「コサ」について
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私立 九州産業大学 2012年 第3問$a,\ b$を定数とする．$2$次関数$f(x)=x^2+ax+b$に対して，$1$次関数$g(x)$が$f(x)=(x-2)g(x)$を満たしており，$g(2)=3$である．放物線$y=f(x)$上の点$(2,\ f(2))$における接線を$\ell$とする．このとき
(1)定数$a,\ b$の値は$a=[アイ]$，$b=[ウエ]$である．
(2)直線$\ell$の方程式は$y=[オ]x-[カ]$である．
(3)直線$\ell$，直線$y=g(x)$および$x$軸で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[キク]}{[ケ]}$である．
(4)放物線$y=f(x)$と直線$y=g(x)$で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[コサ]}{[シ]}$である．
(1)定数$a,\ b$の値は$a=[アイ]$，$b=[ウエ]$である．
(2)直線$\ell$の方程式は$y=[オ]x-[カ]$である．
(3)直線$\ell$，直線$y=g(x)$および$x$軸で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[キク]}{[ケ]}$である．
(4)放物線$y=f(x)$と直線$y=g(x)$で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[コサ]}{[シ]}$である．
私立 明治大学 2011年 第2問角$\theta$が$0^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ$を満たすとき，次の$\theta$の関数を考える．
\[ y=\sin 3\theta +6 \cos 2\theta-6 \sin^2 \frac{\theta}{2}-3 \cos \theta+12 \sin \theta \]
以下の問に答えなさい．空欄内の各文字に当てはまる数字を答えよ．
(1)$\displaystyle x=\sin \theta$とおくとき，$y$を$x$の式で表すと
\[ y=-[ケ]x^3-[コサ]x^2+[シス]x+[セ] \]
となる．
(2)(1)の$3$次関数を利用すると，$y$の最大値は$[ソ]$であり，最小値は$[タ]$であることが分かる．
\[ y=\sin 3\theta +6 \cos 2\theta-6 \sin^2 \frac{\theta}{2}-3 \cos \theta+12 \sin \theta \]
以下の問に答えなさい．空欄内の各文字に当てはまる数字を答えよ．
(1)$\displaystyle x=\sin \theta$とおくとき，$y$を$x$の式で表すと
\[ y=-[ケ]x^3-[コサ]x^2+[シス]x+[セ] \]
となる．
(2)(1)の$3$次関数を利用すると，$y$の最大値は$[ソ]$であり，最小値は$[タ]$であることが分かる．
私立 明治大学 2011年 第1問次の各問の$[ ]$にあてはまる数を記入せよ．
(1)大小$2$つのサイコロを振り，出た目をそれぞれ$a,\ b$とする．$ab \geqq 20$となる確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$であり，$ab$が$3$で割り切れる確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{AC}=\sqrt{2}$，$\angle \mathrm{C}=105^\circ$とする．
\[ \cos 105^\circ=\frac{\sqrt{[オ]}-\sqrt{[カ]}}{[キ]} \]
である．また，$\mathrm{AB}=[ク]+\sqrt{[ケ]}$であり，$\angle \mathrm{A}=[コサ]^\circ$である．
(3)$a,\ b$を正の実数で，$a \neq 1,\ b \neq 1$とする．このとき
$(\log_{a^2}b+\log_b a^3)(\log_{a^3}b+\log_{b^2}a)$
$\displaystyle =\frac{[シ]}{[ス]} \cdot (\log_a b)^2+\frac{[セ]}{[ソ]} \cdot (\log_b a)^2+\frac{[タ]}{[チ]}$
である．
(1)大小$2$つのサイコロを振り，出た目をそれぞれ$a,\ b$とする．$ab \geqq 20$となる確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$であり，$ab$が$3$で割り切れる確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{AC}=\sqrt{2}$，$\angle \mathrm{C}=105^\circ$とする．
