次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}},\ y=\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$のとき，
\[ xy=\frac{[ア]}{[イ]},\quad x+y=\frac{[ウ] \sqrt{[エ]}}{[オ]} \]
である．
(2)$a,\ b$を定数とする．不等式$x-2a \leqq 3x+b \leqq x+2$の解が$4 \leqq x \leqq 5$であるとき，$a=[カ]$，$b=[キク]$である．
(3)$2$次方程式$x^2-3x-5=0$の解を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とするとき，

$m \leqq \alpha<m+1$を満たす整数$m$の値は$m=[ケコ]$，
$n \leqq \beta<n+1$を満たす整数$n$の値は$n=[サ]$

である．
(4)$6$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$を使ってできる$4$桁の整数のうち，$2$の倍数は$[シスセ]$個ある．ただし，同じ数字をくり返し使わないものとする．
(5)方程式$5x+7y=1 \cdots\cdots①$の整数解$x,\ y$を求める．
$5 \cdot 3+7 \cdot ([ソタ])=1 \cdots\cdots②$が成り立ち，$①,\ ②$から
\[ 5(x-3)+7(y+[チ])=0 \]
が成り立つ．よって，$x-3=[ツ]n$（$n$は整数）とおけるから，$①$のすべての整数解は
\[ x=[ツ]n+3,\quad y=[テト]n-[チ] \quad (n \text{は整数}) \]
と表せる．
(6)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=6$，$\displaystyle \cos A=\frac{9}{16}$であるとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[アイ] \sqrt{[ウ]}}{[エ]}$であり，その内接円の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{[オ]}}{[カ]}$である．
(7)$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{2}{3} (0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ)$のとき，$\displaystyle \sin^2 \theta-\cos^2 \theta=\frac{[キ] \sqrt{[クケ]}}{[コ]}$である．
(8)箱の中に赤玉$1$個，黄玉$2$個，白玉$2$個の計$5$個の玉がある．この$5$個の玉から$1$個の玉を取り出し，その色を確認して元に戻す．この試行をくり返して，赤玉を取り出すか，または，黄玉を$2$回取り出したときに試行を終了するものとする．このとき，$3$回目の試行で終了する確率は$\displaystyle \frac{[サシ]}{[スセソ]}$である．

次の$[　]$にあてはまるものを入れよ．

(1)$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{\sqrt{5}}{2}$のとき，
\[ \sin \theta \cos \theta=\frac{[ア]}{[イ]}, \tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}=[ウ], \sin^4 \theta+\cos^4 \theta=\frac{[エオ]}{[カキ]} \]
である．
(2)恒等式
\[ \frac{3}{(2x-1)(x+1)}=\frac{a}{2x-1}+\frac{b}{x+1} \]
が成り立つなら$a=[ク],\ b=[ケコ]$である．
(3)$xy$平面上の原点に中心を持つ，半径$3$の円に，点$\mathrm{P}(5,\ 0)$から接線を引いた．このとき，接点は$2$つあり，それらの$x$座標は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$である．また，接線の傾きは$\displaystyle \pm \frac{[ス]}{[セ]}$である．
(4)第$n$項が
\[ \frac{4}{n-\sqrt{4n+n^2}} \]
で表される数列の極限値は$[ソタ]$である．

$a$を定数とする．関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=7x+\int_1^x (at+5) \, dt$，$f^\prime(1)=4$で定める．

(1)$f(1)=[シ]$である．
(2)$a=[スセ]$である．
(3)$f(x)=[ソタ]x^2+[チツ]x-[テ]$である．
(4)$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{[ト]}{[ナ]}$で最大値$[ニ]$をとる．

$xy$平面上に放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{4}x^2+4$と点$\mathrm{P}(p,\ 0)$がある．ただし，$p \geqq 0$とする．$C$上の点$\displaystyle \left( p,\ \frac{1}{4}p^2+4 \right)$における$C$の接線を$\ell$とし，$\ell$に関して，$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{Q}(X,\ Y)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$p=0$のとき，$\mathrm{Q}(0,\ [ア])$である．
(2)$\ell$の方程式は$\displaystyle y=\frac{p}{[イ]}x-\frac{[ウ]}{[エ]}p^2+[オ]$である．線分$\mathrm{PQ}$の中点が$\ell$上にあることから
\[ Y=\frac{p}{[カ]}X+[キ] \cdots\cdots (*) \]
が成り立つ．
(3)$p>0$のとき，$\mathrm{Q}$が，$\mathrm{P}$を通り$\ell$と直交する直線上にあることから
\[ Y=\frac{[クケ]}{p}X+[コ] \cdots\cdots (**) \]
が成り立つ．$(*)$と$(**)$から$p$を消去することにより
\[ X^2+Y^2-[サシ]Y+[スセ]=0 \]
が成り立つことがわかる．
(4)$X$の最小値は$[ソタ]$であり，このとき$p=[チ]$である．$p$が$0$から$[チ]$まで変化するとき，線分$\mathrm{PQ}$が通過する部分の面積は$\displaystyle \frac{[ツ]}{[テ]} \pi+\frac{[トナ]}{[ニ]}$である．

