公正に作られた$n$枚のコインを同時に投げるとき，表が出た枚数を$k$で表す．この$n,\ k$を用いて，放物線$C$と直線$\ell$を
\begin{eqnarray}
& & C:y=(x-k)^2+n-k, \nonumber \\
& & \ell:y=x+n-k \nonumber
\end{eqnarray}
で定めるとき，次の問いに答えよ．

(1)$C$と$\ell$が異なる2つの交点をもつ確率を求めよ．
(2)$C$と$\ell$で囲まれた図形の面積$S$を$k$を用いて表せ．
(3)$n=3$のとき，$\displaystyle (6S)^{\frac{2}{3}}$の期待値を求めよ．

表の出る確率が$p$，裏の出る確率が$1-p$のコインがある．このコインを投げ，その結果により，駒が2点A，Bの間を移動し，ポイントを獲得することを繰り返す次のようなゲームを行う．

ルールa) \ 駒はゲームを始めるとき，点Aにいる．
ルールb) \ 駒はコイン投げで表が出ればそのときいる点にとどまり，裏が出ればもう一方の点に移動する．
ルールc) \ $k$回目のコイン投げの結果，駒が点Aにいるときは$2^k$ポイント新たに獲得し，点Bにいるときは1ポイント新たに獲得する．($k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$)

$n$を自然数とし，$n$回コインを投げた結果，駒が点Aにいる確率を$a_n$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)$a_1$を求めよ．さらに，$a_{n+1}$を$a_n$と$p$を用いて表せ．
(2)$a_n$を$n$と$p$を用いて表せ．
(3)$k$回目のコイン投げの結果により新たに獲得するポイントの期待値を$E_k$とおく．$\displaystyle p=\frac{3}{4}$のとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n E_k$を求めよ．

座標平面上に4点O$(0,\ 0)$，A$(4,\ 0)$，B$(4,\ 4)$，C$(0,\ 4)$をとり，正方形OABCを考える．点Bを出発点とする2つの動点P，Qが，次の規則に従って動くものとする．

1枚のコインを投げ，
表が出たときには，点Pは辺AB上を点Aの方向に1進み，点Qは動かない．
裏が出たときには，点Qは辺BC上を点Cの方向に1進み，点Pは動かない．

この試行を4回繰り返し，その結果できる三角形OPQの面積を得点とするゲームを行う．以下の問いに答えよ．

(1)ゲームの終了時に，点Pの座標が$(4,\ 1)$である確率を求めよ．
(2)このゲームの得点が8となる確率を求めよ．
(3)このゲームの得点の期待値を求めよ．

表の出る確率が$p$，裏の出る確率が$1-p$のコインがある．このコインを投げ，その結果により，駒が2点A，Bの間を移動し，ポイントを獲得することを繰り返す次のようなゲームを行う．

ルールa) \ 駒はゲームを始めるとき点Aにいる．
ルールb) \ 駒はコイン投げで表が出ればそのときいる点にとどまり，裏が出ればもう一方の点に移動する．
ルールc) \ $k$回目のコイン投げの結果，駒が点Aにいるときは$3k$ポイント新たに獲得し，点Bにいるときは$k$ポイント新たに獲得する．$(k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

$n$を自然数として，以下の問いに答えよ．

(1)$n$回コインを投げた結果，駒が点Aにいる確率を$a_n$とおく．$a_n$を求めよ．
(2)$k$回目のコイン投げの結果により新たに獲得するポイントの期待値を$E_k$とおく．$0<p<1$のとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n E_k$を$n$と$p$を用いて表せ．
(3)(1)で求めた$a_n$を$p$の関数と考え，$f_n(p)$と書くとき，次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{m \to \infty} \frac{1}{m} \sum_{k=1}^m f_n \left( \frac{k}{2m} \right) \]

