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国立 広島大学 2011年 第5問$\triangle$ABCの頂点は反時計回りにA，B，Cの順に並んでいるとする．点Aを出発した石が，次の規則で動くとする．\\
\quad コインを投げて表が出たとき反時計回りに隣の頂点に移り，裏が出たときは動かない．コインを投げて表と裏の出る確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$とする． \\
コインを$n$回投げたとき，石が点A，B，Cにある確率をそれぞれ$a_n,\ b_n,\ c_n$とする．次の問いに答えよ．
(1)$a_1,\ b_1,\ c_1$の値を求めよ．
(2)$a_{n+1},\ b_{n+1},\ c_{n+1}$を$a_n,\ b_n,\ c_n$で表せ．また，$a_2,\ b_2,\ c_2$および$a_3,\ b_3,\ c_3$の値を求めよ．
(3)$a_n,\ b_n,\ c_n$のうち2つの値が一致することを証明せよ．
(4)(3)において一致する値を$p_n$とする．$p_n$を$n$で表せ．
\quad コインを投げて表が出たとき反時計回りに隣の頂点に移り，裏が出たときは動かない．コインを投げて表と裏の出る確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$とする． \\
コインを$n$回投げたとき，石が点A，B，Cにある確率をそれぞれ$a_n,\ b_n,\ c_n$とする．次の問いに答えよ．
(1)$a_1,\ b_1,\ c_1$の値を求めよ．
(2)$a_{n+1},\ b_{n+1},\ c_{n+1}$を$a_n,\ b_n,\ c_n$で表せ．また，$a_2,\ b_2,\ c_2$および$a_3,\ b_3,\ c_3$の値を求めよ．
(3)$a_n,\ b_n,\ c_n$のうち2つの値が一致することを証明せよ．
(4)(3)において一致する値を$p_n$とする．$p_n$を$n$で表せ．
国立 福井大学 2011年 第3問表の出る確率が$p$，裏の出る確率が$1-p$のコイン8枚と，1つの箱が用意されている．最初，箱には8枚のコインのうちの1枚が入っており，次の操作を繰り返し行う．
(操作) \quad 箱の中のコインをすべて取り出し同時に投げる．裏の出たコインはそのまま箱に戻す．表の出たコインはその枚数を数え，同数のコインを新たに追加して箱に戻す．
例えば，箱の中に3枚のコインがあり，それらを投げた結果，表が2枚，裏が1枚出たとすると，操作の結果，箱の中のコインは，2枚追加されて5枚になる．以下の問いに答えよ．
(1)2回目の操作の終了時，箱の中にあるコインが2枚である確率を$p$を用いて表せ．
(2)2回目の操作の終了時，箱の中にあるコインの枚数の期待値を$p$を用いて表せ．
(3)3回目の操作の終了時，箱の中にあるコインが6枚以下である確率を$p$を用いて表せ．
(操作) \quad 箱の中のコインをすべて取り出し同時に投げる．裏の出たコインはそのまま箱に戻す．表の出たコインはその枚数を数え，同数のコインを新たに追加して箱に戻す．
例えば，箱の中に3枚のコインがあり，それらを投げた結果，表が2枚，裏が1枚出たとすると，操作の結果，箱の中のコインは，2枚追加されて5枚になる．以下の問いに答えよ．
(1)2回目の操作の終了時，箱の中にあるコインが2枚である確率を$p$を用いて表せ．
(2)2回目の操作の終了時，箱の中にあるコインの枚数の期待値を$p$を用いて表せ．
(3)3回目の操作の終了時，箱の中にあるコインが6枚以下である確率を$p$を用いて表せ．
国立 名古屋工業大学 2011年 第2問大中小3枚のコインがある．サイコロを投げて次の規則でコインの表裏を反転させる試行を繰り返す．
\mon[(i)] 1または2の目が出たら，大コインを反転
\mon[(ii)] 3または4の目が出たら，中コインを反転
\mon[(iii)] 5または6の目が出たら，小コインを反転
3枚とも表になっている状態から始めるとき，次の問いに答えよ．
(1)サイコロを5回投げたとき，3枚とも裏である確率を求めよ．
(2)サイコロを5回投げたとき，初めて3枚とも裏になる確率を求めよ．
