ある競技の大会に，チーム$1$，チーム$2$，チーム$3$，チーム$4$が参加している．大会は予選と決勝戦からなる．まず，抽選によって，図のように$2$チームずつに分かれて予選を行う．次に，各予選の勝者が決勝戦を行う．過去の対戦成績から次のことが分かっている．

チーム$i$とチーム$j$（$1\leq i< j \leq 4$）が試合をするとき，確率$p$でチーム$j$が勝利し，確率$1-p$でチーム$i$が勝利する．ただし$0<p<1$である．

このとき，次の各問に答えよ．ただし，(1)，(2)，(3)は答のみ解答欄に記入せよ．

(1)チーム$1$が優勝する確率を求めよ．
(2)予選においてチーム$1$とチーム$2$が対戦する確率を求めよ．
(3)予選においてチーム$1$とチーム$2$が対戦するとき，チーム$2$が優勝する確率を求めよ．
(4)この大会においてチーム$2$が優勝する確率$f(p)$を求めよ．
(5)$f(p)$を最大にする$p$の値を求めよ．
（図は省略）

男子チームと女子チームがある．$1$から$8$までの数字が書かれた$8$枚のカードがある．カードを$1$枚引き，その数字が$5$以下であれば男子の勝ち，$5$より大きければ女子の勝ちになるゲームをする．引いたカードを戻さずにこのゲームを$3$回するとき，以下の問に答えよ．

(1)$3$回ともすべて男子の勝ちとなる確率を求めよ．
(2)$3$回のゲームで取り出したカードの数字の小さい順に，$X,\ Y,\ Z$とする．$X=2$のとき，少なくとも$1$回は男子が勝ちとなる場合の数を求めよ．
(3)$3$回のゲームで取り出したカードの数字の小さい順に，$X,\ Y,\ Z$とする．少なくとも$1$回は男子が勝ちとなる場合について$X$の期待値を求めよ．

$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$チームが試合をして，先に$3$勝したチームが優勝となる．$\mathrm{A}$が勝つ確率は$\displaystyle \frac{3}{5}$，$\mathrm{B}$が勝つ確率は$\displaystyle \frac{2}{5}$である．

(1)$\mathrm{A}$チームが，$1$試合目から$3$試合目までで$2$試合に勝ち，$4$試合目に勝って優勝する確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ．

$2$つの野球チーム$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が優勝を争うシリーズ戦が行われる．先に$n$試合勝った方が優勝することにする．ただし，各試合において引き分けはないものとし，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が相手に勝つ確率はそれぞれ$p,\ q (p+q=1,\ p>0,\ q>0)$とする．このとき，以下の問に答えなさい．

(1)$n=3$のとき，$\mathrm{A}$が優勝する場合の勝敗パターンを試合総数の少ない順にすべて書きなさい．例えば，シリーズ各試合の勝ちチームが順に$\mathrm{A}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{A}$であったとき，この場合の勝敗パターンを$\mathrm{AABA}$で表すことにする．
(2)$n=3$のとき，$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めなさい．
(3)$n=4$のとき，$\mathrm{A}$が優勝する場合の勝敗パターンの総数と，$\mathrm{A}$が優勝する確率とを求めなさい．