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)一般項が$a_n=2n+1$で与えられる数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$S_{10}=[ア]$であり，$S_n=9999$となるのは$n=[イ]$のときである．
(2)$A=\left( \begin{array}{rr}
1 & -3 \\
-2 & 3
\end{array} \right),\ E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$のとき，$A^2-4A=[ウ]$であり，$A^3-5A^2+A-E=[エ]$である．
(3)複素数$\alpha,\ \beta$が$\alpha^3+\beta^3=-2$，$\alpha\beta=1$を満たすとき，$\alpha+\beta=[オ]$であり，$\alpha^2+\beta^2=[カ]$である．
(4)関数$\displaystyle y=|\cos x|+2 \sin \frac{x}{2}$を考える．$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，$y$のとりうる値の範囲は$[キ]$である．$\displaystyle \frac{\pi}{2}<x \leqq \pi$のとき，$y$のとりうる値の範囲は$[ク]$である．
(5)$1$と書かれたカード，$2$と書かれたカード，$3$と書かれたカードがそれぞれ$1$枚ずつ入った袋がある．この袋からでたらめにカードを$1$枚取り出して，書かれた数字の数だけコインをもらい，カードを袋に戻すという試行を繰り返すゲームを行う．ゲームが終了するのは，試行を$2$回繰り返した後にそれまでにもらったコインの枚数の合計がちょうど$4$枚になったとき，または，そうならずに試行を$3$回繰り返したときのいずれかである．このゲームが終了したときに，それまでにもらったコインの枚数の合計が$4$枚である確率は$[ケ]$であり，$6$枚以上である確率は$[コ]$である．

$2$人で$1$枚のコインをそれぞれ$2$回ずつ投げる．$2$人とも表がちょうど$1$回ずつ出る確率は$[　]$である．また，$2$人合わせて表がちょうど$2$回出る確率は$[　]$である．

確率$p$で表が出るコインが2枚ある．それらをA，Bとする．Xさんは表が2回出るまでコインAを投げ続け，Yさんは表が3回出るまでコインBを投げ続ける．次の問いに答えよ．

(1)Aの裏がちょうど$k$回出る確率$a_k$を$p$と$k$を用いて表せ．
(2)Bの裏がちょうど$k$回出る確率$b_k$を$p$と$k$を用いて表せ．
(3)Aの裏が出る回数とBの裏が出る回数の和が3である確率$c$を$p$を用いて表せ

確率$p$で表が出るコインが2枚ある．それらをA，Bとする．Xさんは表が2回出るまでコインAを投げ続け，Yさんは表が3回出るまでコインBを投げ続け
る．次の問いに答えよ．

(1)Aの裏がちょうど$k$回出る確率$a_k$を$p$と$k$を用いて表せ．
(2)Bの裏がちょうど$k$回出る確率$b_k$を$p$と$k$を用いて表せ．
(3)Aの裏が出る回数とBの裏が出る回数の和が3である確率$c$を$p$を用いて表せ．

コインを$n$回投げて，表が出た回数$k$に応じてポイント$2^k$が与えられるゲームを考える．ただし，コインを投げたとき，表が出る確率を$\displaystyle \frac{1}{2}$とする．

(1)$n=4$として，このゲームを$1$ゲーム行なったとき，$8$ポイント以上を獲得する確率を求めよ．
(2)$n=4$として，このゲームを$3$ゲーム行なったとき，少なくとも$1$ゲームは$8$ポイント以上を獲得する確率を求めよ．
(3)$n=4$として，このゲームを$3$ゲーム行なったとき，獲得するポイントの合計が$32$以上となる確率を求めよ．
(4)このゲームを$1$ゲーム行なったとき，獲得するポイントの期待値を$n$を用いて表せ．

座標平面上を動く点$\mathrm{P}$が，はじめ原点$\mathrm{O}$にある．コインを投げて表が出たときには$\mathrm{P}$は$x$軸の正の向きに$1$進み，裏が出たときには$\mathrm{P}$は$y$軸の正の向きに$1$進むとする．以下の問いに答えよ．

(1)コインを2回投げた結果，$\mathrm{P}$が$(1,\ 1)$にある確率を求めよ．
(2)コインを4回投げた結果，$\mathrm{P}$が$(2,\ 2)$にある確率を求めよ．
(3)コインを3回投げた後の2点$\mathrm{O},\ \mathrm{P}$間の距離$\mathrm{OP}$の期待値を求めよ．
(4)コインを7回投げた結果，距離$\mathrm{OP}=5$となる確率を求めよ．