「シス」について
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私立 近畿大学 2013年 第3問$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} (x>0)$と直線$\ell:y=-2x+a$を考える．ただし，$a$は定数とする．
(1)$C$と$\ell$が$2$個の共有点をもつとき，$a$のとりうる値の範囲は，$a>[ア] \sqrt{[イ]}$である．
(2)$(1)$の条件のもとで，$C$と$\ell$の共有点を$x$座標の小さい順に$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．
(i) $\mathrm{P}$の$x$座標を$\alpha$，$\mathrm{Q}$の$x$座標を$\beta$とすると
\[ \alpha+\beta=\frac{a}{[ウ]},\quad \beta-\alpha=\frac{\sqrt{a^2-[エ]}}{[オ]},\quad \alpha\beta=\frac{[カ]}{[キ]} \]
である．
(ii) $\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は
\[ \frac{a \sqrt{a^2-[ク]}}{[ケ]} \]
である．
(iii) 線分$\mathrm{PQ}$の長さが$5$であるとき，$a=[コ] \sqrt{[サ]}$であり，このとき$C$と$\ell$で囲まれた部分の面積は
\[ \sqrt{[シス]}+\log ([セ]-\sqrt{[ソタ]}) \]
である．
(1)$C$と$\ell$が$2$個の共有点をもつとき，$a$のとりうる値の範囲は，$a>[ア] \sqrt{[イ]}$である．
(2)$(1)$の条件のもとで，$C$と$\ell$の共有点を$x$座標の小さい順に$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．
(i) $\mathrm{P}$の$x$座標を$\alpha$，$\mathrm{Q}$の$x$座標を$\beta$とすると
\[ \alpha+\beta=\frac{a}{[ウ]},\quad \beta-\alpha=\frac{\sqrt{a^2-[エ]}}{[オ]},\quad \alpha\beta=\frac{[カ]}{[キ]} \]
である．
(ii) $\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は
\[ \frac{a \sqrt{a^2-[ク]}}{[ケ]} \]
である．
(iii) 線分$\mathrm{PQ}$の長さが$5$であるとき，$a=[コ] \sqrt{[サ]}$であり，このとき$C$と$\ell$で囲まれた部分の面積は
\[ \sqrt{[シス]}+\log ([セ]-\sqrt{[ソタ]}) \]
である．
私立 玉川大学 2013年 第2問次の$[ ]$を埋めよ．
(1)方程式$9 \sin x-2 \cos^2 x-3=0 (0<x<\pi)$は
\[ [ア] \sin^2 x+[イ] \sin x-[ウ]=0 \]
となるから，解は$\displaystyle x=\frac{[エ]}{[オ]}\pi,\ \frac{[カ]}{[キ]}\pi$である．
(2)$a>0$，$b>0$のとき，$\displaystyle a+\frac{1}{a}$の最小値は$[ク]$で，$\displaystyle \left( a+\frac{2}{b} \right) \left( b+\frac{8}{a} \right)$の最小値は$[ケコ]$である．
(3)同じ大きさの白玉$6$個と赤玉$4$個が袋の中に入っている．この袋の中から同時に$3$個の玉をとりだして目印をつけてから袋にもどし，再び袋の中から$1$個の玉をとりだす．$2$回目にとりだされた玉が目印のついた白玉である確率は
\[ \frac{[サ]}{[シス]} \]
である．
(4)実数$x,\ y$が$x^2+y^2=1$を満たすとき，$2x+3y$の最大値は$\sqrt{[セソ]}$である．
(5)$x^{99}+x^{49}+1$を$x^2-1$で割った余りは，$[タ]x+[チ]$である．
(6)$2$つの方程式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
2x^2+(2a+5)x+5a=0 \\
2x^2+3ax+16=0
\end{array} \right. \]
が共通の解をもてば，$a=[ツテ]$または$\displaystyle a=\frac{[トナ]}{[ニ]}$である．
(1)方程式$9 \sin x-2 \cos^2 x-3=0 (0<x<\pi)$は
\[ [ア] \sin^2 x+[イ] \sin x-[ウ]=0 \]
となるから，解は$\displaystyle x=\frac{[エ]}{[オ]}\pi,\ \frac{[カ]}{[キ]}\pi$である．
(2)$a>0$，$b>0$のとき，$\displaystyle a+\frac{1}{a}$の最小値は$[ク]$で，$\displaystyle \left( a+\frac{2}{b} \right) \left( b+\frac{8}{a} \right)$の最小値は$[ケコ]$である．
(3)同じ大きさの白玉$6$個と赤玉$4$個が袋の中に入っている．この袋の中から同時に$3$個の玉をとりだして目印をつけてから袋にもどし，再び袋の中から$1$個の玉をとりだす．$2$回目にとりだされた玉が目印のついた白玉である確率は
