「ゲーム」について
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国立 滋賀大学 2014年 第3問次のようなゲームを行い，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人の中から$1$人の勝者を決める．赤玉$3$個，白玉$5$個，黒玉$7$個が入った袋から$4$個の玉を同時に取り出し，最も多く取り出された玉が赤玉ならば$\mathrm{A}$，白玉ならば$\mathrm{B}$，黒玉ならば$\mathrm{C}$の勝ちとする．ただし，赤玉と白玉が$2$個ずつ，あるいは赤玉と黒玉が$2$個ずつ取り出されたときは$\mathrm{A}$の勝ち，白玉と黒玉が$2$個ずつ取り出されたときは$\mathrm{B}$の勝ちとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)取り出された$4$個の玉が，赤玉$1$個，白玉$1$個，黒玉$2$個である確率を求めよ．
(2)このゲームを$1$回行ったとき，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が勝つ確率$p_A$，$p_B$，$p_C$をそれぞれ求めよ．
(3)このゲームを$6$回繰り返し行ったとき，$\mathrm{A}$が$1$回，$\mathrm{B}$が$2$回，$\mathrm{C}$が$3$回勝つ確率を$p_A$，$p_B$，$p_C$を用いて表せ．
(1)取り出された$4$個の玉が，赤玉$1$個，白玉$1$個，黒玉$2$個である確率を求めよ．
(2)このゲームを$1$回行ったとき，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が勝つ確率$p_A$，$p_B$，$p_C$をそれぞれ求めよ．
(3)このゲームを$6$回繰り返し行ったとき，$\mathrm{A}$が$1$回，$\mathrm{B}$が$2$回，$\mathrm{C}$が$3$回勝つ確率を$p_A$，$p_B$，$p_C$を用いて表せ．
国立 島根大学 2014年 第1問最初の持ち点を$1$点として，$n$回硬貨を投げ，投げるたびに，表が出ると持ち点は$\displaystyle \frac{7}{4}$倍に，裏が出ると持ち点は$\displaystyle \frac{1}{2}$倍になるゲームを考える．たとえば，$n=2$で表，裏の順に出れば，持ち点は$\displaystyle 1 \times \frac{7}{4} \times \frac{1}{2}=\frac{7}{8}$点となる．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$n=2$のとき，ゲームが終わったあとの持ち点のとりうる値をすべて求めよ．
(2)$n=4$のとき，ゲームが終わったあとの持ち点が$1$点以下になる確率を求めよ．
(3)$n=k$のとき，ゲームが終わったあとの持ち点の期待値を$k$を用いて表せ．
(1)$n=2$のとき，ゲームが終わったあとの持ち点のとりうる値をすべて求めよ．
(2)$n=4$のとき，ゲームが終わったあとの持ち点が$1$点以下になる確率を求めよ．
(3)$n=k$のとき，ゲームが終わったあとの持ち点の期待値を$k$を用いて表せ．
国立 島根大学 2014年 第1問最初の持ち点を$1$点として，$n$回硬貨を投げ，投げるたびに，表が出ると持ち点は$\displaystyle \frac{7}{4}$倍に，裏が出ると持ち点は$\displaystyle \frac{1}{2}$倍になるゲームを考える．たとえば，$n=2$で表，裏の順に出れば，持ち点は$\displaystyle 1 \times \frac{7}{4} \times \frac{1}{2}=\frac{7}{8}$点となる．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$n=2$のとき，ゲームが終わったあとの持ち点のとりうる値をすべて求めよ．
(2)$n=4$のとき，ゲームが終わったあとの持ち点が$1$点以下になる確率を求めよ．
