投げたとき表と裏の出る確率がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$のコインを$1$枚用意し，次のように左から順に文字を書く．

コインを投げ，表が出たときは文字列$\mathrm{AA}$を書き，裏が出たときは文字$\mathrm{B}$を書く．さらに繰り返しコインを投げ，同じ規則に従って，$\mathrm{AA}$，$\mathrm{B}$をすでにある文字列の右側につなげて書いていく．
たとえば，コインを$5$回投げ，その結果が順に表，裏，裏，表，裏であったとすると，得られる文字列は，
\[ \mathrm{A} \ \mathrm{A} \ \mathrm{B} \ \mathrm{B} \ \mathrm{A} \ \mathrm{A} \ \mathrm{B} \]
となる．このとき，左から$4$番目の文字は$\mathrm{B}$，$5$番目の文字は$\mathrm{A}$である．

(1)$n$を正の整数とする．$n$回コインを投げ，文字列を作るとき，文字列の左から$n$番目の文字が$\mathrm{A}$となる確率を求めよ．
(2)$n$を$2$以上の整数とする．$n$回コインを投げ，文字列を作るとき，文字列の左から$n-1$番目の文字が$\mathrm{A}$で，かつ$n$番目の文字が$\mathrm{B}$となる確率を求めよ．

コインを$n$回続けて投げ，$1$回投げるごとに次の規則に従って得点を得るゲームをする．
\begin{itemize}
コイン投げの第$1$回目には，$1$点を得点とする．
コイン投げの第$2$回目以降において，ひとつ前の回と異なる面が出たら，$1$点を得点とする．
コイン投げの第$2$回目以降において，ひとつ前の回と同じ面が出たら，$2$点を得点とする．
\end{itemize}
例えばコインを$3$回投げて（裏，表，裏）の順に出たときの得点は，$1+1+1=3$より$3$点となる．また（裏，裏，表）のときの得点は，$1+2+1=4$より$4$点となる．

コインの表と裏が出る確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$とし，このゲームで得られる得点が$m$となる確率を$P_{n,m}$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$n \geqq 2$が与えられたとき，$P_{n,2n-1}$と$P_{n,2n-2}$を求めよ．
(2)$n \leqq m \leqq 2n-1$について，$P_{n,m}$を$n$と$m$の式で表せ．

コインを$n$回続けて投げ，$1$回投げるごとに次の規則に従って得点を得るゲームをする．
\begin{itemize}
コイン投げの第$1$回目には，$1$点を得点とする．
コイン投げの第$2$回目以降において，ひとつ前の回と異なる面が出たら，$1$点を得点とする．
コイン投げの第$2$回目以降において，ひとつ前の回と同じ面が出たら，$2$点を得点とする．
\end{itemize}
例えばコインを$3$回投げて（裏，表，裏）の順に出たときの得点は，$1+1+1=3$より$3$点となる．また（裏，裏，表）のときの得点は，$1+2+1=4$より$4$点となる．

コインの表と裏が出る確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$とし，このゲームで得られる得点が$m$となる確率を$P_{n,m}$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$n \geqq 2$が与えられたとき，$P_{n,2n-1}$と$P_{n,2n-2}$を求めよ．
(2)$n \leqq m \leqq 2n-1$について，$P_{n,m}$を$n$と$m$の式で表せ．

コインを$n$回続けて投げ，$1$回投げるごとに次の規則に従って得点を得るゲームをする．
\begin{itemize}
コイン投げの第$1$回目には，$1$点を得点とする．
コイン投げの第$2$回目以降において，ひとつ前の回と異なる面が出たら，$1$点を得点とする．
コイン投げの第$2$回目以降において，ひとつ前の回と同じ面が出たら，$2$点を得点とする．
\end{itemize}
例えばコインを$3$回投げて（裏，表，裏）の順に出たときの得点は，$1+1+1=3$より$3$点となる．また（裏，裏，表）のときの得点は，$1+2+1=4$より$4$点となる．

コインの表と裏が出る確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$とし，このゲームで得られる得点が$m$となる確率を$P_{n,m}$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$n \geqq 2$が与えられたとき，$P_{n,2n-1}$と$P_{n,2n-2}$を求めよ．
(2)$n \leqq m \leqq 2n-1$について，$P_{n,m}$を$n$と$m$の式で表せ．

「表が出る確率が$p (0<p<1)$，裏が出る確率が$1-p$のコインを投げ，数直線上の点$\mathrm{A}$を次の規則（ア），（イ）にしたがって動かす」という操作を繰り返し行う．ただし，点$\mathrm{A}$は最初は原点にあるものとする．

\mon[（ア）] 点$\mathrm{A}$が$-1,\ 0,\ 1,\ 2$のいずれかにあるときには，コインを投げて表が出れば点$\mathrm{A}$を$+2$だけ移動させ，裏が出れば点$\mathrm{A}$を$-1$だけ移動させる．
\mon[（イ）] 点$\mathrm{A}$が$-1,\ 0,\ 1,\ 2$以外にあるときには，コインを投げて表が出ても裏が出ても点$\mathrm{A}$を移動させない．