\[ \frac{[サ]}{[シス]} \]
である．
(4)実数$x,\ y$が$x^2+y^2=1$を満たすとき，$2x+3y$の最大値は$\sqrt{[セソ]}$である．
(5)$x^{99}+x^{49}+1$を$x^2-1$で割った余りは，$[タ]x+[チ]$である．
(6)$2$つの方程式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
2x^2+(2a+5)x+5a=0 \\
2x^2+3ax+16=0
\end{array} \right. \]
が共通の解をもてば，$a=[ツテ]$または$\displaystyle a=\frac{[トナ]}{[ニ]}$である．
私立 東京理科大学 2012年 第1問$a=\sqrt{7}+\sqrt{5},\ b=\sqrt{7}-\sqrt{5}$とおく．
(1)$\displaystyle \frac{b}{a}=[ア]-\sqrt{[イウ]}$，$\displaystyle \frac{a}{b} = [エ]+\sqrt{[オカ]}$である．
(2)$\displaystyle \frac{b}{a},\ \frac{a}{b}$を解にもつ$2$次方程式は$x^2-[キク]x+[ケ]=0$と書くことができる．
(3)$A=\left( \begin{array}{cc}
a & -b \\
\displaystyle\frac{1}{a} & \displaystyle\frac{1}{b}
\end{array} \right)$とおくとき，$A$の逆行列$A^{-1}$は
\[ A^{-1}=\left( \begin{array}{rr}
\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{[コサ]}+\frac{\sqrt{5}}{[シス]} & \displaystyle\frac{\sqrt{7}}{[セソ]}-\frac{\sqrt{5}}{[タチ]} \\ \\
-\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{[ツテ]}+\frac{\sqrt{5}}{[トナ]} & \displaystyle\frac{\sqrt{7}}{[ニヌ]}+\frac{\sqrt{5}}{[ネノ]}
\end{array} \right) \]
(1)$\displaystyle \frac{b}{a}=[ア]-\sqrt{[イウ]}$，$\displaystyle \frac{a}{b} = [エ]+\sqrt{[オカ]}$である．
(2)$\displaystyle \frac{b}{a},\ \frac{a}{b}$を解にもつ$2$次方程式は$x^2-[キク]x+[ケ]=0$と書くことができる．
(3)$A=\left( \begin{array}{cc}
a & -b \\
\displaystyle\frac{1}{a} & \displaystyle\frac{1}{b}
\end{array} \right)$とおくとき，$A$の逆行列$A^{-1}$は
\[ A^{-1}=\left( \begin{array}{rr}
\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{[コサ]}+\frac{\sqrt{5}}{[シス]} & \displaystyle\frac{\sqrt{7}}{[セソ]}-\frac{\sqrt{5}}{[タチ]} \\ \\
-\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{[ツテ]}+\frac{\sqrt{5}}{[トナ]} & \displaystyle\frac{\sqrt{7}}{[ニヌ]}+\frac{\sqrt{5}}{[ネノ]}
\end{array} \right) \]
私立 法政大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$a>0$として，$x=\log_2 a$とおく．
$x=5$のとき，$a=[アイ]$である．次に，$2a \neq 1$のとき，不等式
\[ \log_2 256a > 3 \log_{2a} a\]
の左辺は$[ウ]+x$，右辺は$\displaystyle \frac{[エ]x}{[オ]+x}$である．したがって，上の不等式を満たす$x$の値の範囲は
\[ [カキ] < x < [クケ],\quad x > [コサ] \]
である．
(2)$\theta$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$を満たすとする．また，
\[ s=\frac{1}{4}\cos \theta, \quad t=\frac{16\sqrt{3}}{3}\sin \left( \theta+\frac{2}{3}\pi \right) \]
とおく．$s$のとり得る値の範囲は
\[ 2^{\frac{[シス]}{[セ]}} \leqq s \leqq 2^{[ソタ]} \]
であり，$t$のとり得る値の範囲は
\[ [チ]\sqrt{[ツ]} - \frac{[テ]\sqrt{[ト]}}{[ナ]} \leqq t \leqq [ニ] \]
である．
\[ st=[ヌ]+\frac{[ネ]\sqrt{[ノ]}}{[ハ]} \sin \left( 2\theta + \frac{[ヒ]}{[フ]}\pi \right) \]
