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防衛医科大学校 国立 防衛医科大学校 2015年 第2問
スイッチを押すと,$0$から$n$までの整数が$1$つ表示される機械がある.表示される数字を$X$とすると,$X=k$となる確率$P(X=k)=C \alpha^k (k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n)$である.ただし,$C$は定数,$0<\alpha<1$である.

(1)$P(X=k)$を$\alpha$と$k$で表せ($k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n$).
(2)$P(X<k)>1-\alpha^k$であることを示せ($k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n+1$).
(3)確率$p$で$1$点もらえ,確率$1-p$で得点がもらえない試行を考える($0<p<1$).この試行を独立に$m$回行ったとき,$l$点($0 \leqq l \leqq m$)もらえる確率を$Q_{m,l}(p)$と表す.このとき,$m,\ l$を一定とし,$p$を変数とみなして以下の問に答えよ.

(i) $y=\log Q_{m,l}(p)$はどのような変化をするか.$p$を横軸,$y$を縦軸とする$y$のグラフの概形を描け.ただし,$\log$は自然対数である.
(ii) $Q_{m,l}(p)$を最大にする$p$を求めよ.

(4)$\displaystyle \alpha=\frac{1}{2}$とする.このとき,$Q_{2m,m}(P(X<k))$を最大にする$k (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n)$を求めよ.
学習院大学 私立 学習院大学 2014年 第2問
スイッチを入れたとき点灯しない確率が$p$である電灯がある.この電灯が,部屋$A$には$2$つ,部屋$B$には$3$つ,部屋$C$には$4$つ設置されていて,どの部屋も,半分以上の電灯が点灯すれば使用でき,半分未満では使用できない.部屋$A,\ B,\ C$が使用できない確率を,それぞれ$p_A,\ p_B,\ p_C$とする.

(1)$p_B$を$p$を用いて表せ.
(2)$p_A>p_C$となる$p$の範囲を求めよ.
愛知県立大学 公立 愛知県立大学 2012年 第1問
$3$行$3$列に置かれた$9$個のライトがある.スイッチを入れると,それぞれのライトは青,黄,赤のいずれかの色に等しい確率で点灯するものとする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)すべてのライトが同じ色で点灯する確率を求めよ.
(2)青,黄,赤の色が各$1$色ずつ点灯している行の数が$1$である確率を求めよ.
(3)青,黄,赤の色が各$1$色ずつ点灯している行の数の期待値を求めよ.
兵庫県立大学 公立 兵庫県立大学 2010年 第4問
図は各頂点および各辺が点灯する装置を表している.この装置ではスイッチを入れると,$4$つの頂点はそれぞれ独立に$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で,赤,黄,緑のいずれかの色で点灯する.また,各辺は,その両端の$2$つの頂点の色が一致していれば,これら$2$つの頂点と同じ色で点灯し,そうでない場合は青く点灯する.以下の問に答えなさい.
(図は省略)

(1)スイッチを入れたとき,辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{CD}$がともに青になる確率を求めなさい.
(2)スイッチを入れたとき,辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{CD}$が異なる色になる確率を求めなさい.
(3)スイッチを入れたとき,$4$つの辺の色がすべて青になる確率を求めなさい.
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