次の空所$[ア]$～$[ト]$を埋めよ．

関数$\displaystyle f(x)=x^3+\frac{1}{2}ax^2-6x-\frac{1}{2}b$がある．ただし，
\[ a=\int_0^1 f(t) \, dt \cdots\cdots ① \qquad b=\int_{-1}^1 f(t) \, dt \cdots\cdots ② \]
とする．

(1)関数$f(x)$の不定積分は
\[ \int f(t) \, dt=\frac{1}{[ア]}t^4+\frac{1}{[イ]}at^3-[ウ]t^2-\frac{1}{[エ]}bt+C \quad \text{（$C$は積分定数）} \]
であり，式$①$，$②$より$a=-[オ]$，$\displaystyle b=-\frac{[カ]}{[キ]}$である．
(2)$y=f(x)$が表す曲線$A$において，$\displaystyle x=\frac{3}{2}$のときの接線$B$を$y=g(x)$とおくと，関数$f(x)$の導関数は
\[ f^\prime(x)=[ク]x^2-[ケ]x-[コ] \]
であるので，
\[ g(x)=-\frac{[サシ]}{[ス]}x-\frac{[セソ]}{[タ]} \]
である．
接点以外の，曲線$A$と接線$B$の交点は，$\displaystyle \left( -\frac{[チ]}{[ツ]},\ \frac{[テ]}{[ト]} \right)$である．

$2$次方程式$kx^2+8kx+3k-9=0$が異なる$2$つの実数解$\alpha,\ \beta$をもつとき，以下の問に答えよ．

(1)$|\alpha-\beta|=8$のとき，$k=[コ]$となる．

(2)$8<|\alpha-\beta|<10$のとき，$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}<k<[ス]$となる．
(3)$8<|\alpha-\beta|<10$を満たし，$|\alpha|+|\beta|$が整数になるとき，$\displaystyle k=\frac{[セソ]}{[タチ]}$となる．

次の各設問に答えよ．

(1)$a,\ b$が有理数である$x^2+ax+b=0$の一つの解が$2+\sqrt{3}$であるとき方程式
\[ ax^2-7x+2b=0 \]
の解は$\displaystyle x=[アイ],\ \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
(2)$x$を実数とすると$\displaystyle x^2+\frac{100}{x^2+1}$の最小値は$[オカ]$であり，そのときの$x$の値は$[キク],\ [ケ]$である．
(3)$\mathrm{RISUKU}$の$6$文字をバラバラにして一列に並べるとき，$\mathrm{KUSURI}$という文字になる確率は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サシス]}$である．
(4)$\displaystyle \int_{-3}^3 (x+1) |x-2| \, dx$の値は$\displaystyle \frac{[セソ]}{[タ]}$である．

$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上に，放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{4}x^2$がある．点$\mathrm{A}(2,\ 8)$を通る直線$\ell:y=t(x-2)+8$（ただし，$t$は定数）と$C$との$2$つの交点を結ぶ線分の中点を$\mathrm{M}(X,\ Y)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$C$と$\ell$との$2$つの交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta$とすると，$\alpha+\beta=[ア] t$である．$X,\ Y$を$t$を用いて表すと，$X=[イ] t$，$Y=[ウ] t^2-[エ] t+[オ]$である．
(2)$\mathrm{M}$が直線$\mathrm{OA}$上の点であるような$t$の値は小さい方から順に$[カ]$，$[キ]$である．
(3)$t$が$[カ]$から$[キ]$まで変化するときの$\mathrm{M}$の軌跡は，放物線
\[ D:y=\frac{[ク]}{[ケ]}x^2-x+[コ] \]
の$[サ] \leqq x \leqq [シ]$の部分である．
(4)$[カ] \leqq t \leqq [キ]$において，直線$\mathrm{OM}$が$D$に接するとき，$X=[ス]$である．また，$t$が$[カ]$から$[キ]$まで変化するとき，線分$\mathrm{OM}$が通過する部分の面積は$\displaystyle \frac{[セソ]}{[タ]}$である．

座標平面上において，$2$点$\mathrm{A}(-2,\ 5)$，$\mathrm{B}(7,\ -1)$を通る直線を$\ell$とする．また，点$\mathrm{P}$は放物線$y=-3x^2$上を動く．

(1)線分$\mathrm{AB}$の長さは$[ア] \sqrt{[イウ]}$である．

(2)直線$\ell$の方程式は$\displaystyle y=-\frac{[エ]}{[オ]}x+\frac{[カキ]}{[ク]}$である．

(3)$\triangle \mathrm{ABP}$の面積の最小値は$\displaystyle \frac{[ケコ]}{[サ]}$であり，このとき点$\mathrm{P}$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[シ]}{[ス]},\ \frac{[セソ]}{[タチ]} \right)$である．