このような操作を$n$回行った後の点$\mathrm{A}$の座標を$x_n$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)上の操作を$3$回繰り返した後，$x_1 \neq 0$かつ$x_2 \neq 0$かつ$x_3 \neq 0$となる確率を求めよ．
(2)$k$を自然数とする．$x_{3k}=0$となる確率，$x_{3k+1}=0$となる確率，$x_{3k+2}=0$となる確率をそれぞれ求めよ．
(3)$k$を自然数とする．$x_{3k-2} \neq x_{3k-1}$かつ$x_{3k-1}=x_{3k}$となる確率を求めよ．

大小$2$つのサイコロと$1$枚のコインを同時に投げ，大小のサイコロの目をそれぞれ$a,\ b$とする．さらに，コインが表なら$c=1$とし，コインが裏なら$c=-1$とする．このとき，$2$次方程式
\[ x^2+ax+bc=0 \]
の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．

(1)$\alpha$と$\beta$が実数である確率を求めよ．
(2)$\alpha$と$\beta$が実数であり，かつ$|\alpha|+|\beta|$が整数である確率を求めよ．

$n$を自然数とする．表と裏が$\displaystyle\frac{1}{2}$の確率で出現するコインを$n$回繰り返し投げる試行をおこなう．各試行に対して$n$個の数$X_1,\ \cdots,\ X_n$をつぎのように定義する．
\[ X_i=\left\{ \begin{array}{ll}
X_{i-1}+1 & (i \text{回目の結果が表の場合}) \\
X_{i-1}+2 & (i \text{回目の結果が裏の場合})
\end{array} \right. \]
ただし$X_0=0$とする．$X_1,\ X_2,\ \cdots,\ X_n$のいずれかが値$k (1 \leqq k \leqq 2n)$と等しくなる確率を$P(n,\ k)$と記す．例えば，$n=1$ならば$\displaystyle P(1,\ 1)=\frac{1}{2}$，$\displaystyle P(1,\ 2)=\frac{1}{2}$となる．$n=2$ならば$\displaystyle P(2,\ 1)=\frac{1}{2}$，$\displaystyle P(2,\ 4)=\frac{[$1$]}{[$2$]}$となる．

$3 \leqq k \leqq n$とする．$X_i=k$となるのは，$X_{i-1}=k-1$で$i$回目の結果が表となるか，あるいは$X_{i-1}=k-2$で$i$回目の結果が裏となるかのいずれかの場合である．したがって
\[ P(n,\ k)=\frac{[$3$]}{[$4$]}P(n,\ k-1)+\frac{[$5$]}{[$6$]}P(n,\ k-2) \quad (3 \leqq k \leqq n) \]
が成り立つ．
いまコインを$10$回投げる試行を考える．このとき
\[ P(10,\ 2)=\frac{[$7$]}{[$8$]},\quad P(10,\ 5)=\frac{[$9$][$10$]}{[$11$][$12$]} \]
である．

表が出る確率が$\displaystyle q \ \left( q<\frac{1}{2} \right)$，裏が出る確率が$1-q$であるコインを使い，$xy$平面上の動点$P$を次の規則で動かす．
\begin{itemize}
動点$P$は原点から出発する．
コインを投げて表が出ると，$x$軸の正の方向に$1$移動する．
コインを投げて裏が出ると，$y$軸の正の方向に$1$移動する．
\end{itemize}
このコインを$4$回投げたとき，動点$P$が点$\mathrm{A}(2,\ 2)$に到着する確率は$\displaystyle \frac{8}{27}$である．このとき，以下の設問に答えよ．なお，解答の数値は分数および累乗のままでよい．

(1)このコインを$1$回投げたとき，表が出る確率$q$を求めよ．
(2)このコインを$8$回投げたとき，
動点$P$が，途中で点$\mathrm{A}(2,\ 2)$を通らずに，点$\mathrm{B}(4,\ 4)$に到着する確率
を求めよ．

$3$個の玉が横に一列に並んでいる．コインを$1$回投げて，それが表であれば，そのときに中央にある玉とその左にある玉とを入れ替える．また，それが裏であれば，そのときに中央にある玉とその右にある玉とを入れ替える．この操作を繰り返す．

(1)最初に中央にあったものが$n$回後に中央にある確率を求めよ．
(2)最初に右端にあったものが$n$回後に右端にある確率を求めよ．

$3$個の玉が横に一列に並んでいる．コインを$1$回投げて，それが表であれば，そのときに中央にある玉とその左にある玉とを入れ替える．また，それが裏であれば，そのときに中央にある玉とその右にある玉とを入れ替える．この操作を繰り返す．

(1)最初に中央にあったものが$n$回後に中央にある確率を求めよ．
(2)最初に右端にあったものが$n$回後に右端にある確率を求めよ．