(3)$n=k$のとき，ゲームが終わったあとの持ち点の期待値を$k$を用いて表せ．
(1)$n=2$のとき，ゲームが終わったあとの持ち点のとりうる値をすべて求めよ．
(2)$n=4$のとき，ゲームが終わったあとの持ち点が$1$点以下になる確率を求めよ．
(3)$n=k$のとき，ゲームが終わったあとの持ち点の期待値を$k$を用いて表せ．
国立 千葉大学 2014年 第2問$A$，$B$ふたりは，それぞれ$1$から$4$までの番号のついた$4$枚のカードを持ち，それを用いて何回かの勝負から成るつぎのゲームをする．
\begin{itemize}
初めに$A,\ B$はそれぞれ$4$枚のカードを自分の袋に入れ，よくかきまぜる．
$A,\ B$はそれぞれ自分の袋から無作為に$1$枚ずつカードを取り出し，そのカードを比較して$1$回の勝負を行う．すなわち，大きい番号のついたカードを取り出したほうがこの回は勝ちとし，番号が等しいときはこの回は引き分けとする．
袋から取り出したカードは袋に戻さないものとする．
$A,\ B$どちらかが$2$回勝てば，カードの取り出しをやめて，$2$回勝ったほうをゲームの勝者とする．$4$枚すべてのカードを取り出してもいずれも$2$回勝たなければゲームは引き分けとする．
\end{itemize}
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$A$が$0$勝$0$敗$4$引き分けしてゲームが引き分けになる確率を求めよ．
(2)$A$が$1$勝$1$敗$2$引き分けしてゲームが引き分けになる確率を求めよ．
(3)$A$がゲームの勝者になる確率を求めよ．
\begin{itemize}
初めに$A,\ B$はそれぞれ$4$枚のカードを自分の袋に入れ，よくかきまぜる．
$A,\ B$はそれぞれ自分の袋から無作為に$1$枚ずつカードを取り出し，そのカードを比較して$1$回の勝負を行う．すなわち，大きい番号のついたカードを取り出したほうがこの回は勝ちとし，番号が等しいときはこの回は引き分けとする．
袋から取り出したカードは袋に戻さないものとする．
$A,\ B$どちらかが$2$回勝てば，カードの取り出しをやめて，$2$回勝ったほうをゲームの勝者とする．$4$枚すべてのカードを取り出してもいずれも$2$回勝たなければゲームは引き分けとする．
\end{itemize}
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$A$が$0$勝$0$敗$4$引き分けしてゲームが引き分けになる確率を求めよ．
(2)$A$が$1$勝$1$敗$2$引き分けしてゲームが引き分けになる確率を求めよ．
(3)$A$がゲームの勝者になる確率を求めよ．
国立 千葉大学 2014年 第4問$A$，$B$ふたりは，それぞれ$1$から$4$までの番号のついた$4$枚のカードを持ち，それを用いて何回かの勝負から成るつぎのゲームをする．
\begin{itemize}
初めに$A,\ B$はそれぞれ$4$枚のカードを自分の袋に入れ，よくかきまぜる．
$A,\ B$はそれぞれ自分の袋から無作為に$1$枚ずつカードを取り出し，そのカードを比較して$1$回の勝負を行う．すなわち，大きい番号のついたカードを取り出したほうがこの回は勝ちとし，番号が等しいときはこの回は引き分けとする．
袋から取り出したカードは袋に戻さないものとする．
$A,\ B$どちらかが$2$回勝てば，カードの取り出しをやめて，$2$回勝ったほうをゲームの勝者とする．$4$枚すべてのカードを取り出してもいずれも$2$回勝たなければゲームは引き分けとする．
\end{itemize}
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$A$が$0$勝$0$敗$4$引き分けしてゲームが引き分けになる確率を求めよ．
(2)$A$が$1$勝$1$敗$2$引き分けしてゲームが引き分けになる確率を求めよ．
(3)$A$がゲームの勝者になる確率を求めよ．
\begin{itemize}
初めに$A,\ B$はそれぞれ$4$枚のカードを自分の袋に入れ，よくかきまぜる．
$A,\ B$はそれぞれ自分の袋から無作為に$1$枚ずつカードを取り出し，そのカードを比較して$1$回の勝負を行う．すなわち，大きい番号のついたカードを取り出したほうがこの回は勝ちとし，番号が等しいときはこの回は引き分けとする．
