「ゲーム」について
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国立 九州大学 2016年 第3問座標平面上で円$x^2+y^2=1$に内接する正六角形で，点$\mathrm{P}_0(1,\ 0)$を$1$つの頂点とするものを考える．この正六角形の頂点を$\mathrm{P}_0$から反時計まわりに順に$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4$，$\mathrm{P}_5$とする．ある頂点に置かれている$1$枚のコインに対し，$1$つのサイコロを$1$回投げ，出た目に応じてコインを次の規則にしたがって頂点上を動かす．
\mon[（規則）$(ⅰ)$] $1$から$5$までの目が出た場合は，出た目の数だけコインを反時計まわりに動かす．例えば，コインが$\mathrm{P}_4$にあるときに$4$の目が出た場合は$\mathrm{P}_2$まで動かす．
(ii) $6$の目が出た場合は，$x$軸に関して対称な位置にコインを動かす．ただし，コインが$x$軸上にあるときは動かさない．例えば，コインが$\mathrm{P}_5$にあるときに$6$の目が出た場合は$\mathrm{P}_1$に動かす．
はじめにコインを$1$枚だけ$\mathrm{P}_0$に置き，$1$つのサイコロを続けて何回か投げて，$1$回投げるごとに上の規則にしたがってコインを動かしていくゲームを考える．以下の問いに答えよ．
(1)$2$回サイコロを投げた後に，コインが$\mathrm{P}_0$の位置にある確率を求めよ．
(2)$3$回サイコロを投げた後に，コインが$\mathrm{P}_0$の位置にある確率を求めよ．
(3)$n$を自然数とする．$n$回サイコロを投げた後に，コインが$\mathrm{P}_0$の位置にある確率を求めよ．
\mon[（規則）$(ⅰ)$] $1$から$5$までの目が出た場合は，出た目の数だけコインを反時計まわりに動かす．例えば，コインが$\mathrm{P}_4$にあるときに$4$の目が出た場合は$\mathrm{P}_2$まで動かす．
(ii) $6$の目が出た場合は，$x$軸に関して対称な位置にコインを動かす．ただし，コインが$x$軸上にあるときは動かさない．例えば，コインが$\mathrm{P}_5$にあるときに$6$の目が出た場合は$\mathrm{P}_1$に動かす．
はじめにコインを$1$枚だけ$\mathrm{P}_0$に置き，$1$つのサイコロを続けて何回か投げて，$1$回投げるごとに上の規則にしたがってコインを動かしていくゲームを考える．以下の問いに答えよ．
(1)$2$回サイコロを投げた後に，コインが$\mathrm{P}_0$の位置にある確率を求めよ．
(2)$3$回サイコロを投げた後に，コインが$\mathrm{P}_0$の位置にある確率を求めよ．
(3)$n$を自然数とする．$n$回サイコロを投げた後に，コインが$\mathrm{P}_0$の位置にある確率を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2016年 第4問サイコロを何回か振って最後に出た目を得点とするゲームを行う．
(1)サイコロを$1$回だけ振ることができるときの得点の期待値$E_1$を求めよ．
(2)サイコロを$2$回まで振ることができるとき，$1$回目に$m$以上の目が出たらそこでやめ，$m$より小さい目が出たら$2$回目を振ることにする．このときの得点の期待値$E_2(m)$を$m$を用いて表し，$E_2(m)$が最大となる$m$を求めよ．
(3)$n$を$2$以上の自然数，$m_1,\ \cdots,\ m_{n-1}$を$6$以下の自然数とする．$n$回までサイコロを振ることができるとき，$i$回目に$m_{n-i}$以上の目が出たらそこでやめ，$m_{n-i}$より小さい目が出たら$i+1$回目を振るという規則でサイコロを振り続ける．ただし，$n$回サイコロを振ったらそこでやめる．このときの得点の期待値を$E_n(m_1,\ \cdots,\ m_{n-1})$とする．以下の問いに答えよ．
(i) $E_3(m_1,\ m_2)$を$E_2(m_1)$，$m_2$を用いて表し，$E_3(m_1,\ m_2)$が最大となる$m_1,\ m_2$とそのときの$E_3(m_1,\ m_2)$の値を求めよ．
