$a=\sqrt{7}+\sqrt{5},\ b=\sqrt{7}-\sqrt{5}$とおく．

(1)$\displaystyle \frac{b}{a}=[ア]-\sqrt{[イウ]}$，$\displaystyle \frac{a}{b} = [エ]+\sqrt{[オカ]}$である．

(2)$\displaystyle \frac{b}{a},\ \frac{a}{b}$を解にもつ$2$次方程式は$x^2-[キク]x+[ケ]=0$と書くことができる．
(3)$A=\left( \begin{array}{cc}
a & -b \\
\displaystyle\frac{1}{a} & \displaystyle\frac{1}{b}
\end{array} \right)$とおくとき，$A$の逆行列$A^{-1}$は
\[ A^{-1}=\left( \begin{array}{rr}
\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{[コサ]}+\frac{\sqrt{5}}{[シス]} & \displaystyle\frac{\sqrt{7}}{[セソ]}-\frac{\sqrt{5}}{[タチ]} \\ \\
-\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{[ツテ]}+\frac{\sqrt{5}}{[トナ]} & \displaystyle\frac{\sqrt{7}}{[ニヌ]}+\frac{\sqrt{5}}{[ネノ]}
\end{array} \right) \]

空欄$[　]$に当てはまるものを入れよ．

(1)$5$個の数字$0$，$1$，$2$，$3$，$4$を並べて$5$桁の整数を作る．小さい順にこれらの整数を並べたとき，$57$番目の整数は$\fbox{\footnotesize \phantom{a}アイウエオ\phantom{a}}$である．また，偶数である整数は$[カキ]$個あり，$4$の倍数である整数は$[クケ]$個ある．
(2)次の連立方程式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\log_xy+2 \log_y x=3 \\
\log_x(y^2+xy)=2
\end{array} \right. \]
の解は$\displaystyle x=\frac{-[コ]+\sqrt{[サ]}}{[シ]}$，$\displaystyle y=\frac{[ス]-\sqrt{[セ]}}{[ソ]}$である．
(3)自然数$1,\ 2,\ \cdots,\ n$の中から異なる二つの数を選んで積を作る．このような積全ての和を$S_n$とおく．ただし，$S_1=0$とする．$S_n$と$S_{n-1}$の間には漸化式
\[ S_n=S_{n-1}+n \cdot \frac{[タ]}{[チ]} \]
が成り立つ．これを使って，$S_n$を求めると
\[ S_n=\frac{1}{[ツテ]} \cdot n(n+1)([ト]) \]
となる．

原点を$\mathrm{O}$とし，下図のように$3$つの円$C_1$，$C_2$，$C_3$が互いに接している．$C_2$の中心を$\mathrm{O}_2$，$C_1$と$C_2$の接点を$\mathrm{P}$，$C_2$と$C_3$の接点を$\mathrm{Q}$，$C_3$と$C_1$の接点を$\mathrm{R}$とする．$C_1$と$C_2$の方程式が
\[ C_1:x^2+y^2=\left( \frac{\sqrt{3}-1}{2} \right)^2,\quad C_2:x^2+(y-\sqrt{3})^2=\left( \frac{\sqrt{3}+1}{2} \right)^2 \]
であるとき，以下の問に答えよ．
（図は省略）

(1)$\displaystyle C_3:(x-[シ])^2+y^2=\left( \frac{[ス]-\sqrt{[セ]}}{[ソ]} \right)^2$である．
(2)弧$\mathrm{RP}$は円$C_1$の短い方の弧を指すものとし，他の弧についても同様とする．また扇形$\mathrm{RPO}$とは弧$\mathrm{RP}$を含む扇形とする．このとき，扇形$\mathrm{PQO}_2$の面積は
\[ \frac{[タ]+\sqrt{[チ]}}{[ツテ]}\pi \]
であることより，$3$つの弧$\mathrm{PQ}$，$\mathrm{QR}$，$\mathrm{RP}$で囲まれる図形（図の斜線部）の面積は
\[ \frac{\sqrt{[ト]}}{[ナ]}-\frac{[ニ]-[ヌ] \sqrt{[ネ]}}{[ノ]} \pi \]
である．

