次の各文の$[　]$にあてはまる答を求めよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$のとき，$x^2+x$の値は$[ア]$であり，$x^4-x^3$の値は$[イ]$である．
(2)$10$人の生徒をいくつかのグループに分ける．このとき

(i) $2$人，$3$人，$5$人の$3$つのグループに分ける分け方は$[ウ]$通りある．
(ii) $3$人，$3$人，$4$人の$3$つのグループに分ける分け方は$[エ]$通りある．
(iii) $2$人，$2$人，$3$人，$3$人の$4$つのグループに分ける分け方は$[オ]$通りある．

(3)次の命題または式のうち正しいものの番号をすべてあげると$[カ]$となる．

\mon[$①$] $0 \leqq 0$
\mon[$②$] $\sqrt{(-3)^6}=(-3)^3$
\mon[$③$] 実数$x$が$\displaystyle \frac{9}{4}<x \leqq \frac{88}{39}$を満たすならば，$0<-12x^2+55x-63$である．
\mon[$④$] $a,\ b$が共に無理数であるならば，$a+b$と$a-b$の少なくとも一方は無理数である．
\mon[$⑤$] すべての実数$x$に対して，$\displaystyle -3x^2-2x+\frac{1}{3}<-2x^2-5x+\frac{31}{12}$である．

数列$\{a_n\}$の一般項を$\displaystyle a_n=\cos \frac{n \pi}{3}$とする．この数列の項を$(a_1)$，$(a_2,\ a_3)$，$(a_4,\ a_5,\ a_6)$，$\cdots$のように第$k$グループに$k$個の項が入るようにグループ分けする．第$25$グループに含まれる項の和を求めよ．

$9$頭の犬と飼育係$4$人がいる．ただし，$9$頭の犬と$4$人の飼育係はそれぞれ区別する．各グループには犬が$3$頭ずつ，飼育係は少なくとも$1$人いるようにふり分ける．これら$3$グループへのふり分け方は何通りあるか．

$1$から$9$までの数字が$1$つずつ書かれた$9$枚のカードがある．これらを$3$枚ずつ$3$つのグループに無作為に分け，それぞれのグループから最も大きい数が書かれたカードを取り出す．

(1)取り出された$3$枚のカードの中に$9$が書かれたカードが含まれる確率は$\displaystyle \frac{[ミ]}{[ム]}$である．

(2)取り出された$3$枚のカードの中に$8$が書かれたカードが含まれる確率は$\displaystyle \frac{[メ]}{[モ]}$である．

(3)取り出された$3$枚のカードの中に$3$が書かれたカードが含まれる確率は$\displaystyle \frac{[ヤ]}{[ユ]}$である．

(4)取り出された$3$枚のカードの中に$6$が書かれたカードが含まれる確率は$\displaystyle \frac{[ヨ]}{[ラ]}$である．

(5)取り出された$3$枚のカードに書かれた数の中で，最小の数が$6$である確率は$\displaystyle \frac{[リ]}{[ル]}$である．

$\mathrm{A}$市から$\mathrm{B}$市へ移動するには電車による方法とバスによる方法の$2$つがある．$\mathrm{A}$市から$\mathrm{B}$市までの電車の運賃は$420$円である．また，バスの運賃は$480$円であるが，バス会社は$25$人まで乗車できる団体券も発行している．団体券は前売り制であり，前日までに$1$万円で購入しなければならず，払い戻しはできない．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$25$人以上$50$人以下のグループが$\mathrm{A}$市から$\mathrm{B}$市まで移動する．全員が同じ手段でそろって移動し，グループの人数は前日までに確定しているとする．このとき電車を使って移動した方が運賃が安くなるのはグループの人数が何人以上，何人以下のときか．
(2)前問で求めた，電車を利用した方が運賃が安くなる最大人数より$1$人だけ人数が多いグループが$\mathrm{A}$市から$\mathrm{B}$市まで移動する．ただし，このうち$1$人は当日移動を取り止める可能性があり，その確率は$p$である．このとき，前日にバスの前売り券を買っておくとすると，当日移動した人の$1$人あたりの運賃の期待値はいくらか．また，これが電車賃より安くなるのは$p$がどのようなときか．

