次の各問に答えよ．

(1)折れ線$L:y=4 |x|-5 |x-2|+4 |x-3|$は
$x<0$のとき，$y=[アイ]x+[ウ]$
$0 \leqq x<2$のとき，$y=[エ]x+[オ]$
$2 \leqq x<3$のとき，$y=[カキ]x+[クケ]$
$3 \leqq x$のとき，$y=3x-2$
と表される．$L$と直線$y=2x+k$（$k$は定数）の共有点が$4$個となるような$k$の値の範囲は，$[コ]<k<[サ]$である．
(2)数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を初項$a_1=3$，公差$4$の等差数列とすると，$a_{50}=[シスセ]$である．数列$\{b_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を初項$b_1=5$で，$b_{50}=299$をみたす等差数列とすると，$\{b_n\}$の公差は$[ソ]$である．
集合$A,\ B$を
\[ A=\{a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_{50} \},\quad B=\{b_1,\ b_2,\ \cdots,\ b_{50} \} \]
と定める．共通部分$A \cap B$の要素のうち，最小のものは$[タチ]$であり，$A \cap B$の要素の個数は$[ツテ]$である．

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，次の極方程式で表される$2$つの曲線を考える．
\[ r=f(\theta)=3 \cos \theta,\quad r=g(\theta)=1+\cos \theta \]
ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とする．また，極座標が$(f(\theta),\ \theta)$，$(g(\theta),\ \theta)$である点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．

(1)点$\mathrm{P}$は，中心が直交座標で$\displaystyle \left( \frac{[ア]}{[イ]},\ [ウ] \right)$であり，半径が$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]}$である円の周上を動く．
(2)点$\mathrm{P}(f(\theta),\ \theta)$と点$\mathrm{Q}(g(\theta),\ \theta)$の間の距離は$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{[カ]}$および$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}\pi$のとき最小値$[ケ]$をとり，$\theta=[コ]$のとき最大値$[サ]$をとる．
(3)線分$\mathrm{PQ}$の中点が原点$\mathrm{O}$となるとき，点$\mathrm{P}$の直交座標は$\displaystyle \left( \frac{[シ]}{[スセ]},\ \pm \frac{[ソ] \sqrt{[タチ]}}{[ツテ]} \right)$である．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{5}+1}{2} \right)^3+\left( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right)^3=[ア] \sqrt{[イ]}$である．
(2)関数$y=-3x^2+6x (0 \leqq x \leqq 3)$の最大値は$[ウ]$で，最小値は$[エオ]$である．
(3)$2$次方程式$x^2-3x+3=0$の解は$\displaystyle x=\frac{[カ] \pm \sqrt{[キ]}i}{[ク]}$である．
(4)$\displaystyle \sin \theta \cos \theta=\frac{1}{2} (0 \leqq \theta \leqq {90}^\circ)$のとき

(i) $\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\sqrt{[ケ]}$である．
(ii) $\displaystyle \sin^3 \theta+\cos^3 \theta=\frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]}$である．

(5)正方形$\mathrm{ABCD}$の各辺に赤，青，黄，緑のいずれかの色を塗る．ただし，同じ色を$2$度以上使ってもよいものとする．

(i) 辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{BC}$が赤色になる塗り方は$[シス]$通りある．
(ii) $3$つの辺が赤色で，残りの$1$つの辺は赤色以外になる塗り方は$[セソ]$通りある．
(iii) 向かい合う辺は同じ色であるが，すべての辺が同じ色とはなっていない塗り方は$[タチ]$通りある．

次の問いに答えなさい．

(1)$a$を正の定数とし，$x$についての$2$つの不等式
$\log_3 (x+2a)+\log_3 (x+3a)<\log_3 10ax \cdots\cdots①$
$\log_3 (3x-4)+\log_3 (3x+2)<2 \log_9 (6x-5)+1 \cdots\cdots②$
を考える．
$①$の解は
\[ [ア]a<x<[イ]a \]
である．
$②$の解は
\[ \frac{[ウ]}{[エ]}<x<\frac{[オ]}{[カ]} \]
である．
$①,\ ②$をともに満たす実数$x$が存在するとき，$a$のとり得る値の範囲は
\[ \frac{[キ]}{[ク]}<a<\frac{[ケ]}{[コ]} \]
である．
(2)放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2$上に$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$がある．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$p,\ q$としたとき，$p,\ q$は$q<p$を満たす整数で，$p>0$，$p+q$は正の偶数とする．
また，点$\mathrm{P}$における放物線$C$の接線を$\ell$，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る直線を$m$とし，直線$\ell,\ m$が$x$軸の正の向きとなす角をそれぞれ$\displaystyle \alpha,\ \beta \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2} \right)$，$2$直線$\ell,\ m$のなす角を$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とする．
$p=5,\ q=1$のとき
\[ \tan \alpha=[サ],\quad \tan \beta=[シ] \]
であり
\[ \tan \theta=\frac{1}{[ス]} \]
である．
また，$\displaystyle \tan \theta=\frac{1}{7}$を満たす整数$p,\ q$の組$(p,\ q)$をすべてあげると，
\[ (p,\ q)=([セ],\ [ソ]),\ ([タチ],\ [ツテ]),\ ([トナ],\ [ニヌネ]) \]
である．ただし，$[セ]<[タチ]<[トナ]$とする．