関数$\displaystyle y=3 \log_8x+4 \log_4 4x-(\log_2x)^2 \left( \frac{1}{2} \leqq x \leqq 32 \right)$について考える．$t=\log_2x$とおく．

(1)$t$のとり得る値の範囲は$[クケ] \leqq t \leqq [コ]$である．
(2)$y=-t^2+[サ]t+[シ]$である．
(3)$y$は$x=[ス] \sqrt{[セ]}$で最大値$\displaystyle \frac{[ソタ]}{[チ]}$をとり，$x=[ツテ]$で最小値$[トナ]$をとる．

次の定積分を求めよ．

(1)$\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^2 x \log x \, dx=\frac{[コサ]}{[シ]} \log [ス]-\frac{[セソ]}{[タチ]}$

(2)$\displaystyle \int_0^2 (x^2+2x+3) \log (x+1) \, dx=[ツテ] \log [ト]-\frac{[ナニ]}{[ヌ]}$

次の問いに答えよ．

(1)$3x^2+6x-2=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．

(i) $\displaystyle \alpha^2\beta+\alpha\beta^2=\frac{[ア]}{[イ]}$である．

(ii) $\displaystyle (\alpha-\beta)^2=\frac{[ウエ]}{[オ]}$である．

(iii) $\alpha^3+\beta^3=[カキク]$である．

(2)平面上の$3$点$(-1,\ 9)$，$(0,\ 3)$，$(2,\ 3)$を通る放物線の方程式は$y=[ケ]x^2-[コ]x+[サ]$である．
(3)$\displaystyle f(x)=(\log_3 27x)(\log_3 \frac{x}{3})=(\log_3 x)^2+[シ] \log_3 x-[ス]$である．$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{[セ]}{[ソ]}$で最小値$[タチ]$をとる．
(4)$7$個の小石を$3$人の子供$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に配る．このとき，$1$個ももらえない子供はいないとする．また，小石は互いに区別されないものとする．

(i) 小石の配り方は$[ツテ]$通りである．
(ii) 子供$\mathrm{A}$にちょうど$3$個の小石が配られる確率は$\displaystyle \frac{[ト]}{[ナ]}$である．

放物線$y=x^2-4x-6$を$C_1$とし，$C_1$を$x,\ y$軸方向にそれぞれ$3,\ -9$だけ平行移動して得られる放物線を$C_2$とする．

(1)放物線$C_2$の方程式は$y=x^2-[サシ]x+[ス]$である．
(2)放物線$C_2$の頂点の座標は$([セ],\ [ソタチ])$である．
(3)放物線$C_1$と$C_2$の両方の頂点を通る直線の方程式は
\[ y=[ツテ]x-[ト] \]
である．

袋の中に，赤玉，青玉，白玉，黒玉が，それぞれ$5$個ずつ入っている．このとき，次の問に答えよ．

(1)袋から$2$個を同時に取り出すとき，その$2$個が同じ色である確率は$\displaystyle \frac{[ス]}{[セソ]}$である．
(2)袋から$3$個を同時に取り出すとき，そのうち$2$個だけが同じ色である確率は$\displaystyle \frac{[タチ]}{[ツテ]}$である．
(3)袋から$3$個を同時に取り出すとき，取り出した$3$個の色がすべて異なる確率は$\displaystyle \frac{[トナ]}{[ニヌ]}$である．

数列$\{a_n\}$を初項$1$，公差$\displaystyle \frac{1}{2}$の等差数列，$\{b_n\}$を初項$2$，公比$\displaystyle \frac{1}{2}$の等比数列とし，$\{c_n\}$を$c_1=3$，$c_{n+1}-c_n=n+1$で定まる数列とする．また，$\mathrm{O}$を原点とする座標空間の点$(a_n,\ b_n,\ c_n)$を$\mathrm{P}_n$とする．

(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}_n}=\left( \frac{[キ]}{[ク]} (n+[ケ]),\ 2^{[コ]-n},\ \frac{[サ]}{[シ]}(n^2+n+[ス]) \right)$である．

(2)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}}=\left( \frac{[セ]}{[ソ]},\ -[タ]^{1-n},\ n+[チ] \right)$である．

(3)$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}}|>100$となるような最小の自然数$n$は$[ツテ]$である．