(3)コインが3枚とも裏になったところでサイコロ投げを終了することにする．最初の状態を除きコインが3枚とも表になることが一度もなく終了する確率を求めよ．
\mon[(i)] 1または2の目が出たら，大コインを反転
\mon[(ii)] 3または4の目が出たら，中コインを反転
\mon[(iii)] 5または6の目が出たら，小コインを反転
3枚とも表になっている状態から始めるとき，次の問いに答えよ．
(1)サイコロを5回投げたとき，3枚とも裏である確率を求めよ．
(2)サイコロを5回投げたとき，初めて3枚とも裏になる確率を求めよ．
(3)コインが3枚とも裏になったところでサイコロ投げを終了することにする．最初の状態を除きコインが3枚とも表になることが一度もなく終了する確率を求めよ．
私立 早稲田大学 2011年 第3問$1$回投げて表が出る確率$p$，裏が出る確率$1-p$のコインが$1$枚ある．このコインを$1$日に$4$回投げる試行を$\mathrm{T}$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)試行$\mathrm{T}$において，$2$回以上表が出る確率$A$を，$p$の多項式として降べきの順に表せ．
(2)試行$\mathrm{T}$を$5$日続ける試行を$\mathrm{S}$とする．
(3)試行$\mathrm{S}$において，$5$日間の中でちょうど$3$日だけ$1$日に$2$回以上表が出て，かつ，$2$日以上連続して$1$日に$2$回以上表が出る確率を，$A$を用いて表せ．
(4)試行$\mathrm{S}$において，$2$日以上連続して$1$日に$2$回以上表が出る確率を，$A$の多項式として降べきの順に表せ．
(1)試行$\mathrm{T}$において，$2$回以上表が出る確率$A$を，$p$の多項式として降べきの順に表せ．
(2)試行$\mathrm{T}$を$5$日続ける試行を$\mathrm{S}$とする．
(3)試行$\mathrm{S}$において，$5$日間の中でちょうど$3$日だけ$1$日に$2$回以上表が出て，かつ，$2$日以上連続して$1$日に$2$回以上表が出る確率を，$A$を用いて表せ．
(4)試行$\mathrm{S}$において，$2$日以上連続して$1$日に$2$回以上表が出る確率を，$A$の多項式として降べきの順に表せ．
私立 学習院大学 2011年 第4問コインを投げ，点$\mathrm{P}$を次の規則によって正三角形$\mathrm{ABC}$の頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$上を動かす．点$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$にあるときは，表が出たら$\mathrm{B}$に動かし，裏が出たら$\mathrm{C}$に動かす．$\mathrm{B}$にあるときは，表が出たら$\mathrm{C}$に動かし，裏が出たら$\mathrm{A}$に動かす．$\mathrm{C}$にあるときは，表が出たら$\mathrm{A}$に動かし，裏が出たら$\mathrm{B}$に動かす．
はじめに点$\mathrm{P}$は$\mathrm{A}$にあるとし，コインを$n$回投げた後に$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$にある確率を$a_n$，$\mathrm{B}$にある確率を$b_n$，$\mathrm{C}$にある確率を$c_n$とする．
(1)$a_1=0$，$\displaystyle b_1=\frac{1}{2}$，$\displaystyle c_1=\frac{1}{2}$である．$n=2,\ 3,\ 4$に対して，$a_n,\ b_n,\ c_n$を求めよ．
(2)次の問いに答えよ．
(i) $a_{n+1}$を$a_n,\ b_n,\ c_n$を用いて表せ．
(ii) $b_{n+1}$を$a_n,\ b_n,\ c_n$を用いて表せ．
(iii) $c_{n+1}$を$a_n,\ b_n,\ c_n$を用いて表せ．
(3)$b_n=c_n$であることを示せ．
(4)$a_n$を求めよ．
