$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$チームが続けて試合を行い，先に$3$勝したほうが優勝とする．各試合で$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$のそれぞれが勝つ確率が$\displaystyle \frac{1}{4}$，引き分ける確率が$\displaystyle \frac{1}{2}$であるとき，次の問に答えよ．

(1)$3$試合目で優勝が決まる確率は$\displaystyle \frac{[$1$]}{[$2$][$3$]}$である．
(2)$5$試合が終了した時点で，まだ優勝が決まらない確率は$\displaystyle \frac{[$4$][$5$][$6$]}{[$7$][$8$][$9$]}$である．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \sin \theta \cos \theta=\frac{1}{8}$とする．ただし$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$とする．

(i) $\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}$，$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=-\frac{\sqrt{[ウ]}}{[エ]}$である．
(ii) $\displaystyle \cos 2\theta=\frac{\sqrt{[オカ]}}{[キ]}$，$\tan \theta=[ク]-\sqrt{[ケコ]}$である．

(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$の$5$チームがあり，それぞれのチームは他のチームと$1$回ずつ試合をする．$2$つのチームが対戦するときの勝敗の確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$とし，引き分けはないものとする．

(i) 試合は全部で$[サシ]$試合行われる．
(ii) $4$敗のチームが現れる確率は$\displaystyle \frac{[ス]}{[セソ]}$である．
(iii) $3$勝$1$敗のチームがちょうど$3$チーム現れる確率は$\displaystyle \frac{[タ]}{[チツテ]}$である．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \sin \theta \cos \theta=\frac{1}{8}$とする．ただし$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$とする．

(i) $\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}$，$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=-\frac{\sqrt{[ウ]}}{[エ]}$である．
(ii) $\displaystyle \cos 2\theta=\frac{\sqrt{[オカ]}}{[キ]}$，$\tan \theta=[ク]-\sqrt{[ケコ]}$である．

(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$の$5$チームがあり，それぞれのチームは他のチームと$1$回ずつ試合をする．$2$つのチームが対戦するときの勝敗の確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$とし，引き分けはないものとする．

(i) 試合は全部で$[サシ]$試合行われる．
(ii) $4$敗のチームが現れる確率は$\displaystyle \frac{[ス]}{[セソ]}$である．
(iii) $3$勝$1$敗のチームがちょうど$3$チーム現れる確率は$\displaystyle \frac{[タ]}{[チツテ]}$である．

$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$の$6$人の女子と$\mathrm{W}$，$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$，$\mathrm{Z}$の$4$人の男子の合計$10$人を$7$人と$3$人の$2$チームに分ける．ただし，どちらのチームにも少なくとも$1$人の男子が属するようにする．

(1)このようなチームの分け方は何通りあるか．
(2)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が同じチームに属するようなチームの分け方は何通りあるか．
(3)$\mathrm{F}$と$\mathrm{W}$が同じチームに属するようなチームの分け方は何通りあるか．
(4)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が異なるチームに属し，かつ，$\mathrm{F}$と$\mathrm{W}$も異なるチームに属するようなチームの分け方は何通りあるか．

男子$9$人，女子$5$人の合計$14$人の中から，バレーボールの選手を$6$人選んでチームをつくる．

(1)$6$人の選び方は全部で$\kakkofour{カ}{キ}{ク}{ケ}$通りある．
(2)男子$3$人，女子$3$人となる選び方は$[コ][サ][シ]$通りある．
(3)$6$人のチームが男女混合チームとなる選び方は$\kakkofour{ス}{セ}{ソ}{タ}$通りある．

$2$チームが試合をする．$1$回の試合で一方が勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$で，引き分けは起こらないとする．先に$4$勝したチームを優勝とするとき，下の問いに答えなさい．

(1)第$4$試合で優勝が決まる確率を求めなさい．
(2)第$7$試合で優勝が決まる確率を求めなさい．
(3)$2$チームの勝ち数の差が，優勝が決まるまで常に$1$以下である確率を求めなさい．ただし，「$2$チームの勝ち数の差が$\cdots$常に$1$以下」とは「優勝決定時も含めて勝ち数の差は$1$以下」という意味である．

$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$つの野球チームが戦い，先に$4$勝したチームを優勝とする．引き分けはないものとし，各試合で$\mathrm{A}$チームが$\mathrm{B}$チームに勝つ確率は$\displaystyle \frac{3}{5}$とする．次の各問に答えよ．

(1)$\mathrm{A}$チームが$4$勝$1$敗で優勝する確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$チームが最初の$2$試合で負けてしまった．その後，$\mathrm{A}$チームが優勝する確率を求めよ．
(3)$4$試合が終わって$\mathrm{A}$チームの$1$勝$3$敗になった．その後，どちらかのチームの優勝が決定するまでの残り試合数の期待値を求めよ．

あるスポーツの試合において，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$チームが対戦し，先に$3$回勝った方が優勝とする．$1$回の試合で$\mathrm{A}$が勝つ確率を$p$，$\mathrm{B}$が勝つ確率を$1-p$とする．

(1)$\displaystyle p=\frac{1}{3}$のときに，ちょうど$4$試合目で優勝チームが決まる確率は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$である．

(2)ちょうど$N$試合目で優勝チームが決まるとする．このとき，$0 \leqq p \leqq 1$の範囲で$N$の期待値の最大値は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$である．

$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$チームが試合を行い，どちらかが先に$k$勝するまで試合をくり返す．各試合で$\mathrm{A}$が勝つ確率を$p$，$\mathrm{B}$が勝つ確率を$q$とし，$p+q=1$とする．$\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$より先に$k$勝する確率を$P_k$とおく．

(1)$P_2$を$p$と$q$で表せ．
(2)$P_3$を$p$と$q$で表せ．
(3)$\displaystyle\frac{1}{2} < q < 1$のとき，$P_3 < P_2$であることを示せ．

$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$チームが試合を行い，どちらかが先に$k$勝するまで試合をくり返す．各試合で$\mathrm{A}$が勝つ確率を$p$，$\mathrm{B}$が勝つ確率を$q$とし，$p+q=1$とする．$\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$より先に$k$勝する確率を$P_k$とおく．

(1)$P_2$を$p$と$q$で表せ．
(2)$P_3$を$p$と$q$で表せ．
(3)$P_4$を$p$と$q$で表せ．
(4)$\displaystyle\frac{1}{2} < q < 1$のとき，$P_4 < P_3$であることを示せ．