関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-2x$について次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の極大値，極小値とそれらを与える$x$の値を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$の解を求め，関数$y=|f(x)|$のグラフの概形をかけ．

関数$f(x)=\log (\sin x+2) (0<x<2\pi)$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の第$1$次導関数$f^\prime(x)$と第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$の極値を求めよ．
(3)$f(x)$の変曲点を求め，$y=f(x)$のグラフの概形を座標平面上にかけ．
(4)$k$を実数の定数とするとき，$0<x<2\pi$における$\log (\sin x+2)-k=0$の解の個数を調べよ．

$x$の関数$y=|e^{-x|-a}$に対して，次の問いに答えよ．ここで$a$は$-\infty<a<\infty$の範囲の定数とする．

(1)$e^{-1}<a<1$であるとき，$x$の関数$y=|e^{-x|-a}$のグラフの概形を座標平面上にかけ．
(2)$\displaystyle f(a)=\int_0^1 |e^{-x|-a} \, dx$とおく．$-\infty<a<\infty$であるとき，$f(a)$を$a$を用いて表せ．
(3)$a$が$-\infty<a<\infty$であるとき，$f(a)$の最小値を求めよ．

$xy$平面上に，原点Oを中心とする半径1の円$C$があり，点Pは円$C$の周上を動く．また点Pを中心とする半径$r$の円$D$の周上には点Qがある．いま，点Pが点$(1,\ 0)$から円$C$上を反時計回りに動き，同時に点Qは点$(1+r,\ 0)$から円$D$上を時計回りに動く．ただし，点Pは円$C$上で，点Qは円$D$上でともに等速円運動を行い，点Pが円$C$を一周したとき点Qも円$D$を一周する．次の問いに答えよ．

(1)点Pが円$C$を一周したとき，点Qの軌跡はどのような図形になるか，図示せよ．
(2)$(1)$の図形を$y$軸のまわりに回転させた時にできる立体の体積$V$を$r$の関数として表し，そのグラフの概形を描け．

関数$f(x),\ g(x),\ h(x),\ k(x)$を次のように定める．

$f(x)=\cos x+(x+1) \sin x+1$
$g(x)=(\pi-x) \{ x^2-(2+2\pi)x+1+2\pi+\pi^2 \}$

$\displaystyle h(x)=\frac{g(x)-|g(x)|}{2}$

$\displaystyle k(x)=\frac{f(x)+|f(x)|}{2}+h(x)$


(1)関数$f(x)$の値の増減を$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{11}{6}\pi$において調べ，グラフの概形をかけ．
(2)関数$h(x)$の値の増減を$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{11}{6}\pi$において調べ，グラフの概形をかけ．
(3)$x$が$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{11}{6}\pi$の範囲を動くとき，$k(x)$の最大値と最小値，およびそれらをとる$x$の値を求めよ．