\displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}$であり，$\displaystyle \frac{1}{x^3}-\frac{1}{y^3}=\frac{[ウ] \sqrt{[エ]}}{[オ]}$である．
(2)$(9x-5)(2x+3)+10x-41=([カ]x-[キ])([ク]x+[ケ])$である．
(3)連立不等式$\displaystyle \frac{5x-7}{3}-1 \leqq x+2<\frac{4x-3}{2}$の解は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}<x \leqq [シ]$である．
(4)等式$2 |x-1|+x-7=0$を満たす実数$x$の値は$[スセ]$と$[ソ]$である．
(5)男子$4$人，女子$3$人が$1$列に並ぶとき，男女が交互に並ぶ並び方は$[タチツ]$通りである．
(6)$1$から$9$までの整数を$1$つずつ書いたカードが$9$枚ある．この中から同時に$2$枚を取り出したとき，それらの整数の積が偶数である確率は$\displaystyle \frac{[テト]}{[ナニ]}$である．
(7)$0^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ$とする．$\displaystyle \sin \theta=\frac{1}{5}$のとき，
\[ \sin (180^\circ-\theta)+\cos (180^\circ-\theta)+\tan (90^\circ-\theta)=\frac{[ア]+[イ] \sqrt{[ウ]}}{[エ]} \]
である．
(8)$a,\ b$を正の整数の定数とする．$2$次関数$y=2x^2+(a-2)x+3-b$のグラフが$x$軸と接するとき，$a=[オ]$，$b=[カ]$，あるいは$a=[キ]$，$b=[ク]$である．ただし，$[オ]<[キ]$である．
私立 青山学院大学 2012年 第2問次の定積分を求めよ．
(1)$\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^2 x \log x \, dx=\frac{[コサ]}{[シ]} \log [ス]-\frac{[セソ]}{[タチ]}$
(2)$\displaystyle \int_0^2 (x^2+2x+3) \log (x+1) \, dx=[ツテ] \log [ト]-\frac{[ナニ]}{[ヌ]}$
(1)$\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^2 x \log x \, dx=\frac{[コサ]}{[シ]} \log [ス]-\frac{[セソ]}{[タチ]}$
(2)$\displaystyle \int_0^2 (x^2+2x+3) \log (x+1) \, dx=[ツテ] \log [ト]-\frac{[ナニ]}{[ヌ]}$
私立 西南学院大学 2011年 第2問$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{AC}=2$，$\angle \mathrm{BAC}=60^\circ$の三角形$\mathrm{ABC}$がある．$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$，$\angle \mathrm{BAC}$の外角の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の延長との交点を$\mathrm{Q}$とし，$\angle \mathrm{APQ}=\theta$とするとき，以下の問に答えよ．
(1)$\mathrm{BC}=\sqrt{[サ]}$である．
(2)$\displaystyle \mathrm{AP}=\frac{[シ] \sqrt{[ス]}}{[セ]}$，$\displaystyle \mathrm{PQ}=\frac{[ソタ] \sqrt{[チ]}}{[ツ]}$であるから，$\displaystyle \cos \theta=\frac{\sqrt{[テト]}}{[ナニ]}$である．
(1)$\mathrm{BC}=\sqrt{[サ]}$である．
(2)$\displaystyle \mathrm{AP}=\frac{[シ] \sqrt{[ス]}}{[セ]}$，$\displaystyle \mathrm{PQ}=\frac{[ソタ] \sqrt{[チ]}}{[ツ]}$であるから，$\displaystyle \cos \theta=\frac{\sqrt{[テト]}}{[ナニ]}$である．
私立 西南学院大学 2010年 第3問次の問いに答えよ．
(1)$0^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ$のとき，
$4 \sin^2 \theta+2(1+\sqrt{3}) \cos \theta-(4+\sqrt{3})=0$を満たしている．このとき，$\theta=[テト]^\circ$，$[ナニ]^\circ$である．ただし，$[テト]^\circ<[ナニ]^\circ$とする．
(2)$0^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ$のとき，
$\displaystyle \tan \theta \left( \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}-\frac{\sin \theta}{\cos \theta}-3 \right)+3=0$を満たしている．このとき，$\theta=[ヌネ]^\circ$，$[ノハ]^\circ$である．ただし，$[ヌネ]^\circ<[ノハ]^\circ$とする．
(1)$0^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ$のとき，
$4 \sin^2 \theta+2(1+\sqrt{3}) \cos \theta-(4+\sqrt{3})=0$を満たしている．このとき，$\theta=[テト]^\circ$，$[ナニ]^\circ$である．ただし，$[テト]^\circ<[ナニ]^\circ$とする．
(2)$0^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ$のとき，
$\displaystyle \tan \theta \left( \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}-\frac{\sin \theta}{\cos \theta}-3 \right)+3=0$を満たしている．このとき，$\theta=[ヌネ]^\circ$，$[ノハ]^\circ$である．ただし，$[ヌネ]^\circ<[ノハ]^\circ$とする．