(ii) $n \geqq 4$とする．$E_{n-1}(m_1,\ \cdots,\ m_{n-2})$の最大値を$e_{n-1}$とすると，$E_n(m_1,\ \cdots,\ m_{n-1})$が最大となるのは，$E_{n-1}(m_1,\ \cdots,\ m_{n-2})$が$e_{n-1}$となり，かつ$m_{n-1}$が$e_{n-1}$以上の最小の自然数となるときである．このことを示せ．
ただし，得点が$k$となる確率を$p(k)$としたとき，
\[ p(1)+2p(2)+3p(3)+4p(4)+5p(5)+6p(6) \]
を得点の期待値とよぶ．
(1)サイコロを$1$回だけ振ることができるときの得点の期待値$E_1$を求めよ．
(2)サイコロを$2$回まで振ることができるとき，$1$回目に$m$以上の目が出たらそこでやめ，$m$より小さい目が出たら$2$回目を振ることにする．このときの得点の期待値$E_2(m)$を$m$を用いて表し，$E_2(m)$が最大となる$m$を求めよ．
(3)$n$を$2$以上の自然数，$m_1,\ \cdots,\ m_{n-1}$を$6$以下の自然数とする．$n$回までサイコロを振ることができるとき，$i$回目に$m_{n-i}$以上の目が出たらそこでやめ，$m_{n-i}$より小さい目が出たら$i+1$回目を振るという規則でサイコロを振り続ける．ただし，$n$回サイコロを振ったらそこでやめる．このときの得点の期待値を$E_n(m_1,\ \cdots,\ m_{n-1})$とする．以下の問いに答えよ．
(i) $E_3(m_1,\ m_2)$を$E_2(m_1)$，$m_2$を用いて表し，$E_3(m_1,\ m_2)$が最大となる$m_1,\ m_2$とそのときの$E_3(m_1,\ m_2)$の値を求めよ．
(ii) $n \geqq 4$とする．$E_{n-1}(m_1,\ \cdots,\ m_{n-2})$の最大値を$e_{n-1}$とすると，$E_n(m_1,\ \cdots,\ m_{n-1})$が最大となるのは，$E_{n-1}(m_1,\ \cdots,\ m_{n-2})$が$e_{n-1}$となり，かつ$m_{n-1}$が$e_{n-1}$以上の最小の自然数となるときである．このことを示せ．
ただし，得点が$k$となる確率を$p(k)$としたとき，
\[ p(1)+2p(2)+3p(3)+4p(4)+5p(5)+6p(6) \]
を得点の期待値とよぶ．
私立 沖縄国際大学 2016年 第4問以下の各問いに答えなさい．
(1)次の値を求めなさい．
(i) $\perm{5}{2}$
(ii) $\comb{5}{4}$
(2)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人がそれぞれ$1$枚のコインを投げ，両方とも表が出れば$\mathrm{A}$の勝ち，それ以外は$\mathrm{B}$の勝ちとなるゲームを行う．このゲームを繰り返し，先に$3$勝した方を優勝とする．このとき，以下の確率を求めなさい．
(i) $\mathrm{A}$が$4$戦目で優勝する．
(ii) $\mathrm{A}$が$3$勝$2$敗で優勝する．
(iii) $\mathrm{A}$が優勝する．
(1)次の値を求めなさい．
(i) $\perm{5}{2}$
(ii) $\comb{5}{4}$
(2)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人がそれぞれ$1$枚のコインを投げ，両方とも表が出れば$\mathrm{A}$の勝ち，それ以外は$\mathrm{B}$の勝ちとなるゲームを行う．このゲームを繰り返し，先に$3$勝した方を優勝とする．このとき，以下の確率を求めなさい．
(i) $\mathrm{A}$が$4$戦目で優勝する．
(ii) $\mathrm{A}$が$3$勝$2$敗で優勝する．
(iii) $\mathrm{A}$が優勝する．
私立 明治大学 2016年 第2問次の$[ ]$に適する数を入れよ．
(1)${48}^{30}$は$[ア][イ]$桁の数である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$として計算せよ．
(2)放物線$y=x^2-7x+6$と直線$y=x-1$は$2$点$([ウ],\ [エ])$，$([オ],\ [カ])$（ただし，$[ウ]<[オ]$）で交わり，両者によって囲まれる部分の面積は$[キ][ク]$である．
(3)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が，あるゲームで対戦している．$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の強さは互角で，$1$回の対戦で勝つ確率はいずれも$\displaystyle \frac{1}{2}$である．引き分けは，ないものとする．