次の各問の答えとして正しいものを選択肢から選びなさい．

(1)${10}^{-7} \times {10}^{-7}=[ア]$
\[ \nagamaruichi {10}^{14} \qquad \nagamaruni {10}^{-49} \qquad \nagamarusan {10}^{-14} \qquad \nagamarushi {10}^{49} \qquad \nagamarugo 10 \]
(2)$y={10}^{-x}$のグラフは$[イ]$である．
（図は省略）
(3)$\displaystyle y=\frac{Bx}{A+x}$（$A,\ B$は正の定数）において，$\displaystyle y=\frac{B}{2}$のときの$x$の値は，$[ウ]$である．
\[ \nagamaruichi B \qquad \nagamaruni A \qquad \nagamarusan \frac{A}{B} \qquad \nagamarushi \frac{B}{A} \qquad \nagamarugo AB \]
次の空所$[エ]$～$[テ]$を埋めよ．

(4)$\displaystyle \frac{-12}{(x+1)(x-3)}=\frac{[エ]}{x+1}+\frac{[オカ]}{x-3}$

(5)$\displaystyle \left( \sqrt{8}-\sqrt{\frac{4}{3}} \right) \left( \sqrt{\frac{3}{4}}+\sqrt{18} \right)=[キク]-\sqrt{[ケ]}$
(6)$(4^{\frac{3}{2}})^{\frac{-4}{3}}=\frac{[コ]}{[サシ]}$
(7)$\displaystyle \frac{1}{2} \log_2 6-\log_4 24=[スセ]$
(8)$(4x^2+5x-4) \div (x-2)=[ソ]x+[タチ]$，余り$[ツテ]$

両面が赤色のカードが$3$枚，片方の面が赤，もう片方の面が青のカードが$3$枚，片方の面が赤，もう片方の面が黄色のカードが$4$枚ある．この$10$枚のカードを袋に入れ，無作為に$1$枚を取り出しテーブルの上に置いたとき，以下の問に答えよ．ただし，カードをテーブルの上に置いたとき，見えている面をカードの表とする．


(1)カードの表が赤である確率は，$\displaystyle \frac{[サシ]}{[スセ]}$である．

(2)カードの表が赤であるとき，裏も赤である確率は，$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タチ]}$である．

(3)カードの表が赤であるとき，裏が黄色でない確率は，$\displaystyle \frac{[ツ]}{[テト]}$である．

$2$次方程式$kx^2+8kx+3k-9=0$が異なる$2$つの実数解$\alpha,\ \beta$をもつとき，以下の問に答えよ．

(1)$|\alpha-\beta|=8$のとき，$k=[コ]$となる．

(2)$8<|\alpha-\beta|<10$のとき，$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}<k<[ス]$となる．
(3)$8<|\alpha-\beta|<10$を満たし，$|\alpha|+|\beta|$が整数になるとき，$\displaystyle k=\frac{[セソ]}{[タチ]}$となる．

さいころを$3$回投げて$1$回目の数を$a$，$2$回目の数を$b$，$3$回目の数を$c$とおく．このとき，次の問に答えなさい．

(1)$a+b+c=6$となる確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イウエ]}$である．

(2)$abc \geqq 125$となる確率は$\displaystyle \frac{[オカ]}{[キクケ]}$である．

(3)$\displaystyle \frac{b}{a}$の期待値は$\displaystyle \frac{[コサシ]}{[スセソ]}$である．

(4)$\displaystyle \frac{bc}{a}$が整数となる確率は$\displaystyle \frac{[タチ]}{[ツテ]}$である．

座標平面上において，$2$点$\mathrm{A}(-2,\ 5)$，$\mathrm{B}(7,\ -1)$を通る直線を$\ell$とする．また，点$\mathrm{P}$は放物線$y=-3x^2$上を動く．

(1)線分$\mathrm{AB}$の長さは$[ア] \sqrt{[イウ]}$である．

(2)直線$\ell$の方程式は$\displaystyle y=-\frac{[エ]}{[オ]}x+\frac{[カキ]}{[ク]}$である．

(3)$\triangle \mathrm{ABP}$の面積の最小値は$\displaystyle \frac{[ケコ]}{[サ]}$であり，このとき点$\mathrm{P}$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[シ]}{[ス]},\ \frac{[セソ]}{[タチ]} \right)$である．

次の問いに答えよ．

(1)$3+\sqrt{2}$の小数部分を$a$とするとき，次の計算をせよ．

(i) $\displaystyle a+\frac{1}{a}=[ア] \sqrt{[イ]}$である．
(ii) $\displaystyle a^3-\frac{1}{a^3}=[ウエオ]$である．

(2)方程式$8 \cdot 4^x-129 \cdot 2^x+16=0$の解は$x=[カキ]$と$x=[ク]$である．
(3)$3$点$(0,\ 0)$，$(\cos {30}^\circ,\ \sin {30}^\circ)$，$(\sqrt{2} \cos \alpha,\ \sqrt{2} \sin \alpha)$を頂点とする三角形の面積が$\displaystyle \frac{1}{2}$であるとき$\alpha$の値は$[ケコ]^\circ$である．ただし${30}^\circ<\alpha \leqq {90}^\circ$とする．
(4)点$\mathrm{P}$が$xy$平面の原点$\mathrm{O}$にある．コインを投げ，表が出たならば点$\mathrm{P}$を$x$軸方向に$1$だけ動かし，裏が出たならば点$\mathrm{P}$を$y$軸方向に$1$だけ動かす．コインを$5$回投げたときの点$\mathrm{P}$の座標を$(x,\ y)$とする．

(i) $x$の最大値は$[サ]$，最小値は$[シ]$である．
(ii) $(x,\ y)=(2,\ 3)$となる場合の数は$[スセ]$通りである．

(iii) $(x,\ y)=(2,\ 3)$となる確率は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タチ]}$である．