であり，$st<1$となる$\theta$の値の範囲は，$\displaystyle \theta > \frac{\pi}{[ヘ]}$である．
(1)$a>0$として，$x=\log_2 a$とおく．
$x=5$のとき，$a=[アイ]$である．次に，$2a \neq 1$のとき，不等式
\[ \log_2 256a > 3 \log_{2a} a\]
の左辺は$[ウ]+x$，右辺は$\displaystyle \frac{[エ]x}{[オ]+x}$である．したがって，上の不等式を満たす$x$の値の範囲は
\[ [カキ] < x < [クケ],\quad x > [コサ] \]
である．
(2)$\theta$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$を満たすとする．また，
\[ s=\frac{1}{4}\cos \theta, \quad t=\frac{16\sqrt{3}}{3}\sin \left( \theta+\frac{2}{3}\pi \right) \]
とおく．$s$のとり得る値の範囲は
\[ 2^{\frac{[シス]}{[セ]}} \leqq s \leqq 2^{[ソタ]} \]
であり，$t$のとり得る値の範囲は
\[ [チ]\sqrt{[ツ]} - \frac{[テ]\sqrt{[ト]}}{[ナ]} \leqq t \leqq [ニ] \]
である．
\[ st=[ヌ]+\frac{[ネ]\sqrt{[ノ]}}{[ハ]} \sin \left( 2\theta + \frac{[ヒ]}{[フ]}\pi \right) \]
であり，$st<1$となる$\theta$の値の範囲は，$\displaystyle \theta > \frac{\pi}{[ヘ]}$である．
私立 西南学院大学 2012年 第3問$a$は実数とする．$\displaystyle \int_a^x f(t) \, dt=3x^3-5x^2-4x+4$のとき，以下の問に答えよ．
(1)$f(x)=[サ]x^2-[シス]x-[セ]$である．
(2)$a$の値は小さい順に$[ソタ]$，$\displaystyle \frac{[チ]}{[ツ]}$，$[テ]$である．
(3)$\displaystyle b \int_{x-1}^{x+1}f(t) \, dt+cx=xf^\prime(x)-2$を満たす$b,\ c$は，$b=[ト]$，$c=[ナニ]$である．
(1)$f(x)=[サ]x^2-[シス]x-[セ]$である．
(2)$a$の値は小さい順に$[ソタ]$，$\displaystyle \frac{[チ]}{[ツ]}$，$[テ]$である．
(3)$\displaystyle b \int_{x-1}^{x+1}f(t) \, dt+cx=xf^\prime(x)-2$を満たす$b,\ c$は，$b=[ト]$，$c=[ナニ]$である．
私立 西南学院大学 2012年 第2問以下の問に答えよ．
(1)$\displaystyle \pi \leqq \theta<2\pi,\ \cos \theta=\frac{3}{5}$のとき$\displaystyle \sin 2\theta=\frac{[ケコサ]}{[シス]}$，$\displaystyle \cos 2\theta=\frac{[セソ]}{[タチ]}$である．
(2)$\displaystyle \cos 15^\circ \cos 45^\circ \cos 75^\circ=\frac{\sqrt{[ツ]}}{[テ]}$である．
(3)$\sin 20^\circ+\sin 40^\circ-\cos 10^\circ=[ト]$である．
(1)$\displaystyle \pi \leqq \theta<2\pi,\ \cos \theta=\frac{3}{5}$のとき$\displaystyle \sin 2\theta=\frac{[ケコサ]}{[シス]}$，$\displaystyle \cos 2\theta=\frac{[セソ]}{[タチ]}$である．
(2)$\displaystyle \cos 15^\circ \cos 45^\circ \cos 75^\circ=\frac{\sqrt{[ツ]}}{[テ]}$である．
(3)$\sin 20^\circ+\sin 40^\circ-\cos 10^\circ=[ト]$である．
私立 金沢工業大学 2012年 第2問$a,\ b,\ c$を定数とする．関数$\displaystyle f(x)=\frac{ax+b}{x^2+c}$は$x=2$，$x=4$で極値をとり，$f(0)=3$を満たす．
(1)$a=[ク]$，$b=[ケコサ]$，$c=[シス]$である．
(2)関数$f(x)$は$x=[セ]$で極大値$[ソ]$をとり，$x=[タ]$で極小値$[チ]$をとる．
(1)$a=[ク]$，$b=[ケコサ]$，$c=[シス]$である．
(2)関数$f(x)$は$x=[セ]$で極大値$[ソ]$をとり，$x=[タ]$で極小値$[チ]$をとる．
私立 金沢工業大学 2012年 第6問$a,\ b$を定数とする．関数$f(x)=6x^2+2ax+b$は$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx=4$，$f(2)=2$を満たす．このとき，
(1)$a=[コサ]$，$b=[シス]$である．
(2)$x$軸と関数$y=f(x)$のグラフで囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソタ]}$である．
(1)$a=[コサ]$，$b=[シス]$である．