(i) $5$回目の対戦が終わったところで，$\mathrm{A}$が$3$勝，$\mathrm{B}$が$2$勝している確率は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ][サ]}$である．
(ii) $\mathrm{B}$が先に$3$勝する前に$\mathrm{A}$が先に$2$勝する確率は$\displaystyle \frac{[シ][ス]}{[セ][ソ]}$である．
(1)${48}^{30}$は$[ア][イ]$桁の数である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$として計算せよ．
(2)放物線$y=x^2-7x+6$と直線$y=x-1$は$2$点$([ウ],\ [エ])$，$([オ],\ [カ])$（ただし，$[ウ]<[オ]$）で交わり，両者によって囲まれる部分の面積は$[キ][ク]$である．
(3)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が，あるゲームで対戦している．$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の強さは互角で，$1$回の対戦で勝つ確率はいずれも$\displaystyle \frac{1}{2}$である．引き分けは，ないものとする．
(i) $5$回目の対戦が終わったところで，$\mathrm{A}$が$3$勝，$\mathrm{B}$が$2$勝している確率は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ][サ]}$である．
(ii) $\mathrm{B}$が先に$3$勝する前に$\mathrm{A}$が先に$2$勝する確率は$\displaystyle \frac{[シ][ス]}{[セ][ソ]}$である．
私立 龍谷大学 2016年 第3問$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人が次のゲームを行う．$1$から$6$までの数が$1$つずつ記入された$6$枚のカードがあり，そのうち$\mathrm{A}$は奇数の書かれた$3$枚のカードを，$\mathrm{B}$は偶数の書かれた$3$枚のカードを持っている．
$2$人が，それぞれ持っているカードから無作為に$1$枚を選び，同時に出す．このとき大きい数を出した方を勝ちとする．
この勝負を，$1$度出したカードは戻さずに続けて$2$回行う．
(1)$1$回目の勝負で，$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めなさい．
(2)$\mathrm{A}$が$2$連勝する確率を求めなさい．
(3)$\mathrm{A}$が$2$連敗する確率を求めなさい．
$2$人が，それぞれ持っているカードから無作為に$1$枚を選び，同時に出す．このとき大きい数を出した方を勝ちとする．
この勝負を，$1$度出したカードは戻さずに続けて$2$回行う．
(1)$1$回目の勝負で，$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めなさい．
(2)$\mathrm{A}$が$2$連勝する確率を求めなさい．
(3)$\mathrm{A}$が$2$連敗する確率を求めなさい．
公立 横浜市立大学 2016年 第2問$n$枚のカードの表（おもて）面に相異なる整数値が書かれている．ただし，どのような数値が書かれているのかはあらかじめわかっていない．
はじめにすべてのカードが裏返しでおかれている．ここから$1$枚ずつ好きなカードをめくっていき，書かれている数値が$n$枚のカードの中で最大だと思ったらめくるのをやめる$1$人ゲームを考える．$n$枚のカードをすべてめくり終えてしまった場合，次にめくるカードがないのでゲームは終了である．
ゲームの勝敗は，最後にめくったカードに書かれていた数値が$n$枚のカードの中で最大であれば勝ち，そうでなければ負けとする．
$n$未満の自然数$k$について以下の戦略$S_k$を考える：
はじめの$k$枚までは必ずめくり，その$k$枚に書かれていた数値のうち最大のものを$M$とする．$k+1$枚目以降で$M$より大きな数が書かれたカードをめくったら，ただちにめくるのをやめる．
戦略$S_k$にしたがった場合に，このゲームに勝つ確率を$P_{n,k}$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$P_{3,1}$を求めよ．