\[ \cos 105^\circ=\frac{\sqrt{[オ]}-\sqrt{[カ]}}{[キ]} \]
である．また，$\mathrm{AB}=[ク]+\sqrt{[ケ]}$であり，$\angle \mathrm{A}=[コサ]^\circ$である．
(3)$a,\ b$を正の実数で，$a \neq 1,\ b \neq 1$とする．このとき
$(\log_{a^2}b+\log_b a^3)(\log_{a^3}b+\log_{b^2}a)$
$\displaystyle =\frac{[シ]}{[ス]} \cdot (\log_a b)^2+\frac{[セ]}{[ソ]} \cdot (\log_b a)^2+\frac{[タ]}{[チ]}$
である．
私立 西南学院大学 2011年 第2問次の問に答えよ．
(1)下図のように，正方形の各辺を$6$等分し，各辺に平行線を引く．これらの平行線によって作られる正方形でない長方形の総数は$[キクケ]$個である．
（図は省略）
(2)円周を$10$等分する$10$個の点がある．これらのうちの$3$個の点を頂点とする三角形を考える．直角三角形は全部で$[コサ]$個あり，また鈍角三角形は全部で$[シス]$個ある．
(1)下図のように，正方形の各辺を$6$等分し，各辺に平行線を引く．これらの平行線によって作られる正方形でない長方形の総数は$[キクケ]$個である．
（図は省略）
(2)円周を$10$等分する$10$個の点がある．これらのうちの$3$個の点を頂点とする三角形を考える．直角三角形は全部で$[コサ]$個あり，また鈍角三角形は全部で$[シス]$個ある．
私立 東北医科薬科大学 2011年 第1問関数
\[ y=f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
-x^2-12x & (x<0) \\
3x^2-12x+a & (0 \leqq x)
\end{array} \right. \]
を考える．関数$y=f(x)$の区間$0 \leqq x \leqq 6$における最小値が$-12$であるという．このとき，次の問に答えなさい．
(1)$a$の値は$[ア]$である．
(2)$f(x)=0$となる$x$の値を小さい方から並べると$x=[イウエ],\ [オ],\ [カ]$である．
(3)曲線$y=f(x)$の点$\mathrm{P}(k,\ -k^2-12k)$（$k<0$とする）における接線$\ell$が点$(-1,\ 15)$を通るという．このとき，$k$の値は$[キク]$である．
(4)接線$\ell$と曲線$y=f(x)$の共有点は点$\mathrm{P}$と$([ケ],\ [コサ])$で，接線$\ell$と曲線$y=f(x)$で囲まれる部分の面積は$[シス]$である．
\[ y=f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
-x^2-12x & (x<0) \\
3x^2-12x+a & (0 \leqq x)
\end{array} \right. \]
を考える．関数$y=f(x)$の区間$0 \leqq x \leqq 6$における最小値が$-12$であるという．このとき，次の問に答えなさい．
(1)$a$の値は$[ア]$である．
(2)$f(x)=0$となる$x$の値を小さい方から並べると$x=[イウエ],\ [オ],\ [カ]$である．
(3)曲線$y=f(x)$の点$\mathrm{P}(k,\ -k^2-12k)$（$k<0$とする）における接線$\ell$が点$(-1,\ 15)$を通るという．このとき，$k$の値は$[キク]$である．
(4)接線$\ell$と曲線$y=f(x)$の共有点は点$\mathrm{P}$と$([ケ],\ [コサ])$で，接線$\ell$と曲線$y=f(x)$で囲まれる部分の面積は$[シス]$である．
私立 千葉工業大学 2011年 第3問次の各問に答えよ．
(1)放物線$C:y=x^2+ax+b$が$2$直線$L_1:y=-4x+2$，$L_2:y=2x-1$の両方と接している．このとき，$a=[アイ]$，$b=[ウ]$であり，$C$と$L_1$との接点の$x$座標は$[エオ]$，$C$と$L_2$との接点の$x$座標は$[カ]$である．
(2)整数を要素とする$2$つの集合$A=\{2,\ 6,\ 5a-a^2\}$，$B=\{3,\ 4,\ 3a-1,\ a+b\}$がある．$4$が共通部分$A \cap B$に属するとき，$a=[キ]$または$[ク]$（ただし，$[キ]<[ク]$）である．さらに$A \cap B=\{4,\ 6\}$であるとき，$b=[ケ]$であり，和集合$A \cup B=\{2,\ 3,\ 4,\ 6,\ [コサ] \}$である．
