「サイクロイド」について
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国立 奈良教育大学 2015年 第4問$1$つの円が定直線に接しながらすべることなく回転するとき，円周上の定点$\mathrm{P}$のえがく軌跡をサイクロイドという．
（図は省略）
上の図を参考に，以下の設問に答えよ．
(1)円$\mathrm{C}$を半径$1$の円，定直線を$x$軸とし，円$\mathrm{C}$が$x$軸に原点$\mathrm{O}$で接するとき，定点$\mathrm{P}$が$\mathrm{O}$の位置にあったとする．円$\mathrm{C}$が角$\theta$だけ回転したとき，円$\mathrm{C}$の中心の座標を求めよ．
(2)円$\mathrm{C}$が角$\theta$だけ回転したときの点$\mathrm{P}$の位置を$(x,\ y)$とするとき，$x,\ y$をそれぞれ$\theta$を使って表せ．
(3)$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$において，$(2)$で与えられる点$\mathrm{P}$の軌跡（サイクロイド）と$x$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
（図は省略）
上の図を参考に，以下の設問に答えよ．
(1)円$\mathrm{C}$を半径$1$の円，定直線を$x$軸とし，円$\mathrm{C}$が$x$軸に原点$\mathrm{O}$で接するとき，定点$\mathrm{P}$が$\mathrm{O}$の位置にあったとする．円$\mathrm{C}$が角$\theta$だけ回転したとき，円$\mathrm{C}$の中心の座標を求めよ．
(2)円$\mathrm{C}$が角$\theta$だけ回転したときの点$\mathrm{P}$の位置を$(x,\ y)$とするとき，$x,\ y$をそれぞれ$\theta$を使って表せ．
(3)$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$において，$(2)$で与えられる点$\mathrm{P}$の軌跡（サイクロイド）と$x$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
私立 金沢工業大学 2013年 第6問座標平面において，媒介変数$t$の範囲が$0 \leqq t \leqq \pi$であるサイクロイド
\[ x=t-\sin t,\quad y=1-\cos t \]
を$C$とする．
(1)曲線$C$上で$y$座標が最大になる点を$\mathrm{A}$とすると，$\mathrm{A}$の座標は$([ア],\ [イ])$である．
(2)直線$y=x+k$がこの曲線$C$の$0<t \leqq \pi$の部分に接するのは$\displaystyle t=\frac{\pi}{[ウ]}$のときであり，その接点の座標は$\displaystyle \left( \frac{\pi}{[エ]}-[オ],\ [カ] \right)$である．このとき，$\displaystyle k=[キ]-\frac{\pi}{[ク]}$である．
(3)曲線$C$と$x$軸，および点$\mathrm{A}$を通り$y$軸に平行な直線$\ell$で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ]} \pi$である．
(4)$(2)$の接線，$x$軸および直線$\ell$とで囲まれた図形から$(3)$の図形を除いた部分の面積は$\displaystyle \frac{\pi^2}{[サ]}-\frac{\pi}{[シ]}+[ス]$である．
\[ x=t-\sin t,\quad y=1-\cos t \]
を$C$とする．
(1)曲線$C$上で$y$座標が最大になる点を$\mathrm{A}$とすると，$\mathrm{A}$の座標は$([ア],\ [イ])$である．
(2)直線$y=x+k$がこの曲線$C$の$0<t \leqq \pi$の部分に接するのは$\displaystyle t=\frac{\pi}{[ウ]}$のときであり，その接点の座標は$\displaystyle \left( \frac{\pi}{[エ]}-[オ],\ [カ] \right)$である．このとき，$\displaystyle k=[キ]-\frac{\pi}{[ク]}$である．
(3)曲線$C$と$x$軸，および点$\mathrm{A}$を通り$y$軸に平行な直線$\ell$で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ]} \pi$である．
(4)$(2)$の接線，$x$軸および直線$\ell$とで囲まれた図形から$(3)$の図形を除いた部分の面積は$\displaystyle \frac{\pi^2}{[サ]}-\frac{\pi}{[シ]}+[ス]$である．