はじめに点$\mathrm{P}$は$\mathrm{A}$にあるとし，コインを$n$回投げた後に$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$にある確率を$a_n$，$\mathrm{B}$にある確率を$b_n$，$\mathrm{C}$にある確率を$c_n$とする．
(1)$a_1=0$，$\displaystyle b_1=\frac{1}{2}$，$\displaystyle c_1=\frac{1}{2}$である．$n=2,\ 3,\ 4$に対して，$a_n,\ b_n,\ c_n$を求めよ．
(2)次の問いに答えよ．
(i) $a_{n+1}$を$a_n,\ b_n,\ c_n$を用いて表せ．
(ii) $b_{n+1}$を$a_n,\ b_n,\ c_n$を用いて表せ．
(iii) $c_{n+1}$を$a_n,\ b_n,\ c_n$を用いて表せ．
(3)$b_n=c_n$であることを示せ．
(4)$a_n$を求めよ．
公立 名古屋市立大学 2011年 第2問表が出る確率が$p \ (0<p<1)$のコイン3枚を同時に投げたとき，表と裏が出る事象を$A$，少なくとも1つが表である事象を$B$とする．次の問いに答えよ．
(1)事象$A \cap B,\ A \cup B$および$\overline{A} \cap B$の確率を求めよ．
(2)$(A \cap B) \cup (\overline{A \cup B})$は表と裏がどのように出る事象かを答え，その確率を求めよ．
(3)表1枚につき$k$点もらえるとする．得点の期待値が$6p$のとき，$k$の値を求めよ．
(1)事象$A \cap B,\ A \cup B$および$\overline{A} \cap B$の確率を求めよ．
(2)$(A \cap B) \cup (\overline{A \cup B})$は表と裏がどのように出る事象かを答え，その確率を求めよ．
(3)表1枚につき$k$点もらえるとする．得点の期待値が$6p$のとき，$k$の値を求めよ．
公立 名古屋市立大学 2011年 第1問表が出る確率が$p \ (0<p<1)$のコイン3枚を同時に投げたとき，表と裏が出る事象を$A$，少なくとも1つが表である事象を$B$とする．次の問いに答えよ．
(1)事象$A \cap B,\ A \cup B$および$\overline{A} \cap B$の確率を求めよ．
(2)$(A \cap B) \cup (\overline{A \cup B})$は表と裏がどのように出る事象かを答え，その確率を求めよ．
(3)表1枚につき$k$点もらえるとする．得点の期待値が$6p$のとき，$k$の値を求めよ．
(1)事象$A \cap B,\ A \cup B$および$\overline{A} \cap B$の確率を求めよ．
(2)$(A \cap B) \cup (\overline{A \cup B})$は表と裏がどのように出る事象かを答え，その確率を求めよ．
(3)表1枚につき$k$点もらえるとする．得点の期待値が$6p$のとき，$k$の値を求めよ．
公立 愛知県立大学 2011年 第1問数直線上を次の規則で動く点Pがある．
(規則A) \quad コインを投げて，表が出たら正の方向に2進み，裏が出たら負の方向に1進む．
はじめに点Pは原点Oにあるものとし，$n$回コインを投げたときの点Pの座標を$X(n)$で表す．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$X(9)=0$となる確率を求めよ．
(2)点Pが座標$-3$に到達した場合，その後コインを投げても移動しないという条件を(規則A)に追加した新たな規則を(規則B)とする．このとき，$X(9)=0$となる確率を求めよ．
(3)(規則B)のもとで，$X(4)$の期待値を求めよ．
(規則A) \quad コインを投げて，表が出たら正の方向に2進み，裏が出たら負の方向に1進む．
はじめに点Pは原点Oにあるものとし，$n$回コインを投げたときの点Pの座標を$X(n)$で表す．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$X(9)=0$となる確率を求めよ．
(2)点Pが座標$-3$に到達した場合，その後コインを投げても移動しないという条件を(規則A)に追加した新たな規則を(規則B)とする．このとき，$X(9)=0$となる確率を求めよ．
(3)(規則B)のもとで，$X(4)$の期待値を求めよ．
