「サイクロイド」について
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(1ページ目:全2問中1問~10問を表示)![奈良教育大学](./img/univ/narakyouiku.png)
$1$つの円が定直線に接しながらすべることなく回転するとき,円周上の定点$\mathrm{P}$のえがく軌跡をサイクロイドという.
(図は省略)
上の図を参考に,以下の設問に答えよ.
(1)円$\mathrm{C}$を半径$1$の円,定直線を$x$軸とし,円$\mathrm{C}$が$x$軸に原点$\mathrm{O}$で接するとき,定点$\mathrm{P}$が$\mathrm{O}$の位置にあったとする.円$\mathrm{C}$が角$\theta$だけ回転したとき,円$\mathrm{C}$の中心の座標を求めよ.
(2)円$\mathrm{C}$が角$\theta$だけ回転したときの点$\mathrm{P}$の位置を$(x,\ y)$とするとき,$x,\ y$をそれぞれ$\theta$を使って表せ.
(3)$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$において,$(2)$で与えられる点$\mathrm{P}$の軌跡(サイクロイド)と$x$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ.
(図は省略)
上の図を参考に,以下の設問に答えよ.
(1)円$\mathrm{C}$を半径$1$の円,定直線を$x$軸とし,円$\mathrm{C}$が$x$軸に原点$\mathrm{O}$で接するとき,定点$\mathrm{P}$が$\mathrm{O}$の位置にあったとする.円$\mathrm{C}$が角$\theta$だけ回転したとき,円$\mathrm{C}$の中心の座標を求めよ.
(2)円$\mathrm{C}$が角$\theta$だけ回転したときの点$\mathrm{P}$の位置を$(x,\ y)$とするとき,$x,\ y$をそれぞれ$\theta$を使って表せ.
(3)$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$において,$(2)$で与えられる点$\mathrm{P}$の軌跡(サイクロイド)と$x$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ.
![金沢工業大学](./img/univ/kanazawakougyou.png)
座標平面において,媒介変数$t$の範囲が$0 \leqq t \leqq \pi$であるサイクロイド
\[ x=t-\sin t,\quad y=1-\cos t \]
を$C$とする.
(1)曲線$C$上で$y$座標が最大になる点を$\mathrm{A}$とすると,$\mathrm{A}$の座標は$([ア],\ [イ])$である.
(2)直線$y=x+k$がこの曲線$C$の$0<t \leqq \pi$の部分に接するのは$\displaystyle t=\frac{\pi}{[ウ]}$のときであり,その接点の座標は$\displaystyle \left( \frac{\pi}{[エ]}-[オ],\ [カ] \right)$である.このとき,$\displaystyle k=[キ]-\frac{\pi}{[ク]}$である.
(3)曲線$C$と$x$軸,および点$\mathrm{A}$を通り$y$軸に平行な直線$\ell$で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ]} \pi$である.
(4)$(2)$の接線,$x$軸および直線$\ell$とで囲まれた図形から$(3)$の図形を除いた部分の面積は$\displaystyle \frac{\pi^2}{[サ]}-\frac{\pi}{[シ]}+[ス]$である.
\[ x=t-\sin t,\quad y=1-\cos t \]
を$C$とする.
(1)曲線$C$上で$y$座標が最大になる点を$\mathrm{A}$とすると,$\mathrm{A}$の座標は$([ア],\ [イ])$である.
(2)直線$y=x+k$がこの曲線$C$の$0<t \leqq \pi$の部分に接するのは$\displaystyle t=\frac{\pi}{[ウ]}$のときであり,その接点の座標は$\displaystyle \left( \frac{\pi}{[エ]}-[オ],\ [カ] \right)$である.このとき,$\displaystyle k=[キ]-\frac{\pi}{[ク]}$である.
(3)曲線$C$と$x$軸,および点$\mathrm{A}$を通り$y$軸に平行な直線$\ell$で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ]} \pi$である.
(4)$(2)$の接線,$x$軸および直線$\ell$とで囲まれた図形から$(3)$の図形を除いた部分の面積は$\displaystyle \frac{\pi^2}{[サ]}-\frac{\pi}{[シ]}+[ス]$である.