「グラフの概形」について
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私立 名城大学 2013年 第4問$k$を実数とする．関数$f(x)=(k-\cos x)(k-\sin x) (0 \leqq x \leqq \pi)$が$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$で極値をとるとする．
(1)$k$の値を求めよ．
(2)関数$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸が囲む図形の面積を求めよ．
(1)$k$の値を求めよ．
(2)関数$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸が囲む図形の面積を求めよ．
私立 日本医科大学 2013年 第3問次の各問いに答えよ．
(1)$x \geqq 1,\ k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$として
\[ I_k(x)=\int \frac{(\log x)^k}{x^2} \, dx \]
とおくとき，$I_0(x)$を求め，$I_{k+1}(x)$を$I_k(x)$を用いて表せ．また$I_4(x)$を求めよ．
(2)$x>0$で不等式$\displaystyle \log x \leqq \frac{3}{e}x^{\frac{1}{3}}$が成り立つことを証明せよ．
(3)関数$\displaystyle f(x)=\frac{(\log x)^2}{x}$に関する以下の各問いに答えよ．
(i) $y=f(x) (x \geqq 1)$の極値，極限$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$を調べ，増減表を作り，グラフの概形を描け．
(ii) $n>1$として，$y=f(x)$と$2$直線$x=n$，$x=n^2$および$x$軸で囲まれる部分$D_n$の面積$S_n$を求めよ．
(iii) $D_n$を$x$軸のまわりに回転して得られる立体の体積$V_n$を求めよ．
\mon[$\tokeishi$] 極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{nV_n}{(\log n)S_n}$の値を求めよ．
(1)$x \geqq 1,\ k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$として
\[ I_k(x)=\int \frac{(\log x)^k}{x^2} \, dx \]
とおくとき，$I_0(x)$を求め，$I_{k+1}(x)$を$I_k(x)$を用いて表せ．また$I_4(x)$を求めよ．
(2)$x>0$で不等式$\displaystyle \log x \leqq \frac{3}{e}x^{\frac{1}{3}}$が成り立つことを証明せよ．
(3)関数$\displaystyle f(x)=\frac{(\log x)^2}{x}$に関する以下の各問いに答えよ．
(i) $y=f(x) (x \geqq 1)$の極値，極限$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$を調べ，増減表を作り，グラフの概形を描け．
(ii) $n>1$として，$y=f(x)$と$2$直線$x=n$，$x=n^2$および$x$軸で囲まれる部分$D_n$の面積$S_n$を求めよ．
(iii) $D_n$を$x$軸のまわりに回転して得られる立体の体積$V_n$を求めよ．
\mon[$\tokeishi$] 極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{nV_n}{(\log n)S_n}$の値を求めよ．
私立 同志社大学 2013年 第2問$3$次関数$\displaystyle f(x)=-\frac{1}{2}x^3+\frac{3}{2}x$について次の問いに答えよ．
(1)$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(2)$|x| \leqq 2$における関数$y=f(x)$の最大値$M$，および最小値$m$を求めよ．
(3)定数$k$が$m \leqq k \leqq M$をみたすとき，直線$y=k$と曲線$y=f(x)$の共有点の個数を調べよ．
(4)定数$K$が$m \leqq K \leqq M$をみたすとき，$\sin^3 \theta+\cos^3 \theta=K$をみたす$\theta$の個数を調べよ．ただし，$\displaystyle -\frac{3}{4} \pi \leqq \theta \leqq \frac{1}{4} \pi$とする．
(1)$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(2)$|x| \leqq 2$における関数$y=f(x)$の最大値$M$，および最小値$m$を求めよ．
(3)定数$k$が$m \leqq k \leqq M$をみたすとき，直線$y=k$と曲線$y=f(x)$の共有点の個数を調べよ．
(4)定数$K$が$m \leqq K \leqq M$をみたすとき，$\sin^3 \theta+\cos^3 \theta=K$をみたす$\theta$の個数を調べよ．ただし，$\displaystyle -\frac{3}{4} \pi \leqq \theta \leqq \frac{1}{4} \pi$とする．
公立 兵庫県立大学 2013年 第5問関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{4}x^2-x+\log (x+1) (x>-1)$について，次の問いに答えよ．ただし，不等式$2<e<3$が成り立つことは使ってよい．
(1)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．ただし，凹凸，変曲点は調べなくてよい．
(2)$a \neq 0$かつ$f(a)=0$となる$a$はただ$1$つあって，$1<a<2$を満たすことを示せ．
(3)区間$[0,\ a]$において曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる部分の面積を$S_1$とし，区間$[a,\ 4]$において曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=4$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．$S_1<S_2$を示せ．
(1)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．ただし，凹凸，変曲点は調べなくてよい．
(2)$a \neq 0$かつ$f(a)=0$となる$a$はただ$1$つあって，$1<a<2$を満たすことを示せ．
(3)区間$[0,\ a]$において曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる部分の面積を$S_1$とし，区間$[a,\ 4]$において曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=4$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．$S_1<S_2$を示せ．
公立 富山県立大学 2013年 第3問$x \geqq 0$とする．関数$f(x)=e^{-2x^3}$，$g(x)=xe^{-x^3}$について，次の問いに答えよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}g(x)=0$は証明なしに用いてよい．