(2)$i$を$k+1$以上，$n$以下の整数とする．戦略$S_k$にしたがった場合に，ちょうど$i$枚のカードをめくって勝つ確率を求めよ．
(3)$n$が十分に大きいとき，戦略$S_k$を使ってどのくらい勝つことが出来るのかを考えてみよう．$n$に対してどのくらいの$k$を用いるかによって勝てる確率は変わる．簡単にするため，$n=3p$の場合を考える．ただし，$p$は自然数である．このとき$k=p$として，極限値
\[ \lim_{p \to \infty} P_{n,k} \]
を求めよ．
はじめにすべてのカードが裏返しでおかれている．ここから$1$枚ずつ好きなカードをめくっていき，書かれている数値が$n$枚のカードの中で最大だと思ったらめくるのをやめる$1$人ゲームを考える．$n$枚のカードをすべてめくり終えてしまった場合，次にめくるカードがないのでゲームは終了である．
ゲームの勝敗は，最後にめくったカードに書かれていた数値が$n$枚のカードの中で最大であれば勝ち，そうでなければ負けとする．
$n$未満の自然数$k$について以下の戦略$S_k$を考える：
はじめの$k$枚までは必ずめくり，その$k$枚に書かれていた数値のうち最大のものを$M$とする．$k+1$枚目以降で$M$より大きな数が書かれたカードをめくったら，ただちにめくるのをやめる．
戦略$S_k$にしたがった場合に，このゲームに勝つ確率を$P_{n,k}$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$P_{3,1}$を求めよ．
(2)$i$を$k+1$以上，$n$以下の整数とする．戦略$S_k$にしたがった場合に，ちょうど$i$枚のカードをめくって勝つ確率を求めよ．
(3)$n$が十分に大きいとき，戦略$S_k$を使ってどのくらい勝つことが出来るのかを考えてみよう．$n$に対してどのくらいの$k$を用いるかによって勝てる確率は変わる．簡単にするため，$n=3p$の場合を考える．ただし，$p$は自然数である．このとき$k=p$として，極限値
\[ \lim_{p \to \infty} P_{n,k} \]
を求めよ．
公立 名古屋市立大学 2016年 第3問$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人で交互にボールを的に向かって投げるゲームを行う．先にボールを的に当てた方を勝ちとしゲームを終了する．$\mathrm{A}$がボールを$1$回投げて的に当たる確率は$p$，$\mathrm{B}$がボールを$1$回投げて的に当たる確率は$q$である．ただし，$0<p<1$，$0<q<1$である．$\mathrm{A}$を先攻とし，$\mathrm{A}$の最初の投球を$1$回目，次の$\mathrm{B}$の投球を$2$回目，$\cdots$と数える．次の問いに答えよ．
(1)$n$回目の投球で$\mathrm{A}$がゲームに勝つ確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$がゲームに勝つ確率を求めよ．
(3)$\mathrm{B}$がゲームに勝つ確率が，$\mathrm{A}$が勝つ確率より高くなるときの$p,\ q$の条件を求めよ．また，その条件を満たす$(p,\ q)$の領域を横軸$p$，縦軸$q$の座標平面に図示せよ．
(1)$n$回目の投球で$\mathrm{A}$がゲームに勝つ確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$がゲームに勝つ確率を求めよ．
(3)$\mathrm{B}$がゲームに勝つ確率が，$\mathrm{A}$が勝つ確率より高くなるときの$p,\ q$の条件を求めよ．また，その条件を満たす$(p,\ q)$の領域を横軸$p$，縦軸$q$の座標平面に図示せよ．
国立 佐賀大学 2015年 第3問正方形の$4$個の頂点を，時計回りに順に$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$とする．頂点$\mathrm{A}$から出発して頂点上を時計回りに点$\mathrm{P}$を進めるゲームを行う．硬貨を$1$回投げるごとに，表が出たときには頂点$1$つ分だけ点$\mathrm{P}$を進め，裏が出たときには頂点$2$つ分だけ点$\mathrm{P}$を進めるものとする．ただし，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{D}$にとまった時点でゲームは終わるものとする．
