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私立 広島修道大学 2012年 第1問空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．
(1)$a,\ b$を実数とする．$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の$1$つの解$\alpha$が$1-\sqrt{3}i$のとき，$a=[$1$]$，$b=[$2$]$となる．もう$1$つの解を$\beta$とするとき，$\alpha-2$，$\beta-2$を解とし，$x^2$の係数が$1$である$2$次方程式は$x^2+[$3$]x+[$4$]=0$となる．
(2)$a=\sqrt{3}$のとき，$|a-2|+|a+3|$の値は$[$5$]$である．また，方程式$|x+1|=4$の解は$[$6$]$である．
(3)$2+\sqrt{2}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とするとき，$\displaystyle 2a^2-\left( b^3+\frac{1}{b^3} \right)$の値は$[$7$]$である．
(4)$1$個のさいころを投げて，出た目が奇数なら$2$ポイント，偶数なら$4$ポイント獲得できるゲームがある．$1$回投げて獲得できるポイントの期待値は$[$8$]$である．また，さいころを$3$回投げたとき，獲得したポイントの合計が$12$である確率は$[$9$]$であり，$10$以上である確率は$[$10$]$である．
(5)放物線$y=x^3-3x^2+2$上の点$(1,\ 0)$における接線の方程式は$[$11$]$である．
(1)$a,\ b$を実数とする．$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の$1$つの解$\alpha$が$1-\sqrt{3}i$のとき，$a=[$1$]$，$b=[$2$]$となる．もう$1$つの解を$\beta$とするとき，$\alpha-2$，$\beta-2$を解とし，$x^2$の係数が$1$である$2$次方程式は$x^2+[$3$]x+[$4$]=0$となる．
(2)$a=\sqrt{3}$のとき，$|a-2|+|a+3|$の値は$[$5$]$である．また，方程式$|x+1|=4$の解は$[$6$]$である．
(3)$2+\sqrt{2}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とするとき，$\displaystyle 2a^2-\left( b^3+\frac{1}{b^3} \right)$の値は$[$7$]$である．
(4)$1$個のさいころを投げて，出た目が奇数なら$2$ポイント，偶数なら$4$ポイント獲得できるゲームがある．$1$回投げて獲得できるポイントの期待値は$[$8$]$である．また，さいころを$3$回投げたとき，獲得したポイントの合計が$12$である確率は$[$9$]$であり，$10$以上である確率は$[$10$]$である．
(5)放物線$y=x^3-3x^2+2$上の点$(1,\ 0)$における接線の方程式は$[$11$]$である．
私立 北星学園大学 2012年 第4問男子チームと女子チームがある．$1$から$8$までの数字が書かれた$8$枚のカードがある．カードを$1$枚引き，その数字が$5$以下であれば男子の勝ち，$5$より大きければ女子の勝ちになるゲームをする．引いたカードを戻さずにこのゲームを$3$回するとき，以下の問に答えよ．
(1)$3$回ともすべて男子の勝ちとなる確率を求めよ．
(2)$3$回のゲームで取り出したカードの数字の小さい順に，$X,\ Y,\ Z$とする．$X=2$のとき，少なくとも$1$回は男子が勝ちとなる場合の数を求めよ．
(3)$3$回のゲームで取り出したカードの数字の小さい順に，$X,\ Y,\ Z$とする．少なくとも$1$回は男子が勝ちとなる場合について$X$の期待値を求めよ．
(1)$3$回ともすべて男子の勝ちとなる確率を求めよ．
(2)$3$回のゲームで取り出したカードの数字の小さい順に，$X,\ Y,\ Z$とする．$X=2$のとき，少なくとも$1$回は男子が勝ちとなる場合の数を求めよ．
(3)$3$回のゲームで取り出したカードの数字の小さい順に，$X,\ Y,\ Z$とする．少なくとも$1$回は男子が勝ちとなる場合について$X$の期待値を求めよ．
私立 愛知学院大学 2012年 第4問一辺の長さ$1$の正六角形の頂点を時計まわりの順に$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．動点$\mathrm{P}$は最初は点$\mathrm{A}$上にある．コインを投げ，表が出たら$2$，裏が出たら$1$だけ$\mathrm{P}$を正六角形上で時計まわりに動かすゲームを考える．動点$\mathrm{P}$が最初にちょうど点$\mathrm{A}$上に戻ったときゲーム終了とする．
(1)ちょうど$1$周してゲーム終了となる確率は$\displaystyle \frac{[ア][イ]}{[ウ][エ]}$である．