(2)$x$軸と関数$y=f(x)$のグラフで囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソタ]}$である．
私立 千葉工業大学 2012年 第3問次の各問に答えよ．
(1)$\displaystyle t=x-\frac{4}{x}$とおくと$\displaystyle t^2=x^2+\frac{[アイ]}{x^2}-[ウ]$である．$4$次方程式
\[ x^4-2x^3-16x^2+8x+16=0 \cdots\cdots (*) \]
の両辺に$\displaystyle \frac{1}{x^2}$をかけた方程式は，$\displaystyle t=x-\frac{4}{x}$を用いて，$t^2-[エ]t-[オ]=0$と表される．$4$次方程式$(*)$の解は$x=[カ] \pm [キ] \sqrt{[ク]}$，$[ケコ] \pm \sqrt{[サ]}$である．
(2)$5$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$から異なる$3$個を並べて$3$桁の整数をつくる．このような整数は全部で$[シス]$個あり，このうち，偶数は$[セソ]$個，$9$の倍数は$[タ]$個ある．また，偶数でもなく$9$の倍数でもないものは$[チツ]$個ある．
(1)$\displaystyle t=x-\frac{4}{x}$とおくと$\displaystyle t^2=x^2+\frac{[アイ]}{x^2}-[ウ]$である．$4$次方程式
\[ x^4-2x^3-16x^2+8x+16=0 \cdots\cdots (*) \]
の両辺に$\displaystyle \frac{1}{x^2}$をかけた方程式は，$\displaystyle t=x-\frac{4}{x}$を用いて，$t^2-[エ]t-[オ]=0$と表される．$4$次方程式$(*)$の解は$x=[カ] \pm [キ] \sqrt{[ク]}$，$[ケコ] \pm \sqrt{[サ]}$である．
(2)$5$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$から異なる$3$個を並べて$3$桁の整数をつくる．このような整数は全部で$[シス]$個あり，このうち，偶数は$[セソ]$個，$9$の倍数は$[タ]$個ある．また，偶数でもなく$9$の倍数でもないものは$[チツ]$個ある．
私立 千葉工業大学 2012年 第4問三角形$\mathrm{ABC}$は$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=7$であり，辺$\mathrm{BC}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{M}$とすると$\angle \mathrm{BAM}={60}^\circ$である．$\mathrm{AM}=x$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)三角形$\mathrm{ABM}$の面積を$x$を用いて表すと$\displaystyle \frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}x$である．また，$\mathrm{BM}:\mathrm{MC}=2:3$より，三角形$\mathrm{AMC}$の面積は$\displaystyle \frac{[ウ] \sqrt{[エ]}}{[オ]}x$である．
(2)$\displaystyle \sin \angle \mathrm{MAC}=\frac{[カ] \sqrt{[キ]}}{[クケ]}$であり，$\angle \mathrm{MAC}<{120}^\circ$であることから，$\cos \angle \mathrm{MAC}=\displaystyle\frac{[コサ]}{[シス]}$である．
(3)$\displaystyle \sin \angle \mathrm{BAC}=\frac{[セ] \sqrt{[ソ]}}{[タ]}$である．
(4)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[チ] \sqrt{[ツ]}$であり，$\displaystyle x=\frac{[テト]}{[ナ]}$である．
(1)三角形$\mathrm{ABM}$の面積を$x$を用いて表すと$\displaystyle \frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}x$である．また，$\mathrm{BM}:\mathrm{MC}=2:3$より，三角形$\mathrm{AMC}$の面積は$\displaystyle \frac{[ウ] \sqrt{[エ]}}{[オ]}x$である．
(2)$\displaystyle \sin \angle \mathrm{MAC}=\frac{[カ] \sqrt{[キ]}}{[クケ]}$であり，$\angle \mathrm{MAC}<{120}^\circ$であることから，$\cos \angle \mathrm{MAC}=\displaystyle\frac{[コサ]}{[シス]}$である．
(3)$\displaystyle \sin \angle \mathrm{BAC}=\frac{[セ] \sqrt{[ソ]}}{[タ]}$である．
(4)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[チ] \sqrt{[ツ]}$であり，$\displaystyle x=\frac{[テト]}{[ナ]}$である．