(1)放物線$C:y=x^2+ax+b$が$2$直線$L_1:y=-4x+2$，$L_2:y=2x-1$の両方と接している．このとき，$a=[アイ]$，$b=[ウ]$であり，$C$と$L_1$との接点の$x$座標は$[エオ]$，$C$と$L_2$との接点の$x$座標は$[カ]$である．
(2)整数を要素とする$2$つの集合$A=\{2,\ 6,\ 5a-a^2\}$，$B=\{3,\ 4,\ 3a-1,\ a+b\}$がある．$4$が共通部分$A \cap B$に属するとき，$a=[キ]$または$[ク]$（ただし，$[キ]<[ク]$）である．さらに$A \cap B=\{4,\ 6\}$であるとき，$b=[ケ]$であり，和集合$A \cup B=\{2,\ 3,\ 4,\ 6,\ [コサ] \}$である．
私立 西南学院大学 2010年 第2問次の問に答えよ．
(1)$\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x-3}{x^2+a}=-\frac{1}{8}$を満たす$a$の値は$a=[ケ]$である．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to 3} \left( \frac{8x+5}{x-3}+\frac{3x-154}{x^2-x-6} \right)=\frac{[コサ]}{[シ]}$である．
(3)$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a+2h)-f(a-3h)}{h}=[ス]f^\prime(a)$である．
(1)$\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x-3}{x^2+a}=-\frac{1}{8}$を満たす$a$の値は$a=[ケ]$である．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to 3} \left( \frac{8x+5}{x-3}+\frac{3x-154}{x^2-x-6} \right)=\frac{[コサ]}{[シ]}$である．
(3)$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a+2h)-f(a-3h)}{h}=[ス]f^\prime(a)$である．
私立 西南学院大学 2010年 第2問$1$から$9$までの数字を$1$つずつ書いた$9$枚のカードが袋の中に入っている．この中から$3$枚のカードを同時に取り出したとき，
(1)$1$枚が$2$以下で，$2$枚が$7$以上となる確率は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コサ]}$である．
(2)最小の数が$2$以下で，最大の数が$7$以上となる確率は$\displaystyle \frac{[シス]}{[セソ]}$である．
(3)最大の数が$7$となる確率は$\displaystyle \frac{[タ]}{[チツ]}$である．
(1)$1$枚が$2$以下で，$2$枚が$7$以上となる確率は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コサ]}$である．
(2)最小の数が$2$以下で，最大の数が$7$以上となる確率は$\displaystyle \frac{[シス]}{[セソ]}$である．
(3)最大の数が$7$となる確率は$\displaystyle \frac{[タ]}{[チツ]}$である．
私立 東北医科薬科大学 2010年 第1問関数$f(x)=x^3+3ax^2+3bx+c$を考える．このとき，次の問に答えなさい．
(1)$f(0)=65$，$f(4)=81$であるという．このとき，$b=[アイ]a-[ウ]$，$c=[エオ]$である．
(2)さらに$x<0$となる$x$で極大値$81$をもつという．このとき，$a=[カ]$である．
(3)$f(x)$は$x=[キ]$で極小値$[クケ]$をとる．
(4)方程式$f(x)=0$の解は，$x=[コサ]$，$\displaystyle \frac{[シ] \pm [ス] \sqrt{[セ]} i}{[ソ]}$である．
(1)$f(0)=65$，$f(4)=81$であるという．このとき，$b=[アイ]a-[ウ]$，$c=[エオ]$である．
(2)さらに$x<0$となる$x$で極大値$81$をもつという．このとき，$a=[カ]$である．
(3)$f(x)$は$x=[キ]$で極小値$[クケ]$をとる．
(4)方程式$f(x)=0$の解は，$x=[コサ]$，$\displaystyle \frac{[シ] \pm [ス] \sqrt{[セ]} i}{[ソ]}$である．