(2)ちょうど$2$周してゲーム終了となる確率は$\displaystyle \frac{[オ][カ][キ]}{\kakkofour{ク}{ケ}{コ}{サ}}$である．
(1)ちょうど$1$周してゲーム終了となる確率は$\displaystyle \frac{[ア][イ]}{[ウ][エ]}$である．
(2)ちょうど$2$周してゲーム終了となる確率は$\displaystyle \frac{[オ][カ][キ]}{\kakkofour{ク}{ケ}{コ}{サ}}$である．
公立 和歌山県立医科大学 2012年 第3問$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人が袋の中から玉を$1$つずつ交互に取り出すゲームを考える．最初に玉を取り出すのは$\mathrm{A}$で，また$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$はともに取り出した玉を袋に戻さない．
(1)初め袋の中には白玉が$(2n-2)$個（$n \geqq 1$），赤玉が$2$個入っているとする．$2$つ目の赤玉を取り出した方を勝ちとして終了するとき，$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めよ．
(2)初め袋の中には白玉が$(2n-3)$個（$n \geqq 2$），赤玉が$2$個，黒玉が$1$個入っているとする．次の$(ⅰ)$と$(ⅱ)$にしたがって勝敗を決めるとき，$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めよ．
(i) 一方が黒玉を取り出したときは，他方を勝ちとして終了する．
(ii) 一方が$2$つ目の赤玉を取り出したときは，その者を勝ちとして終了する．
(1)初め袋の中には白玉が$(2n-2)$個（$n \geqq 1$），赤玉が$2$個入っているとする．$2$つ目の赤玉を取り出した方を勝ちとして終了するとき，$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めよ．
(2)初め袋の中には白玉が$(2n-3)$個（$n \geqq 2$），赤玉が$2$個，黒玉が$1$個入っているとする．次の$(ⅰ)$と$(ⅱ)$にしたがって勝敗を決めるとき，$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めよ．
(i) 一方が黒玉を取り出したときは，他方を勝ちとして終了する．
(ii) 一方が$2$つ目の赤玉を取り出したときは，その者を勝ちとして終了する．
公立 釧路公立大学 2012年 第2問以下の各問に答えよ．
(1)次の式の展開式における$x^3y^3$の項の係数を求めよ．$(x-2y)^6$
(2)アタリくじ$3$枚とハズレくじ$7$枚が入っている箱がある．この箱からくじを$3$枚同時に取り出し，取り出されたアタリくじ$1$枚について$500$円を受け取るゲームがある．このゲームの参加料が何円未満であれば，このゲームに参加することが得であるといえるか求めよ．
(3)$3$辺が$\mathrm{AB}=12$，$\mathrm{BC}=13$，$\mathrm{CA}=5$である$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円と辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の接点を，それぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{BP}$の長さと内接円の半径を求めよ．
(1)次の式の展開式における$x^3y^3$の項の係数を求めよ．$(x-2y)^6$
(2)アタリくじ$3$枚とハズレくじ$7$枚が入っている箱がある．この箱からくじを$3$枚同時に取り出し，取り出されたアタリくじ$1$枚について$500$円を受け取るゲームがある．このゲームの参加料が何円未満であれば，このゲームに参加することが得であるといえるか求めよ．
(3)$3$辺が$\mathrm{AB}=12$，$\mathrm{BC}=13$，$\mathrm{CA}=5$である$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円と辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の接点を，それぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{BP}$の長さと内接円の半径を求めよ．
国立 神戸大学 2011年 第3問袋の中に0から4までの数字のうち1つが書かれたカードが1枚ずつ合計5枚入っている．4つの数$0,\ 3,\ 6,\ 9$をマジックナンバーと呼ぶことにする．次のようなルールをもつ，1人で行うゲームを考える．\\
\quad ルール：袋から無作為に 1 枚ずつカードを取り出していく．ただし，一度取
り出したカードは袋に戻さないものとする．取り出したカードの数字の合計がマ