次の$[　]$を埋めよ．

(1)方程式$9 \sin x-2 \cos^2 x-3=0 (0<x<\pi)$は
\[ [ア] \sin^2 x+[イ] \sin x-[ウ]=0 \]
となるから，解は$\displaystyle x=\frac{[エ]}{[オ]}\pi,\ \frac{[カ]}{[キ]}\pi$である．
(2)$a>0$，$b>0$のとき，$\displaystyle a+\frac{1}{a}$の最小値は$[ク]$で，$\displaystyle \left( a+\frac{2}{b} \right) \left( b+\frac{8}{a} \right)$の最小値は$[ケコ]$である．
(3)同じ大きさの白玉$6$個と赤玉$4$個が袋の中に入っている．この袋の中から同時に$3$個の玉をとりだして目印をつけてから袋にもどし，再び袋の中から$1$個の玉をとりだす．$2$回目にとりだされた玉が目印のついた白玉である確率は
\[ \frac{[サ]}{[シス]} \]
である．
(4)実数$x,\ y$が$x^2+y^2=1$を満たすとき，$2x+3y$の最大値は$\sqrt{[セソ]}$である．
(5)$x^{99}+x^{49}+1$を$x^2-1$で割った余りは，$[タ]x+[チ]$である．
(6)$2$つの方程式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
2x^2+(2a+5)x+5a=0 \\
2x^2+3ax+16=0
\end{array} \right. \]
が共通の解をもてば，$a=[ツテ]$または$\displaystyle a=\frac{[トナ]}{[ニ]}$である．

$a=\sqrt{7}+\sqrt{5},\ b=\sqrt{7}-\sqrt{5}$とおく．

(1)$\displaystyle \frac{b}{a}=[ア]-\sqrt{[イウ]}$，$\displaystyle \frac{a}{b} = [エ]+\sqrt{[オカ]}$である．

(2)$\displaystyle \frac{b}{a},\ \frac{a}{b}$を解にもつ$2$次方程式は$x^2-[キク]x+[ケ]=0$と書くことができる．
(3)$A=\left( \begin{array}{cc}
a & -b \\
\displaystyle\frac{1}{a} & \displaystyle\frac{1}{b}
\end{array} \right)$とおくとき，$A$の逆行列$A^{-1}$は
\[ A^{-1}=\left( \begin{array}{rr}
\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{[コサ]}+\frac{\sqrt{5}}{[シス]} & \displaystyle\frac{\sqrt{7}}{[セソ]}-\frac{\sqrt{5}}{[タチ]} \\ \\
-\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{[ツテ]}+\frac{\sqrt{5}}{[トナ]} & \displaystyle\frac{\sqrt{7}}{[ニヌ]}+\frac{\sqrt{5}}{[ネノ]}
\end{array} \right) \]

$n$を$2$以上の整数とする．

(1)平面上の平行な$2$直線上に，相異なる点がそれぞれ$n$個ずつある．これらの$2n$個の点から$3$点を選ぶ．

(i) $n=5$のとき，この選び方は全部で$[アイウ]$通りあり，選んだ$3$点が$1$直線上にあるような選び方は$[エオ]$通りある．
(ii) 選んだ$3$点が三角形をつくるような選び方は$\displaystyle \left( [カ]-[キ] \right)$通りある．
ただし，$[カ]$，$[キ]$については，以下の$①$～$\marukyu$からそれぞれ$1$つを選べ．ここで，同じものを何回選んでもよい．
\[ \begin{array}{lllllllll}
① n & & ② 2n & & ③ 3n & & ④ n^2 & & ⑤ 2n^2 \\
⑥ 3n^2 & & ④chi n^3 & & \maruhachi 2n^3 & & \marukyu 3n^3 & &
\end{array} \]

(2)$\mathrm{O}$を中心とする円の円周を等分する$2n$個の点がある．これらの$2n$個の点と点$\mathrm{O}$から$3$点を選ぶ．

(i) $n=3$のとき，選んだ$3$点が三角形をつくるような選び方は$[クケ]$通りある．

(ii) 選んだ$3$点が三角形をつくるような選び方は$\displaystyle \frac{n \left( [コ] n^{[サ]}-[シ] \right)}{[ス]}$通りある．
(iii) $n=12$のとき，選んだ$3$点が正三角形をつくるような選び方は$[セソ]$通りある．

以下の問に答えよ．

(1)$\displaystyle \pi \leqq \theta<2\pi,\ \cos \theta=\frac{3}{5}$のとき$\displaystyle \sin 2\theta=\frac{[ケコサ]}{[シス]}$，$\displaystyle \cos 2\theta=\frac{[セソ]}{[タチ]}$である．
(2)$\displaystyle \cos 15^\circ \cos 45^\circ \cos 75^\circ=\frac{\sqrt{[ツ]}}{[テ]}$である．
(3)$\sin 20^\circ+\sin 40^\circ-\cos 10^\circ=[ト]$である．

次の定積分を求めよ．

(1)$\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^2 x \log x \, dx=\frac{[コサ]}{[シ]} \log [ス]-\frac{[セソ]}{[タチ]}$

(2)$\displaystyle \int_0^2 (x^2+2x+3) \log (x+1) \, dx=[ツテ] \log [ト]-\frac{[ナニ]}{[ヌ]}$