$f(x)=xe^{-x}$とし，関数$y=f(x)$のグラフを$C_1$とする．また，$C_1$を$x$軸方向に$\log a$だけ平行移動したグラフを$C_2$とする．ただし，$a$は$a>1$を満たす実数である．

(1)関数$y=f(x)$の増減，極値を調べ$C_1$の概形をかけ．なお，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}xe^{-x}=0$であることを用いてよい．
(2)$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を求めよ．
(3)原点を$\mathrm{O}$とし，$C_2$と$x$軸の交点を$\mathrm{A}$とする．$C_1$，$C_2$および線分$\mathrm{OA}$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(4)$(3)$で求めた$S$に対して，$\displaystyle S<\frac{a-1}{a}$が成り立つことを示せ．

関数$f(x)=x^3-3x^2-3x+1$について，次の問いに答えなさい．

(1)方程式$f(x)=0$の実数解をすべて求めなさい．
(2)$f(x)$の増減，極値を調べ，$y=f(x)$のグラフをかきなさい．
(3)関数$y=|f(x)|$の$-1 \leqq x \leqq 4$における最大値を求めなさい．

$m$を実数とする．$2$つの関数
\[ f(x)=2 |x(x-3)|,\quad g(x)=mx+\frac{1}{2} \]
について，次の各問に答えよ．

(1)方程式$f(x)=g(x)$が異なる$3$つの実数解をもつときの$m$の値をすべて求めよ．
(2)$m$は$(1)$で求めた値のうち最大のものとする．関数$y=f(x)$のグラフと関数$y=g(x)$のグラフで囲まれる部分の面積を求めよ．

$3$次関数$f(x)=x^3-3x^2+5$について次の問に答えよ．

(1)$f(x)$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$を通る直線が点$\mathrm{P}$とは異なる点$\mathrm{Q}(q,\ f(q))$で曲線$y=f(x)$に接するとき，$q$を$p$で表せ．

$f(x)=x^3-3 |x|$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)関数$y=f(x)$のグラフをかきなさい．
(2)$f(x)+a=0$を満たす実数$x$が$1$つであるような定数$a$の値の範囲を求めなさい．
(3)曲線$y=f(x)+b$上の点$(-2,\ f(-2)+b)$における接線が原点を通るような定数$b$の値を求めなさい．また，その接線の方程式を求めなさい．

$f(x)$を
\[ f(x)=\int_0^x |t-2| \, dt \]
とする．ただし$x \geqq 0$とする．

関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸，$x=1$，$x=4$で囲まれる部分の面積は$\displaystyle \frac{[ナ]}{[ニ]}$である．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$2$つの関数$f(x)=|x|$，$g(x)=ax+a^2+3a+1$がある．$g(0)>f(0)$となるとき，$a$のとりうる値の範囲は$[ア]$である．また，$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフが$2$つの交点をもつとき，$a$のとりうる値の範囲は$[イ]$である．
(2)次のデータは，$5$個の乾電池について，ある実験で用いたときの持続時間$x$を調べたものである．
\[ 103, 93, 98, 88, 108 \text{（時間）} \]
$x$の平均値は$[ウ]$時間であり，$x$の分散を求めると$[エ]$である．
(3)$a_1=99$，$a_{n+1}=2a_n-100 (n=1,\ 2,\ \cdots)$で定義される数列$\{a_n\}$について，一般項$a_n$を$n$の式で表すと$a_n=[オ]$であり，$a_n<0$を満たす最小の自然数$n$の値を求めると$n=[カ]$である．
(4)$x$と$y$は$0<x<y$，$\log_2 x+2 \log_4 y=1$，$(\log_2 x)(\log_4 y)=-6$を満たす．$s=\log_2 x$，$t=\log_2 y$とおき$s+t$と$st$の値を求めると$(s+t,\ st)=[キ]$である．また，$x$と$y$の値を求めると$(x,\ y)=[ク]$である．

関数$f(x)=-x^2+1$について以下の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた部分の面積$A$を求めよ．
(2)$0<t<1$とする．$A$から，$4$点$(1,\ 0)$，$(t,\ -t^2+1)$，$(-t,\ -t^2+1)$，$(-1,\ 0)$を結んでできる台形の面積を引いた残りの面積$S(t)$を求めよ．
(3)$S(t)$の最小値を求めよ．

$f(x)=2x^3+(a-1)x^2-a+1$（$a$は$a \neq 1$を満たす実数）とするとき，次の問に答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフは$a$の値によらず$2$定点を通ることを示し，その座標を求めよ．
(2)$f(x)$の極大値を与える$x$の値$m$を求めよ．
(3)$a$が$a \neq 1$を満たす実数全体を動く．$(2)$の$m$に対し，点$(m,\ f(m))$の軌跡を$xy$平面上に図示せよ．

次の文中の$[ア]$～$[ヌ]$にあてはまる最も適切な数値を答えなさい．

(1)平面上のベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$が
\[ |\overrightarrow{a|}=2,\quad |\overrightarrow{b|}=\sqrt{3},\quad |\overrightarrow{a|-2 \overrightarrow{b}}=2 \sqrt{2} \]
を満たすとき$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[ア]$である．また$|\overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$を最小にする実数$t$の値は$\displaystyle \frac{[イ]}{[ウ]}$である．

(2)$1$次不定方程式$17x+59y=1$のすべての整数解は，$n$を任意の整数として
\[ x=59n+[エ],\quad y=-17n+[オ] \]
である．
(3)$i$を虚数単位とし，$z=-1+\sqrt{3}i$とすると，
\[ z^2=[カ]+[キ] \sqrt{3}i,\quad z^3=[ク]+[ケ] \sqrt{3}i \]
である．また，$z^n$を$n$について$1$から$9$まで足し合わせると，
\[ \sum_{n=1}^9 z^n=[コ][サ] \left( [シ]+[ス] \sqrt{3}i \right) \]
となる．
(4)$\displaystyle \log_{15}900=[セ]+\frac{[ソ]}{\log_2 [タ]+\log_2 [チ]}$である．

(5)区間$[0,\ \pi]$を定義域とする$2$つの関数$f_1(x)=\cos (x+\alpha)+d$と$f_2(x)=\cos (x-\alpha)-d$を考える．
$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{4},\ d=\frac{1}{4}$のとき，これら$2$つの関数のグラフの交点の$x$座標は
\[ \sin x=\frac{\sqrt{[ツ]}}{[テ]} \]
を満足する．
また，$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{6}$のとき，$\displaystyle d=\frac{[ト]}{[ナ]}$であればこれら$2$つの関数のグラフは，$\displaystyle x=\frac{[ニ]}{[ヌ]} \pi$で接している．