袋から取り出したカードは袋に戻さないものとする．
$A,\ B$どちらかが$2$回勝てば，カードの取り出しをやめて，$2$回勝ったほうをゲームの勝者とする．$4$枚すべてのカードを取り出してもいずれも$2$回勝たなければゲームは引き分けとする．
\end{itemize}
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$A$が$0$勝$0$敗$4$引き分けしてゲームが引き分けになる確率を求めよ．
(2)$A$が$1$勝$1$敗$2$引き分けしてゲームが引き分けになる確率を求めよ．
(3)$A$がゲームの勝者になる確率を求めよ．
私立 津田塾大学 2014年 第4問次のようなゲームを考える．袋の中に赤玉，白玉，青玉が$3$個ずつ入っている．袋の中から玉を$1$個ずつ取り出し，取り出した玉はもとに戻さないものとする．取り出した玉の色が赤，白，青ならば，それぞれ$3$点，$1$点，$-2$点を得るものとする．得た点の合計が$4$点以上になったとき，ゲームを終了する．以下の問いに答えよ．
(1)玉を$2$回取り出したときの合計点数の期待値（平均）を求めよ．
(2)ゲームが終了するまでに玉を$4$回以上取り出す確率を求めよ．
(1)玉を$2$回取り出したときの合計点数の期待値（平均）を求めよ．
(2)ゲームが終了するまでに玉を$4$回以上取り出す確率を求めよ．
私立 愛知学院大学 2014年 第3問さいころ$1$個とコイン$6$枚を用意し，次のようなゲームを行う．まずさいころを投げ，次に出た目の数と同じ枚数のコインを投げる．結果として表の出たコインの数を得点とする．
(1)得点が$6$となる確率を求めなさい．
(2)得点が$4$となる確率を求めなさい．
(3)得点が$2$となる確率を求めなさい．
(1)得点が$6$となる確率を求めなさい．
(2)得点が$4$となる確率を求めなさい．
(3)得点が$2$となる確率を求めなさい．
私立 龍谷大学 2014年 第3問図のようなマス目で，初めに$\mathrm{S}$のマスにコマを置く．さいころをふり，下のルールに従ってコマを動かして，得点するゲームを行う．なお，$\mathrm{G}$のマスに入ったらゲームを終了する．
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
\phantom{$\mathrm{G}$} & $\mathrm{G}$ & \phantom{$\mathrm{G}$} \\ \hline
& $\mathrm{S}$ & \\ \hline
\end{tabular}
\begin{itemize}
コマを動かすルール
さいころの目 \qquad 動かし方
\qquad $1,\ 2,\ 3$ \qquad 上に$1$マス
\qquad \phantom{$1,\ $} $4$ \phantom{$,\ 3$} \qquad \ 右に$1$マス
\qquad \phantom{$1,\ $} $5$ \phantom{$,\ 3$} \qquad \ 左に$1$マス
\qquad \phantom{$1,\ $} $6$ \phantom{$,\ 3$} \qquad \ 動かさない
ただし，動かす先のマスがない場合はコマを動かさない．
得点のルール
$(ⅰ)$ $1$回目の試行で$\mathrm{G}$のマスに入ったときは$3$点とする．
$(ⅱ)$ $2$回目の試行で$\mathrm{G}$のマスに入ったときは$2$点とする．
$(ⅲ)$ $3$回目の試行で$\mathrm{G}$のマスに入ったときは$1$点とする．
$\tokeishi$ $3$回までの試行で$\mathrm{G}$のマスに入らなかったときは$0$点とし，ゲームを終了する．
\end{itemize}
(1)得点が$2$点の確率を求めなさい．
(2)得点が$0$点の確率を求めなさい．
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
\phantom{$\mathrm{G}$} & $\mathrm{G}$ & \phantom{$\mathrm{G}$} \\ \hline