関数$\displaystyle F(x)=\int_0^{2x} (x-t) \cos 3t \, dt$を考える．

(1)$\displaystyle F^\prime(x)=\frac{[ク]}{[ケ]} \sin [コ]x-[サ] x \cos [シ]x$より$\displaystyle F^\prime \left( \frac{\pi}{6} \right)=\frac{[ス]}{[セ]}$である．
(2)$\displaystyle F^{\prime\prime}(x)=[ソタ] x \sin [チ] x$より$\displaystyle F^{\prime\prime} \left( \frac{\pi}{6} \right)=[ツ]$である．

次の空所$[ア]$～$[タ]$を埋めよ．

赤玉が$5$個，青玉が$7$個，黄玉が$4$個入っている袋から，玉を同時に$3$個取り出した．

(1)玉の色の組み合わせは$[アイ]$通りである．
(2)取り出した$3$つの玉がすべて同じ色である確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エオ]}$である．
(3)取り出した$3$つの玉がすべて別の色である確率は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$である．
(4)赤玉を$2$点，青玉を$1$点，黄玉を$0$点とするとき，合計点が$4$点となる確率は$\displaystyle \frac{[クケ]}{[コサシ]}$である．
(5)$(4)$のように点数をつけるとき，合計点の期待値は$\displaystyle \frac{[スセ]}{[ソタ]}$である．

三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=\sqrt{6}$，$\mathrm{AC}=2 \sqrt{3}$，$\mathrm{BC}=3+\sqrt{3}$である．$\mathrm{A}$から$\mathrm{BC}$に垂線を下ろし，垂線の足を$\mathrm{H}$とする．このとき，
\[ \mathrm{AH}=\sqrt{[サ]},\quad \angle \mathrm{BAC}=[シスセ]^\circ \]
である．さらに，点$\mathrm{A}$が三角形$\mathrm{DBC}$の内接円の中心となるように点$\mathrm{D}$をとる．このとき，
\[ \mathrm{AD}^2=[ソタ]+[チツ] \sqrt{[テ]} \]
である．

$x$軸上を動く点$\mathrm{P}$があり，最初は原点にあるとする．$1$個のさいころを投げて，$1$か$2$の目が出たら点$\mathrm{P}$を正の方向に$2$だけ進め，その他の目が出たら負の方向に$1$だけ進めるものとする．以下の問に答えよ．

(1)さいころを$6$回投げたとき，$6$回目に点$\mathrm{P}$が原点に戻っている確率は$\displaystyle \frac{[クケ]}{[コサシ]}$である．

(2)さいころを$6$回投げたとき，$6$回目に点$\mathrm{P}$が原点に初めて戻っている確率は$\displaystyle \frac{[スセ]}{[コサシ]}$である．ただし，原点を通過した場合は，戻ったとはみなさない．
(3)さいころを$6$回投げたときに，点$\mathrm{P}$が原点に戻っているのが$2$度目である確率は$\displaystyle \frac{[ソタ]}{[チツ]}$である．ただし，原点を通過した場合は，戻ったとはみなさない．

点$(x,\ y)$が，$3$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(5,\ 0)$，$\mathrm{C}(2,\ 4)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$の内部および周上を動くとき，以下の問に答えよ．

(1)$3x+y$の最大値は$[ケコ]$となる．
(2)$x^2-2x+y^2+2y+2$の最小値は$\displaystyle \frac{[サシ]}{[スセ]}$となり，そのときの$x$の値は$\displaystyle \frac{[ソタ]}{[チツ]}$となる．

次の各問に答えよ．

(1)関数$f(x)=8 \cos 2x+9 \tan^2 x$は，$\displaystyle f(x)=[アイ] \cos^2 x+\frac{[ウ]}{\cos^2 x}-[エオ]$と変形できる．$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$において，$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{[カ]}{[キ]} \pi$のとき最小値$[ク]$をとる．
(2)$x$の不等式$\log_a(x+1)^2>\log_a \{9(x+5)\}$の解は，$a>1$のとき，$[ケコ]<x<[サシ]$，$[スセ]<x$であり，$0<a<1$のときは，$[サシ]<x<[ソタ]$，$[ソタ]<x<[スセ]$である．