以下の文中の$[　]$の中にいれるべき数または式等を求めて記入せよ．

(1)互いに異なる$6$個の薬品がある．この$6$個の薬品を$3$つのグループに分けたい．

$1$個，$2$個，$3$個に分ける方法は$[　]$通りである．
$1$個，$1$個，$4$個に分ける方法は$[　]$通りである．
$2$個，$2$個，$2$個に分ける方法は$[　]$通りである．

(2)$2012$を$2$つ以上のいくつかの連続した自然数の和で表したい．連続した自然数を$a,\ a+1,\ a+2,\ \cdots,\ a+n$と表したとき，その和$S$を$a$と$n$で表すと$S=[　]$である．また，この連続した自然数をすべてあげると$[　]$である．

下記の空欄イ～ホにあてはまる数を記入せよ．

(1)方程式$3\cos^3 \theta-5 \cos^2 \theta-4 \cos \theta+4=0$，および不等式$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$をみたす$\theta$に対して，$\cos \theta=[イ]$である．
(2)公差$\displaystyle \frac{1}{5}$，初項$-8$の等差数列$a_1,\ a_2,\ \cdots$を
\[ a_1 \;|\; a_2,\ a_3 \;|\; a_4,\ a_5,\ a_6 \;|\; a_7,\ a_8,\ a_9,\ a_{10} \;|\; \cdots \]
とグループ分けする．第$101$番目のグループに属する数の和は$[ロ]$である．
(3)空間に$3$点$\mathrm{A}(2,\ 2,\ 2)$，$\mathrm{B}(1,\ 2,\ 1)$，$\mathrm{C}(2,\ y,\ 1)$が与えられている．三角形$\mathrm{ABC}$が直角三角形になるのは$y=[ハ]$のときである．

(4)極限$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin (1-\cos x)}{x^2}$の値は$[ニ]$である．

(5)$1$個のさいころを$4$回続けて投げるとき，$3$回以上連続して同じ目が出る確率は$[ホ]$である．

次の問いに答えよ．

(1)$8$名のクラスのうち，$3$名が男子学生，$5$名が女子学生とする．グループ研究を課すことになり，クラスを$3$つのグループに分けるとする．ただし，それぞれのグループの人数は$2$人以上，$4$人以下とする．

(i) 学生の性別に関係なくグループ分けをする方法は
\[ [ハ][ヒ][$0$] \text{通り} \]
ある．
(ii) 男子学生のみ，あるいは女子学生のみで構成されるグループを含まないグループ分けの方法は
\[ [フ][ヘ][$0$] \text{通り} \]
ある．

(2)$7$つの異なる映画を$4$回上映する場合を考える．ただし，$1$回の上映に$1$つの映画を上映し，上映する順番は区別しないこととする．

(i) 同じ映画が複数回上映されない場合，上映する場合の数は
\[ [ホ][$5$] \text{通り} \]
ある．
(ii) 同じ映画を複数回上映してもよい場合，上映する場合の数は
\[ [マ][ミ][$0$] \text{通り} \]
ある．

$1$から$9$の数字がそれぞれ書かれた$9$枚のカードから，$\mathrm{A}$グループとして$3$枚，$\mathrm{B}$グループとして$4$枚のカードを選ぶ．次の問いに答えよ．

(1)このような選び方は何通りあるか．
(2)$\mathrm{A}$グループの数字がすべて$4$以下になる確率を求めよ．
(3)$\mathrm{A}$グループの最大数が$\mathrm{B}$グループの最小数より小さい場合の得点を$\mathrm{A}$グループの数字の和とし，そうでない場合は得点を$0$とする．得点の期待値を求めよ．