$3$人でジャンケンをする．各人はグー，チョキ，パーをそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で出すものとする．負けた人は脱落し，残った人で次回のジャンケンを行い（アイコのときは誰も脱落しない），勝ち残りが$1$人になるまでジャンケンを続ける．このとき各回の試行は独立とする．$3$人でジャンケンを始め，ジャンケンが$n$回目まで続いて$n$回目終了時に$2$人が残っている確率を$p_n$，$3$人が残っている確率を$q_n$とおく．

(1)$p_1,\ q_1$を求めよ．
(2)$p_n,\ q_n$がみたす漸化式を導き，$p_n,\ q_n$の一般項を求めよ．
(3)ちょうど$n$回目で$1$人の勝ち残りが決まる確率を求めよ．

$3$人でジャンケンをする．各人はグー，チョキ，パーをそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で出すものとする．負けた人は脱落し，残った人で次回のジャンケンを行い（アイコのときは誰も脱落しない），勝ち残りが$1$人になるまでジャンケンを続ける．このとき各回の試行は独立とする．$3$人でジャンケンを始め，ジャンケンが$n$回目まで続いて$n$回目終了時に$2$人が残っている確率を$p_n$，$3$人が残っている確率を$q_n$とおく．

(1)$p_1,\ q_1$を求めよ．
(2)$p_n,\ q_n$がみたす漸化式を導き，$p_n,\ q_n$の一般項を求めよ．
(3)ちょうど$n$回目で$1$人の勝ち残りが決まる確率を求めよ．

$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人がジャンケンを$6$回して，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の対戦成績が同じとなる確率は
\[ P=\frac{[ア][イ]}{[ウ][エ][オ]} \]
である．

複数の参加者がグー，チョキ，パーを出して勝敗を決めるジャンケンについて，以下の問いに答えよ．ただし，各参加者は，グー，チョキ，パーをそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で出すものとする．

(1)$4$人で一度だけジャンケンをするとき，$1$人だけが勝つ確率，$2$人が勝つ確率，$3$人が勝つ確率，引き分けになる確率をそれぞれ求めよ．
(2)$n$人で一度だけジャンケンをするとき，$r$人が勝つ確率を$n$と$r$を用いて表わせ．ただし，$n \geqq 2,\ 1 \leqq r < n$とする．
(3)$\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} {}_n \text{C}_r=2^n-2$が成り立つことを示し，$n$人で一度だけジャンケンをするとき，引き分けになる確率を$n$を用いて表わせ．ただし，$n \geqq 2$とする．