ジックナンバーになったとき，その時点で負けとし，それ以降はカードを取り出
さない．途中で負けとなることなく，すべてのカードを取り出せたとき，勝ちと
する．以下の問に答えよ．
(1)2枚のカードを取り出したところで負けとなる確率を求めよ．
(2)3枚のカードを取り出したところで負けとなる確率を求めよ．
(3)このゲームで勝つ確率を求めよ．
\quad ルール：袋から無作為に 1 枚ずつカードを取り出していく．ただし，一度取
り出したカードは袋に戻さないものとする．取り出したカードの数字の合計がマ
ジックナンバーになったとき，その時点で負けとし，それ以降はカードを取り出
さない．途中で負けとなることなく，すべてのカードを取り出せたとき，勝ちと
する．以下の問に答えよ．
(1)2枚のカードを取り出したところで負けとなる確率を求めよ．
(2)3枚のカードを取り出したところで負けとなる確率を求めよ．
(3)このゲームで勝つ確率を求めよ．
国立 九州工業大学 2011年 第4問図のような番号のついたマス目と駒とサイコロを使って，以下に示す規則にしたがうゲームを考える．
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline
\end{tabular}
\begin{itemize}
駒は最初0番のマス目に置く．
サイコロを投げ，出た目の数だけ駒を10番のマス目に向かって進める．
駒がちょうど10番のマス目に止まればゴールとする．
ただし，10番のマス目を超える場合は，その分だけ10番のマス目から0番のマス目側に戻る．
\end{itemize}
たとえば，7番のマス目に駒があり，出た目が5であった場合は，駒は8番のマス目に移動し，その次に出た目が2であった場合はゴールする．以下の問いに答えよ．
(1)2投目でゴールする確率を求めよ．
(2)2投目の後，9番のマス目に駒がある確率を求めよ．
(3)3投目でゴールする確率を求めよ．
(4)このゲームを使ってA，Bの2名が対戦する．Aから始めて，交互にサイコロを投げて各自の駒を進める試行を行ない，先にゴールした方を勝ちとする．ただし，どちらも2投以内でゴールしない場合は引き分けとする．引き分ける確率を求めよ．
(5)A，Bの駒をそれぞれ0番，$k$番$(0<k<10)$のマス目に置いて(4)と同様の対戦を開始するとき，Aが勝つ確率よりBが勝つ確率の方が高くなるための$k$の条件を求めよ．
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline
\end{tabular}
\begin{itemize}
駒は最初0番のマス目に置く．
サイコロを投げ，出た目の数だけ駒を10番のマス目に向かって進める．
駒がちょうど10番のマス目に止まればゴールとする．
ただし，10番のマス目を超える場合は，その分だけ10番のマス目から0番のマス目側に戻る．
\end{itemize}
たとえば，7番のマス目に駒があり，出た目が5であった場合は，駒は8番のマス目に移動し，その次に出た目が2であった場合はゴールする．以下の問いに答えよ．
(1)2投目でゴールする確率を求めよ．
(2)2投目の後，9番のマス目に駒がある確率を求めよ．
(3)3投目でゴールする確率を求めよ．
(4)このゲームを使ってA，Bの2名が対戦する．Aから始めて，交互にサイコロを投げて各自の駒を進める試行を行ない，先にゴールした方を勝ちとする．ただし，どちらも2投以内でゴールしない場合は引き分けとする．引き分ける確率を求めよ．
(5)A，Bの駒をそれぞれ0番，$k$番$(0<k<10)$のマス目に置いて(4)と同様の対戦を開始するとき，Aが勝つ確率よりBが勝つ確率の方が高くなるための$k$の条件を求めよ．
国立 大阪教育大学 2011年 第4問次のようなゲームを考える．成功の確率が$p \ (0<p<1)$，失敗の確率が$q \ (=1-p)$であるような試行をAとBの2人が行い，先に成功した方を勝ちとする．なお，Aが勝つ確率がBが勝つ確率より大きいとき，ゲームはAに有利であるといい，Aが勝つ確率とBが勝つ確率が等しいとき，ゲームは公平であるという．このとき，次の問に答えよ．
(1)Aから始めて，以後交互に試行を行う．すなわち，ABABAB$\cdots$という順で試行を行う．このとき，$p$の値にかかわらずゲームはAに有利であることを示せ．
(2)Aから始めるが，Aが1回に対して，Bは2回試行を行えるとする．すなわち，ABBABB$\cdots$という順で試行を行う．$p$がどのような値のとき，ゲームは公平になるか．
(3)(2)において，ゲームが公平であるとき，$q$についての等式$q=q^2+q^4+q^6+\cdots$が成り立つことを示せ．
(1)Aから始めて，以後交互に試行を行う．すなわち，ABABAB$\cdots$という順で試行を行う．このとき，$p$の値にかかわらずゲームはAに有利であることを示せ．
(2)Aから始めるが，Aが1回に対して，Bは2回試行を行えるとする．すなわち，ABBABB$\cdots$という順で試行を行う．$p$がどのような値のとき，ゲームは公平になるか．
(3)(2)において，ゲームが公平であるとき，$q$についての等式$q=q^2+q^4+q^6+\cdots$が成り立つことを示せ．
