「ゴール」について
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国立 埼玉大学 2014年 第3問南北に平行に走る$5$本の同じ長さの線分が等間隔で並んでいる．西から順に，各線分の南の端点は，$A_0$，$B_0$，$C_0$，$D_0$，$E_0$であり，北の端点は，$A$，$B$，$C$，$D$，$E$である．各線分を$4$等分する点を，南から順に，$1$番地，$2$番地，$3$番地と呼ぶ．隣り合う線分の同じ番地同士を結ぶ線分を橋と呼ぶ．人は南の端点のいずれかをスタート地点として北へ向かって歩き始め，橋に出会わなければそのまま北へ向かって歩き続け，橋に出会えば橋で結ばれた隣の線分に渡ってその線分を北へ向かって歩く．必要ならこれを繰り返し，人は最終的に北の端点のゴール地点に到着する．$D$に家があるとする．$5$つの各スタート地点から家に到着することができるそれぞれの確率を，以下の場合に，求めなさい．
(1)同様に確からしく，$1$番地に$1$本の橋を置く場合
(2)同様に確からしく，たがいに独立に，$1$番地に$1$本，$2$番地に$1$本，$3$番地に$1$本の橋を置く場合
(1)同様に確からしく，$1$番地に$1$本の橋を置く場合
(2)同様に確からしく，たがいに独立に，$1$番地に$1$本，$2$番地に$1$本，$3$番地に$1$本の橋を置く場合
私立 倉敷芸術科学大学 2014年 第6問あるバスケットボールの選手のシュートがゴールに入る確率が$\displaystyle \frac{7}{12}$であるとする．この選手が$n$回シュートをするとき，次の問いに答えよ．
(1)$1$回もゴールに入らない確率はいくらか．
(2)少なくとも$1$回はゴールに入る確率が$0.98$より大きくなるのはシュートの回数$n$がいくら以上のときか．ただし，$\log_{10}2=0.301$，$\log_{10}3=0.477$とする．
(1)$1$回もゴールに入らない確率はいくらか．
(2)少なくとも$1$回はゴールに入る確率が$0.98$より大きくなるのはシュートの回数$n$がいくら以上のときか．ただし，$\log_{10}2=0.301$，$\log_{10}3=0.477$とする．
私立 立教大学 2013年 第1問次の空欄$[ア],\ [イ]$に「真」または「偽」のいずれかを記入せよ．また空欄$[ウ]$～$[シ]$に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)ある自然数$n$について，命題「$n$が偶数ならば$n^2$は偶数である」の逆は$[ア]$，対偶は$[イ]$である．
(2)$3$次方程式$x^3+2x^2-8x-21=0$の解は$x=[ウ],\ [エ],\ [オ]$である．
(3)${(2x+\cos \theta)}^3$を展開したときの$x^2$の係数が$-6$のとき，$\theta=[カ]$である．ただし，$0 \leqq \theta<\pi$とする．
(4)$2$次方程式$x^2-2(k+1)x+2k^2=0$が実数解をもつような実数$k$の値の範囲は$[キ]$である．
(5)不等式$-1+2 \log_2 (x+1)>\log_{\frac{1}{2}}(2-x)$を満たす$x$の値の範囲は$[ク]$である．
(6)$\mathrm{A}$君が徒歩と自転車で移動した．スタート地点から途中まで分速$80 \, \mathrm{m}$で$30$分歩き，その後自転車に乗って$10$分進んでゴールに着いたところ，平均の速さは分速$130 \, \mathrm{m}$であった．このときの自転車の速さは分速$[ケ] \, \mathrm{m}$である．
(7)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ -2,\ 1)$と$\overrightarrow{b}=(x,\ y,\ -1)$の大きさが等しく，なす角が${60}^\circ$のとき，$x$の値は$[コ]$，$[サ]$である．
(8)数列$1,\ 11,\ 111,\ 1111,\ 11111,\ \cdots$の第$n$項を$n$の式で表すと，$[シ]$となる．
(1)ある自然数$n$について，命題「$n$が偶数ならば$n^2$は偶数である」の逆は$[ア]$，対偶は$[イ]$である．
