「グラフの概形」について
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公立 広島市立大学 2015年 第3問関数$\displaystyle f(x)=(x-1)^2 \sqrt{2x+1} \left( x \geqq -\frac{1}{2} \right)$を考える．
(1)$f^\prime(x)$を求め，$\displaystyle \lim_{x \to -\frac{1}{2}+0} f^\prime(x)$を調べよ．ただし，$x>a$の範囲で$x$が$a$に限りなく近づくとき，$x \to a+0$と表す．
(2)関数$f(x)$の増減，極値を調べ，グラフの概形をかけ．ただし，グラフの凹凸や変曲点は調べなくてよい．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．
(1)$f^\prime(x)$を求め，$\displaystyle \lim_{x \to -\frac{1}{2}+0} f^\prime(x)$を調べよ．ただし，$x>a$の範囲で$x$が$a$に限りなく近づくとき，$x \to a+0$と表す．
(2)関数$f(x)$の増減，極値を調べ，グラフの概形をかけ．ただし，グラフの凹凸や変曲点は調べなくてよい．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．
公立 福岡女子大学 2015年 第3問以下の問に答えなさい．
(1)定積分$\displaystyle \int_0^3 (9-x^2) \, dx$の値を求めなさい．
(2)$k>0$とする．定義域を$-3 \leqq x \leqq 3$とする関数
\[ f(x)=k(9-x^2) \]
のグラフ$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる部分の面積が$1$となるような$k$の値を求めなさい．
(3)$k$は$(2)$で求めた値とし，$-3 \leqq t \leqq 3$とする．$x \leqq t$のとき，グラフ$y=f(x)$，$x$軸および直線$x=t$で囲まれた部分の面積$F(t)$を$t$の式で表しなさい．
(4)$(3)$で求めた$t$の関数$F(t)$の増減表を作成し，関数$y=F(t)$のグラフの概形を描きなさい．
(1)定積分$\displaystyle \int_0^3 (9-x^2) \, dx$の値を求めなさい．
(2)$k>0$とする．定義域を$-3 \leqq x \leqq 3$とする関数
\[ f(x)=k(9-x^2) \]
のグラフ$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる部分の面積が$1$となるような$k$の値を求めなさい．
(3)$k$は$(2)$で求めた値とし，$-3 \leqq t \leqq 3$とする．$x \leqq t$のとき，グラフ$y=f(x)$，$x$軸および直線$x=t$で囲まれた部分の面積$F(t)$を$t$の式で表しなさい．
(4)$(3)$で求めた$t$の関数$F(t)$の増減表を作成し，関数$y=F(t)$のグラフの概形を描きなさい．
公立 福岡女子大学 2015年 第3問関数
\[ f(x)=\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x-2} \quad (x \neq 1,\ x \neq 2) \]
について，以下の問に答えなさい．
(1)$2$つの関数$\displaystyle y=\frac{2}{x-1} (x \neq 1)$と$\displaystyle y=-\frac{1}{x-2} (x \neq 2)$のグラフの概形を同じ座標平面上に描きなさい．
(2)$f(x)$の増減表を作成し，$f(x)$の極小値が$3+2 \sqrt{2}$，極大値が$3-2 \sqrt{2}$となることを示しなさい．
(3)関数$y=f(x)$のグラフの概形を座標平面上に描きなさい．
\[ f(x)=\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x-2} \quad (x \neq 1,\ x \neq 2) \]
について，以下の問に答えなさい．
(1)$2$つの関数$\displaystyle y=\frac{2}{x-1} (x \neq 1)$と$\displaystyle y=-\frac{1}{x-2} (x \neq 2)$のグラフの概形を同じ座標平面上に描きなさい．
(2)$f(x)$の増減表を作成し，$f(x)$の極小値が$3+2 \sqrt{2}$，極大値が$3-2 \sqrt{2}$となることを示しなさい．
(3)関数$y=f(x)$のグラフの概形を座標平面上に描きなさい．
国立 帯広畜産大学 2014年 第2問関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=-7+k \int_0^6 |x-u| \, du$と定義する．ただし，$k$は定数，$f(3)=-5$である．次の各問に答えなさい．
(1)$k$の値を求めなさい．
(2)$y=f(x)$のグラフの概形を図示しなさい．
(3)実数$s,\ t$が条件$0 \leqq s \leqq 20$，$0 \leqq t \leqq 20$を満たしながら動くとき，$xy$座標平面上の点
\[ \mathrm{P} \left( \frac{1}{2}s+\frac{1}{10}t,\ -\frac{1}{4}s-\frac{1}{5}t \right) \]
が動く領域$D$を求めなさい．
(4)不等式$y \geqq f(x)$の表す領域を$E$とするとき，領域$E$と領域$D$の共通部分の面積を求めなさい．
(1)$k$の値を求めなさい．
(2)$y=f(x)$のグラフの概形を図示しなさい．
(3)実数$s,\ t$が条件$0 \leqq s \leqq 20$，$0 \leqq t \leqq 20$を満たしながら動くとき，$xy$座標平面上の点
\[ \mathrm{P} \left( \frac{1}{2}s+\frac{1}{10}t,\ -\frac{1}{4}s-\frac{1}{5}t \right) \]
が動く領域$D$を求めなさい．
(4)不等式$y \geqq f(x)$の表す領域を$E$とするとき，領域$E$と領域$D$の共通部分の面積を求めなさい．
国立 東京医科歯科大学 2014年 第3問$a$を正の実数，$k$を自然数とし，$x>0$で定義される関数
\[ f(x)=\int_a^{ax} \frac{k+\sqrt[k]{u}}{ku} \, du \]