硬貨を$n$回投げ終えた時点で点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$に到達する確率を$p_n$とするとき，次の問に答えよ．
(1)$p_2,\ p_3$を求めよ．
(2)$p_4,\ p_5$を求めよ．
(3)$p_{12}$を求めよ．
硬貨を$n$回投げ終えた時点で点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$に到達する確率を$p_n$とするとき，次の問に答えよ．
(1)$p_2,\ p_3$を求めよ．
(2)$p_4,\ p_5$を求めよ．
(3)$p_{12}$を求めよ．
国立 佐賀大学 2015年 第4問正方形の$4$個の頂点を，時計回りに順に$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$とする．頂点$\mathrm{A}$から出発して頂点上を時計回りに点$\mathrm{P}$を進めるゲームを行う．硬貨を$1$回投げるごとに，表が出たときには頂点$1$つ分だけ点$\mathrm{P}$を進め，裏が出たときには頂点$2$つ分だけ点$\mathrm{P}$を進めるものとする．ただし，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{D}$にとまった時点でゲームは終わるものとする．
硬貨を$n$回投げ終えた時点で点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$に到達する確率を$p_n$とするとき，次の問に答えよ．
(1)$p_2,\ p_3$を求めよ．
(2)$p_4,\ p_5$を求めよ．
(3)$p_{12}$を求めよ．
硬貨を$n$回投げ終えた時点で点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$に到達する確率を$p_n$とするとき，次の問に答えよ．
(1)$p_2,\ p_3$を求めよ．
(2)$p_4,\ p_5$を求めよ．
(3)$p_{12}$を求めよ．
国立 千葉大学 2015年 第2問コインを$n$回続けて投げ，$1$回投げるごとに次の規則に従って得点を得るゲームをする．
\begin{itemize}
コイン投げの第$1$回目には，$1$点を得点とする．
コイン投げの第$2$回目以降において，ひとつ前の回と異なる面が出たら，$1$点を得点とする．
コイン投げの第$2$回目以降において，ひとつ前の回と同じ面が出たら，$2$点を得点とする．
\end{itemize}
例えばコインを$3$回投げて（裏，表，裏）の順に出たときの得点は，$1+1+1=3$より$3$点となる．また（裏，裏，表）のときの得点は，$1+2+1=4$より$4$点となる．
コインの表と裏が出る確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$とし，このゲームで得られる得点が$m$となる確率を$P_{n,m}$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$n \geqq 2$が与えられたとき，$P_{n,2n-1}$と$P_{n,2n-2}$を求めよ．
(2)$n \leqq m \leqq 2n-1$について，$P_{n,m}$を$n$と$m$の式で表せ．
\begin{itemize}
コイン投げの第$1$回目には，$1$点を得点とする．
コイン投げの第$2$回目以降において，ひとつ前の回と異なる面が出たら，$1$点を得点とする．
コイン投げの第$2$回目以降において，ひとつ前の回と同じ面が出たら，$2$点を得点とする．
\end{itemize}
例えばコインを$3$回投げて（裏，表，裏）の順に出たときの得点は，$1+1+1=3$より$3$点となる．また（裏，裏，表）のときの得点は，$1+2+1=4$より$4$点となる．
コインの表と裏が出る確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$とし，このゲームで得られる得点が$m$となる確率を$P_{n,m}$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$n \geqq 2$が与えられたとき，$P_{n,2n-1}$と$P_{n,2n-2}$を求めよ．
(2)$n \leqq m \leqq 2n-1$について，$P_{n,m}$を$n$と$m$の式で表せ．