国立 東京大学 2010年 第3問$2$つの箱LとR，ボール$30$個，コイン投げで表と裏が等確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で出るコイン1枚を用意する．$x$を$0$以上$30$以下の整数とする．Lに$x$個，Rに$30-x$個のボールを入れ，次の操作$(\sharp)$を繰り返す．
\mon[$(\sharp)$] 箱Lに入っているボールの個数を$z$とする．コインを投げ，表が出れば箱Rから箱Lに，裏が出れば箱Lから箱Rに，$K(z)$個のボールを移す．ただし，$0 \leqq z \leqq 15$のとき$K(z)=z$，$16 \leqq z \leqq 30$のとき$K(z)=30-z$とする．
$m$回の操作の後，箱Lのボールの個数が$30$である確率を$P_m(x)$とする．たとえば$\displaystyle P_1(15)=P_2(15)=\frac{1}{2}$となる．以下の問(1)，(2)，(3)に答えよ．
(1)$m \geqq 2$のとき，$x$に対してうまく$y$を選び，$P_m(x)$を$P_{m-1}(y)$で表せ．
(2)$n$を自然数とするとき，$P_{2n}(10)$を求めよ．
(3)$n$を自然数とするとき，$P_{4n}(6)$を求めよ．
\mon[$(\sharp)$] 箱Lに入っているボールの個数を$z$とする．コインを投げ，表が出れば箱Rから箱Lに，裏が出れば箱Lから箱Rに，$K(z)$個のボールを移す．ただし，$0 \leqq z \leqq 15$のとき$K(z)=z$，$16 \leqq z \leqq 30$のとき$K(z)=30-z$とする．
$m$回の操作の後，箱Lのボールの個数が$30$である確率を$P_m(x)$とする．たとえば$\displaystyle P_1(15)=P_2(15)=\frac{1}{2}$となる．以下の問(1)，(2)，(3)に答えよ．
(1)$m \geqq 2$のとき，$x$に対してうまく$y$を選び，$P_m(x)$を$P_{m-1}(y)$で表せ．
(2)$n$を自然数とするとき，$P_{2n}(10)$を求めよ．
(3)$n$を自然数とするとき，$P_{4n}(6)$を求めよ．
国立 東京大学 2010年 第3問2つの箱LとR，ボール30個，コイン投げで表と裏が等確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で出るコイン1枚を用意する．$x$を0以上30以下の整数とする．Lに$x$個，Rに$30-x$個のボールを入れ，次の操作$(\sharp)$を繰り返す．
\mon[$(\sharp)$] 箱Lに入っているボールの個数を$z$とする．コインを投げ，表が出れば箱Rから箱Lに，裏が出れば箱Lから箱Rに，$K(z)$個のボールを移す．ただし，$0 \leqq z \leqq 15$のとき$K(z)=z$，$16 \leqq z \leqq 30$のとき$K(z)=30-z$とする．
$m$回の操作の後，箱Lのボールの個数が30である確率を$P_m(x)$とする．たとえば$\displaystyle P_1(15)=P_2(15)=\frac{1}{2}$となる．以下の問(1)，(2)に答えよ．
(1)$m \geqq 2$のとき，$x$に対してうまく$y$を選び，$P_m(x)$を$P_{m-1}(y)$で表せ．
(2)$n$を自然数とするとき，$P_{2n}(10)$を求めよ．
\mon[$(\sharp)$] 箱Lに入っているボールの個数を$z$とする．コインを投げ，表が出れば箱Rから箱Lに，裏が出れば箱Lから箱Rに，$K(z)$個のボールを移す．ただし，$0 \leqq z \leqq 15$のとき$K(z)=z$，$16 \leqq z \leqq 30$のとき$K(z)=30-z$とする．
$m$回の操作の後，箱Lのボールの個数が30である確率を$P_m(x)$とする．たとえば$\displaystyle P_1(15)=P_2(15)=\frac{1}{2}$となる．以下の問(1)，(2)に答えよ．
(1)$m \geqq 2$のとき，$x$に対してうまく$y$を選び，$P_m(x)$を$P_{m-1}(y)$で表せ．
(2)$n$を自然数とするとき，$P_{2n}(10)$を求めよ．