(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$y=g(x)$の増減，極値および変曲点を調べて，そのグラフの概形をかけ．
(3)$a \geqq 0$とし，曲線$y=g(x)$と$x$軸および$2$直線$x=a$，$x=a+1$で囲まれた部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を$V(a)$とする．このとき，極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty}e^{2a^3}V(a)$を求めよ．
(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$y=g(x)$の増減，極値および変曲点を調べて，そのグラフの概形をかけ．
(3)$a \geqq 0$とし，曲線$y=g(x)$と$x$軸および$2$直線$x=a$，$x=a+1$で囲まれた部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を$V(a)$とする．このとき，極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty}e^{2a^3}V(a)$を求めよ．
国立 信州大学 2012年 第2問$\displaystyle f(x) = \frac{x+\sqrt{3}}{\sqrt{x^2+1}}$について，次の問に答えよ．
(1)$y=f(x)$の増減，極値，凹凸を調べ，グラフの概形をかけ．ただし，変曲点の$y$座標は求めなくてよい．
(2)$y=f(x)$と$x$軸および$y$軸とで囲まれる図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．
(1)$y=f(x)$の増減，極値，凹凸を調べ，グラフの概形をかけ．ただし，変曲点の$y$座標は求めなくてよい．
(2)$y=f(x)$と$x$軸および$y$軸とで囲まれる図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．
国立 横浜国立大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)定積分$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2+\sin x}{1+\cos x}\, dx$を求めよ．
(2)関数$\displaystyle y=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x^2-3x}$の増減，極値を調べ，そのグラフの概形を描け．ただし，グラフの凹凸，変曲点は調べなくてよい．
(1)定積分$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2+\sin x}{1+\cos x}\, dx$を求めよ．
(2)関数$\displaystyle y=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x^2-3x}$の増減，極値を調べ，そのグラフの概形を描け．ただし，グラフの凹凸，変曲点は調べなくてよい．
国立 広島大学 2012年 第3問関数$\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{1+e^x}$について，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．
(1)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x),\ \lim_{x \to -\infty} f(x)$の値を求めよ．
(2)関数$y=f(x)$の増減，グラフの凹凸および変曲点を調べ，グラフの概形をかけ．
(3)$\displaystyle \alpha=\lim_{x \to \infty} f(x)$とおく．正の実数$t$に対して，曲線$y=f(x)$，3直線$x=t,\ x=0$および$y=\alpha$で囲まれた図形の面積$S(t)$を求めよ．
(4)$\displaystyle \lim_{t \to \infty} S(t)$の値を求めよ．
(1)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x),\ \lim_{x \to -\infty} f(x)$の値を求めよ．
(2)関数$y=f(x)$の増減，グラフの凹凸および変曲点を調べ，グラフの概形をかけ．
(3)$\displaystyle \alpha=\lim_{x \to \infty} f(x)$とおく．正の実数$t$に対して，曲線$y=f(x)$，3直線$x=t,\ x=0$および$y=\alpha$で囲まれた図形の面積$S(t)$を求めよ．
(4)$\displaystyle \lim_{t \to \infty} S(t)$の値を求めよ．
国立 信州大学 2012年 第7問$-\sqrt{5} \leqq x \leqq \sqrt{5}$で定義される2つの関数
\begin{eqnarray}
& & f(x)=\sqrt{|x|}+\sqrt{5-x^2} \nonumber \\
& & g(x)=\sqrt{|x|}-\sqrt{5-x^2} \nonumber
\end{eqnarray}
に対し，次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$と$g(x)$の増減を調べ，$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフの概形をかけ．
(2)2つの曲線$y=f(x),\ y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
\begin{eqnarray}
& & f(x)=\sqrt{|x|}+\sqrt{5-x^2} \nonumber \\
& & g(x)=\sqrt{|x|}-\sqrt{5-x^2} \nonumber
\end{eqnarray}
に対し，次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$と$g(x)$の増減を調べ，$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフの概形をかけ．
(2)2つの曲線$y=f(x),\ y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 弘前大学 2012年 第3問関数$\displaystyle f(x)=-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2+2x$について次の問いに答えよ．
(1)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(2)実数$a$に対して，$a \leqq x \leqq a+2$のときの$f(x)$の最小値を$g(a)$とおく．関数$b=g(a)$のグラフの概形を$ab$平面上にかけ．
(1)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(2)実数$a$に対して，$a \leqq x \leqq a+2$のときの$f(x)$の最小値を$g(a)$とおく．関数$b=g(a)$のグラフの概形を$ab$平面上にかけ．