私立 立教大学 2011年 第2問袋に赤玉が$1$個，白玉が$2$個の合計$3$個の玉が入っている．袋から玉$1$個を取り出し，玉の色を確認し，また袋に戻す，という作業を$2$回行い，これを$1$回の試行と考える．この試行を使って，$\mathrm{A}$君と$\mathrm{B}$君の$2$人が以下のようなゲームをすることにした．
\begin{itemize}
取り出した玉の色の$1$番目が白，$2$番目が赤であれば，$\mathrm{A}$君が勝ち抜けとなり，
取り出した玉の色の$1$番目が赤，$2$番目が白であれば，$\mathrm{B}$君が勝ち抜けとなり，
取り出した玉の色が$2$回とも同じ色であれば，引き分けとし，試行を続ける．
\end{itemize}
また，どちらか$1$人が勝ち抜けた後も，同様に玉を$2$回出し入れする試行を続け，以下の場合にゲームを終了させることにした．
\begin{itemize}
残った$1$人が$\mathrm{A}$君のとき，取り出した玉の色の$1$番目が白，$2$番目が赤である場合．
残った$1$人が$\mathrm{B}$君のとき，取り出した玉の色の$1$番目が赤，$2$番目が白である場合．
\end{itemize}
このとき，次の問に答えよ．
(1)$1$回目の試行で，$\mathrm{A}$君が勝ち抜ける確率，$\mathrm{B}$君が勝ち抜ける確率，引き分けになる確率をそれぞれ求めよ．
(2)$3$回目の試行でゲームが終了する確率を求めよ．
(3)$\mathrm{A}$君のほうが早く勝ち抜けし，その後，$n$回目の試行で$\mathrm{B}$君がゲームを終了させる確率を$n$を用いて表せ．ただし，$n \geqq 2$とし，$n$には$\mathrm{A}$君が勝ち抜けるまでの試行の回数も含むものとする．
\begin{itemize}
取り出した玉の色の$1$番目が白，$2$番目が赤であれば，$\mathrm{A}$君が勝ち抜けとなり，
取り出した玉の色の$1$番目が赤，$2$番目が白であれば，$\mathrm{B}$君が勝ち抜けとなり，
取り出した玉の色が$2$回とも同じ色であれば，引き分けとし，試行を続ける．
\end{itemize}
また，どちらか$1$人が勝ち抜けた後も，同様に玉を$2$回出し入れする試行を続け，以下の場合にゲームを終了させることにした．
\begin{itemize}
残った$1$人が$\mathrm{A}$君のとき，取り出した玉の色の$1$番目が白，$2$番目が赤である場合．
残った$1$人が$\mathrm{B}$君のとき，取り出した玉の色の$1$番目が赤，$2$番目が白である場合．
\end{itemize}
このとき，次の問に答えよ．
(1)$1$回目の試行で，$\mathrm{A}$君が勝ち抜ける確率，$\mathrm{B}$君が勝ち抜ける確率，引き分けになる確率をそれぞれ求めよ．
(2)$3$回目の試行でゲームが終了する確率を求めよ．
(3)$\mathrm{A}$君のほうが早く勝ち抜けし，その後，$n$回目の試行で$\mathrm{B}$君がゲームを終了させる確率を$n$を用いて表せ．ただし，$n \geqq 2$とし，$n$には$\mathrm{A}$君が勝ち抜けるまでの試行の回数も含むものとする．
私立 立教大学 2011年 第2問$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$名が次のようなルールのゲームを行った．
$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$で同時にサイコロを振り，偶数が出た場合は得点を$1$とし，奇数が出た場合は得点を$0$とする．
それぞれが$5$回サイコロを振り終わった時点で，より多くの得点をあげたものを勝者とし，得点が同じ場合は引き分けとする．
このとき，次の問に答えよ．
(1)$\mathrm{A}$の得点が$0$点かつ$\mathrm{B}$の得点が$1$点という経過の後で，終了時に$\mathrm{A}$の得点が$4$点である場合，得点の取り方は何通りあるか．
(2)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が引き分ける確率を求めよ．
(3)$\mathrm{A}$が勝利する確率を求めよ．
$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$で同時にサイコロを振り，偶数が出た場合は得点を$1$とし，奇数が出た場合は得点を$0$とする．
それぞれが$5$回サイコロを振り終わった時点で，より多くの得点をあげたものを勝者とし，得点が同じ場合は引き分けとする．
このとき，次の問に答えよ．
(1)$\mathrm{A}$の得点が$0$点かつ$\mathrm{B}$の得点が$1$点という経過の後で，終了時に$\mathrm{A}$の得点が$4$点である場合，得点の取り方は何通りあるか．
(2)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が引き分ける確率を求めよ．
(3)$\mathrm{A}$が勝利する確率を求めよ．