(2)$3$次方程式$x^3+2x^2-8x-21=0$の解は$x=[ウ],\ [エ],\ [オ]$である．
(3)${(2x+\cos \theta)}^3$を展開したときの$x^2$の係数が$-6$のとき，$\theta=[カ]$である．ただし，$0 \leqq \theta<\pi$とする．
(4)$2$次方程式$x^2-2(k+1)x+2k^2=0$が実数解をもつような実数$k$の値の範囲は$[キ]$である．
(5)不等式$-1+2 \log_2 (x+1)>\log_{\frac{1}{2}}(2-x)$を満たす$x$の値の範囲は$[ク]$である．
(6)$\mathrm{A}$君が徒歩と自転車で移動した．スタート地点から途中まで分速$80 \, \mathrm{m}$で$30$分歩き，その後自転車に乗って$10$分進んでゴールに着いたところ，平均の速さは分速$130 \, \mathrm{m}$であった．このときの自転車の速さは分速$[ケ] \, \mathrm{m}$である．
(7)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ -2,\ 1)$と$\overrightarrow{b}=(x,\ y,\ -1)$の大きさが等しく，なす角が${60}^\circ$のとき，$x$の値は$[コ]$，$[サ]$である．
(8)数列$1,\ 11,\ 111,\ 1111,\ 11111,\ \cdots$の第$n$項を$n$の式で表すと，$[シ]$となる．
国立 九州工業大学 2011年 第4問図のような番号のついたマス目と駒とサイコロを使って，以下に示す規則にしたがうゲームを考える．
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline
\end{tabular}
\begin{itemize}
駒は最初0番のマス目に置く．
サイコロを投げ，出た目の数だけ駒を10番のマス目に向かって進める．
駒がちょうど10番のマス目に止まればゴールとする．
ただし，10番のマス目を超える場合は，その分だけ10番のマス目から0番のマス目側に戻る．
\end{itemize}
たとえば，7番のマス目に駒があり，出た目が5であった場合は，駒は8番のマス目に移動し，その次に出た目が2であった場合はゴールする．以下の問いに答えよ．
(1)2投目でゴールする確率を求めよ．
(2)2投目の後，9番のマス目に駒がある確率を求めよ．
(3)3投目でゴールする確率を求めよ．
(4)このゲームを使ってA，Bの2名が対戦する．Aから始めて，交互にサイコロを投げて各自の駒を進める試行を行ない，先にゴールした方を勝ちとする．ただし，どちらも2投以内でゴールしない場合は引き分けとする．引き分ける確率を求めよ．
(5)A，Bの駒をそれぞれ0番，$k$番$(0<k<10)$のマス目に置いて(4)と同様の対戦を開始するとき，Aが勝つ確率よりBが勝つ確率の方が高くなるための$k$の条件を求めよ．
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline
\end{tabular}
\begin{itemize}
駒は最初0番のマス目に置く．
サイコロを投げ，出た目の数だけ駒を10番のマス目に向かって進める．
駒がちょうど10番のマス目に止まればゴールとする．
ただし，10番のマス目を超える場合は，その分だけ10番のマス目から0番のマス目側に戻る．
\end{itemize}
たとえば，7番のマス目に駒があり，出た目が5であった場合は，駒は8番のマス目に移動し，その次に出た目が2であった場合はゴールする．以下の問いに答えよ．
(1)2投目でゴールする確率を求めよ．
(2)2投目の後，9番のマス目に駒がある確率を求めよ．
(3)3投目でゴールする確率を求めよ．
(4)このゲームを使ってA，Bの2名が対戦する．Aから始めて，交互にサイコロを投げて各自の駒を進める試行を行ない，先にゴールした方を勝ちとする．ただし，どちらも2投以内でゴールしない場合は引き分けとする．引き分ける確率を求めよ．
(5)A，Bの駒をそれぞれ0番，$k$番$(0<k<10)$のマス目に置いて(4)と同様の対戦を開始するとき，Aが勝つ確率よりBが勝つ確率の方が高くなるための$k$の条件を求めよ．