表の出る確率が$p \ (0<p<1)$のコインを投げ，表が出れば5点を得，裏が出れば1点を得るものとする．コインを投げ続けるとき以下の問いに答えよ．

(1)$n$回投げたときの得点の取りうる値をすべて求めよ．また，得点がそれぞれの値となる確率を求めよ．
(2)10回コインを投げて，得点が14点以下になる確率を求めよ．

表の出る確率が$p \ (0<p<1)$のコインを投げ，表が出れば5点を得，裏が出れば1点を得るものとする．コインを投げ続けるとき以下の問いに答えよ．

(1)$n$回投げたときの得点の取りうる値をすべて求めよ．また，得点がそれぞれの値となる確率を求めよ．
(2)10回コインを投げて，得点が14点以下になる確率を求めよ．

表と裏のあるコイン14枚を一列に並べる．隣接する2枚の組すべてに着目し，表表，裏裏，表裏，裏表となる組の個数をそれぞれ数える．例えば，「表表表裏裏表表表裏裏裏裏裏裏」の順に並べた場合，表表は4個，裏裏は6個，表裏は2個，裏表は1個である．次の問いに答えよ．

(1)表表が0個，裏裏が11個，表裏が1個，裏表が1個となる並べ方は何通りか．
(2)表表が0個，裏裏が9個，表裏が2個，裏表が2個となる並べ方は何通りか．
(3)表表が2個，裏裏が6個，表裏が3個，裏表が2個となる並べ方は何通りか．

表が出る確率が$a \ (0<a<\displaystyle\frac{1}{2})$，裏が出る確率が$1-a$のコインを1枚投げる試行を$n$回行う．ただし$n \geqq 2$とする．この$n$回の試行の結果，表が$2$回以上出る事象を$A_n$で表す．また$1$回目から$n$回目の試行が終わるまでに，[裏→表]の順で出ない事象を$B_n$で表す．つぎの問に答えよ．

(1)確率$P(A_n),\ P(B_n)$を求めよ．
(2)確率$P(A_n \cap B_n)$を求めよ．
(3)極限
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{P(A_n)P(B_n)}{P(A_n \cap B_n)} \]
を求めよ．ただし，$0<r<1$をみたす$r$に対して，$\displaystyle\lim_{n \to \infty} nr^n = 0$となることを証明なしに用いてよい．

$n$を自然数とする．$1$枚のコインを投げ続けて，裏が出た時点で終了するゲームを行う．ただし，$n$回続けて表が出たときもゲームは終了するものとする．このゲームで出た表の数を$p$とするとき，次のように得点を与える．

$p=0$ならば得点は$0$
$p \geqq 1$ならば得点は$3^p$である．

得点の期待値を求めよ．

$4$枚のコインの表に$1$から$4$まで数字が$1$つずつ書かれている．これらを同時に投げ，表が出たコインに書かれた数字の和を$S$とする．ただし，すべてが裏のときは$S=0$とする．

(1)$1 \leqq S \leqq 5$である確率を求めよ．
(2)$S$の期待値を求めよ．
(3)表が出たコインに書かれた数字のうち奇数だけの和を$T$とする．$T$の期待値を求めよ．

あるゲームでは，確率$p$で表が出るコインを$3$回投げる．表が$3$回出れば$15$円，ちょうど$2$回出れば$3$円，$1$回だけ出れば$1$円，$1$回も出なければ$6$円それぞれ支払わなければならない．

(1)支払額の期待値を$p$の関数として表せ．
(2)支払額の期待値を最小にするような$p$の値とそのときの期待値を求めよ．

次の問いに答えなさい．

(1)自然数$m,\ n$に対し，命題「$m^2+n^2$が偶数ならば，$m+n$は偶数である」が真ならば「真」と，偽ならば反例を$[$\mathrm{A]$}$に記入しなさい．
(2)$2^x=5^y=100$のとき，$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=[$\mathrm{B]$}$となる．
(3)$xy$座標平面において，円$x^2+y^2=3$と直線$x+y=1$の$2$つの交点を結ぶ線分の長さは，$[$\mathrm{C]$}$である．
(4)数直線上を動く点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$にある．表と裏が等しい確率で出るコインを投げ，表が出ると正方向に$1$だけ進み，裏が出ると負方向に$1$だけ進むことを繰り返す．コインを$10$回投げるとき，$\mathrm{P}$の座標が$-6$となる確率は，$[$\mathrm{D]$}$である．
(5)方程式$x^3-3x^2-9x-a=0$が異なる$3$つの実数解を持つとき，定数$a$が満たさなければならない条件を$[あ]$で求めなさい．

一辺の長さ$1$の正六角形の頂点を時計まわりの順に$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．動点$\mathrm{P}$は最初は点$\mathrm{A}$上にある．コインを投げ，表が出たら$2$，裏が出たら$1$だけ$\mathrm{P}$を正六角形上で時計まわりに動かすゲームを考える．動点$\mathrm{P}$が最初にちょうど点$\mathrm{A}$上に戻ったときゲーム終了とする．


(1)ちょうど$1$周してゲーム終了となる確率は$\displaystyle \frac{[ア][イ]}{[ウ][エ]}$である．

(2)ちょうど$2$周してゲーム終了となる確率は$\displaystyle \frac{[オ][カ][キ]}{\kakkofour{ク}{ケ}{コ}{サ}}$である．

表が出る確率が$p$，裏がでる確率が$1-p$である1個のコインがある．ただし，$p$は$0<p<1$である定数とする．このコインをくりかえし投げる試行を考える．$n$を2以上の自然数とし，$Q_n$を$n$回目に初めて2回続けて表が出る確率とする．以下の問いに答えよ．

(1)$Q_2,\ Q_3,\ Q_4$を$p$を用いて表せ．
(2)1回目に表が出た場合と裏が出た場合に分けることによって，$Q_{n+2}$を$Q_n,\ Q_{n+1}$および$p$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle p=\frac{3}{7}$のとき，一般項$Q_n$を$n$を用いて表せ．