を考える．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)$f(x)$の増減および凹凸を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(2)$y=f(x)$の$x=1$における接線の方程式を求めよ．
(3)$S$を正の実数とするとき，$f(p)=S$を満たす実数$p$がただ$1$つ存在することを示せ．
(4)$\displaystyle b=\frac{k}{k+\sqrt[k]{a}}$とおくとき，$(2)$の$S,\ p$について，次の不等式が成立することを示せ．
\[ 1+bS<p<e^{bS} \]
\[ f(x)=\int_a^{ax} \frac{k+\sqrt[k]{u}}{ku} \, du \]
を考える．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)$f(x)$の増減および凹凸を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(2)$y=f(x)$の$x=1$における接線の方程式を求めよ．
(3)$S$を正の実数とするとき，$f(p)=S$を満たす実数$p$がただ$1$つ存在することを示せ．
(4)$\displaystyle b=\frac{k}{k+\sqrt[k]{a}}$とおくとき，$(2)$の$S,\ p$について，次の不等式が成立することを示せ．
\[ 1+bS<p<e^{bS} \]
国立 旭川医科大学 2014年 第1問関数$f(x)=\log (1+x^2)$について，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \int_0^1 \log (1+x^2) \, dx$を求めよ．
(2)導関数$f^\prime(x)$の増減を調べ，$y=f^\prime(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)曲線$C:y=f(x)$と曲線$C$の互いに直交している$2$本の接線とで囲まれる図形の面積$S$を求めよ．
(1)$\displaystyle \int_0^1 \log (1+x^2) \, dx$を求めよ．
(2)導関数$f^\prime(x)$の増減を調べ，$y=f^\prime(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)曲線$C:y=f(x)$と曲線$C$の互いに直交している$2$本の接線とで囲まれる図形の面積$S$を求めよ．
国立 徳島大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)関数$\displaystyle y=x-\frac{2}{x}$のグラフの概形をかけ．
(2)不等式$\displaystyle |x-\displaystyle\frac{2|{x}}<1$を解け．
(1)関数$\displaystyle y=x-\frac{2}{x}$のグラフの概形をかけ．
(2)不等式$\displaystyle |x-\displaystyle\frac{2|{x}}<1$を解け．
国立 徳島大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)関数$\displaystyle y=x-\frac{2}{x}$のグラフの概形をかけ．
(2)不等式$\displaystyle |x-\displaystyle\frac{2|{x}}<1$を解け．
(1)関数$\displaystyle y=x-\frac{2}{x}$のグラフの概形をかけ．
(2)不等式$\displaystyle |x-\displaystyle\frac{2|{x}}<1$を解け．
国立 愛知教育大学 2014年 第4問座標平面上に点$\mathrm{A}(0,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 0)$，$\mathrm{C}(1,\ \sqrt{3})$を頂点とする正三角形$\mathrm{ABC}$をとる．また，点$(-1,\ 0)$，$(0,\ 0)$，$\displaystyle \left( -\frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$を頂点とする正三角形を$x$軸の正の方向に$t$だけ平行移動して得られる正三角形$\mathrm{PQR}$を考える．ただし，$t$は$0$以上の実数とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{PQR}$の共通部分の面積を$f(t)$とするとき，関数$y=f(t)$のグラフの概形を描け．
(2)曲線$y=f(t)$と$t$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{PQR}$の共通部分の面積を$f(t)$とするとき，関数$y=f(t)$のグラフの概形を描け．
(2)曲線$y=f(t)$と$t$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 富山大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle \log x>-\frac{1}{\sqrt{x}}$が成り立つことを示せ．
(2)$f(x)=x^2 \log x (x>0)$とおく．$\displaystyle \lim_{x \to +0}f(x)=0$を示せ．
(3)$f(x)$の増減および凹凸を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(4)$\displaystyle I(t)=\int_t^2 f(x) \, dx (t>0)$とおく．このとき，$\displaystyle \lim_{t \to +0}I(t)$を求めよ．
(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle \log x>-\frac{1}{\sqrt{x}}$が成り立つことを示せ．
(2)$f(x)=x^2 \log x (x>0)$とおく．$\displaystyle \lim_{x \to +0}f(x)=0$を示せ．
(3)$f(x)$の増減および凹凸を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(4)$\displaystyle I(t)=\int_t^2 f(x) \, dx (t>0)$とおく．このとき，$\displaystyle \lim_{t \to +0}I(t)$を求めよ．