& $\mathrm{S}$ & \\ \hline
\end{tabular}
\begin{itemize}
コマを動かすルール
さいころの目 \qquad 動かし方
\qquad $1,\ 2,\ 3$ \qquad 上に$1$マス
\qquad \phantom{$1,\ $} $4$ \phantom{$,\ 3$} \qquad \ 右に$1$マス
\qquad \phantom{$1,\ $} $5$ \phantom{$,\ 3$} \qquad \ 左に$1$マス
\qquad \phantom{$1,\ $} $6$ \phantom{$,\ 3$} \qquad \ 動かさない
ただし，動かす先のマスがない場合はコマを動かさない．
得点のルール
$(ⅰ)$ $1$回目の試行で$\mathrm{G}$のマスに入ったときは$3$点とする．
$(ⅱ)$ $2$回目の試行で$\mathrm{G}$のマスに入ったときは$2$点とする．
$(ⅲ)$ $3$回目の試行で$\mathrm{G}$のマスに入ったときは$1$点とする．
$\tokeishi$ $3$回までの試行で$\mathrm{G}$のマスに入らなかったときは$0$点とし，ゲームを終了する．
\end{itemize}
(1)得点が$2$点の確率を求めなさい．
(2)得点が$0$点の確率を求めなさい．
私立 立教大学 2014年 第2問メダル$1$個を入れて，「一等賞」か「二等賞」か「はずれ」が出るゲーム機がある．一等賞だとメダル$10$個が戻り，二等賞だとメダル$2$個が戻り，はずれだとメダルは戻らない．二等賞が出る確率を$p$，はずれが出る確率を$q$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)メダルを$1$個もっている人が，$1$回ゲームをする．ゲーム終了後，手にしているメダルの個数の期待値を$p$と$q$を用いて表せ．
(2)メダルを$2$個もっている人が，$2$回ゲームをする．ゲーム終了後，$12$個のメダルを手にしている確率を$p$と$q$を用いて表せ．
(3)メダルを$3$個もっている人が，$3$回ゲームをする．ゲーム終了後，$12$個のメダルを手にしている確率を$p$と$q$を用いて表せ．
(4)メダルを$5$個もっている人が，$5$回ゲームをする．ゲーム終了後，$10$個のメダルを手にしている確率を$p$と$q$を用いて表せ．
(5)メダルを$5$個もっている人が，メダルがなくなるまでゲームをする．ちょうど$7$回目でゲームが終了する確率を$p$と$q$を用いて表せ．
(1)メダルを$1$個もっている人が，$1$回ゲームをする．ゲーム終了後，手にしているメダルの個数の期待値を$p$と$q$を用いて表せ．
(2)メダルを$2$個もっている人が，$2$回ゲームをする．ゲーム終了後，$12$個のメダルを手にしている確率を$p$と$q$を用いて表せ．
(3)メダルを$3$個もっている人が，$3$回ゲームをする．ゲーム終了後，$12$個のメダルを手にしている確率を$p$と$q$を用いて表せ．
(4)メダルを$5$個もっている人が，$5$回ゲームをする．ゲーム終了後，$10$個のメダルを手にしている確率を$p$と$q$を用いて表せ．
(5)メダルを$5$個もっている人が，メダルがなくなるまでゲームをする．ちょうど$7$回目でゲームが終了する確率を$p$と$q$を用いて表せ．
公立 大阪市立大学 2014年 第4問$3$個のさいころを同時に投げて得点を得るゲームをおこなう．$3$個のさいころのうち，最も大きな目が出たさいころを$1$個だけ，最も小さな目が出たさいころを$1$個だけ，それぞれ取り除き，残った$1$個のさいころの目を$C$とする．とくに，$3$個のさいころの目が一致するときは，その目が$C$である．$C \geqq 4$ならば得点を$C$とし，$C \leqq 3$ならば得点を$0$とする．次の問いに答えよ．
(1)得点が$6$となる確率を求めよ．
(2)得点が$5$となる確率を求めよ．
(3)得点が$4$となる確率を求めよ．
(4)得点の期待値を求めよ．
(1)得点が$6$となる確率を求めよ．
(2)得点が$5$となる確率を求めよ．
(3)得点が$4$となる確率を求めよ．
(4)得点の期待値を求めよ．