「グラフの概形」について
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国立 愛知教育大学 2011年 第1問$f(x)=1-(x-2) |x-2|$について以下の問いに答えよ．
(1)$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(2)$0 \leqq t \leqq 3$における$t$の関数$S(t)$を，
\[ S(t)=\int_t^3 f(x) \, dx \]
とおく．このとき$S(t)=2$となる$t$を求めよ．
(1)$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(2)$0 \leqq t \leqq 3$における$t$の関数$S(t)$を，
\[ S(t)=\int_t^3 f(x) \, dx \]
とおく．このとき$S(t)=2$となる$t$を求めよ．
国立 鹿児島大学 2011年 第2問$0 \leqq x \leqq 1$とする．このとき，関数$f(x)$を
\[ f(x)=\int_0^1 |t^2-xt| \, dt \]
と定義する．次の各問いに答えよ．
(1)$t$の関数$g(t)=|t^2-xt|$のグラフの概形をかけ．
(2)$f(x)$を求めよ．
(3)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
\[ f(x)=\int_0^1 |t^2-xt| \, dt \]
と定義する．次の各問いに答えよ．
(1)$t$の関数$g(t)=|t^2-xt|$のグラフの概形をかけ．
(2)$f(x)$を求めよ．
(3)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
国立 鹿児島大学 2011年 第2問$0 \leqq x \leqq 1$とする．このとき，関数$f(x)$を
\[ f(x)=\int_0^1 |t^2-xt| \, dt \]
と定義する．次の各問いに答えよ．
(1)$t$の関数$g(t)=|t^2-xt|$のグラフの概形をかけ．
(2)$f(x)$を求めよ．
(3)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
\[ f(x)=\int_0^1 |t^2-xt| \, dt \]
と定義する．次の各問いに答えよ．
(1)$t$の関数$g(t)=|t^2-xt|$のグラフの概形をかけ．
(2)$f(x)$を求めよ．
(3)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
国立 九州工業大学 2011年 第3問正の実数$a$と関数$f(x)=|x^2-a^2| \ (-2a \leqq x \leqq 2a)$がある．$y=f(x)$のグラフを$y$軸のまわりに回転させてできる形の容器に$\pi a^2 (\text{cm}^3 / \text{秒})$の割合で水を静かに注ぐ．水を注ぎ始めてから容器がいっぱいになるまでの時間を$T$(秒)とする．ただし，長さの単位はcmとする．次の問いに答えよ．
(1)$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(2)水面の高さが$a^2$(cm)になったとき，容器中の水の体積を$V$(cm$^3$)とする．$V$を$a$を用いて表せ．
(3)$T$を$a$を用いて表せ．
(4)水を注ぎ始めてから$t$秒後の水面の高さを$h\;$(cm)とする．$h$を$a$と$t$を用いて表せ．ただし，$0<t<T$とする．
(5)水を注ぎ始めてから$t$秒後の水面の上昇速度を$v\;$(cm/秒)とする．$v$を$a$と$t$を用いて表せ．ただし，$0<t<T$とする．
(1)$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(2)水面の高さが$a^2$(cm)になったとき，容器中の水の体積を$V$(cm$^3$)とする．$V$を$a$を用いて表せ．
(3)$T$を$a$を用いて表せ．
(4)水を注ぎ始めてから$t$秒後の水面の高さを$h\;$(cm)とする．$h$を$a$と$t$を用いて表せ．ただし，$0<t<T$とする．
(5)水を注ぎ始めてから$t$秒後の水面の上昇速度を$v\;$(cm/秒)とする．$v$を$a$と$t$を用いて表せ．ただし，$0<t<T$とする．
国立 鹿児島大学 2011年 第3問$0 \leqq x \leqq 1$とする．このとき，関数$f(x)$を
\[ f(x)=\int_0^1 |t^2-xt| \, dt \]
と定義する．次の各問いに答えよ．
(1)$t$の関数$g(t)=|t^2-xt|$のグラフの概形をかけ．
(2)$f(x)$を求めよ．
(3)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
\[ f(x)=\int_0^1 |t^2-xt| \, dt \]
と定義する．次の各問いに答えよ．
(1)$t$の関数$g(t)=|t^2-xt|$のグラフの概形をかけ．
(2)$f(x)$を求めよ．
(3)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
国立 滋賀医科大学 2011年 第2問$a$を正の実数とし，実数$x$についての関数$f(x)=(x^3+ax)e^{-\frac{x^2}{a}}$を考える．ただし任意の自然数$n$に対して$\displaystyle \lim_{t \to \infty}t^n e^{-t}=0$であることを使ってよい．
(1)$y=f(x)$のグラフの概形を，極値および変曲点を調べて描け．
(2)$\displaystyle g(x)=\int_0^x f(t) \, dt$を求めよ．
(3)$f(x)=g(x)$となる実数$x$はいくつあるか．
(1)$y=f(x)$のグラフの概形を，極値および変曲点を調べて描け．
(2)$\displaystyle g(x)=\int_0^x f(t) \, dt$を求めよ．
(3)$f(x)=g(x)$となる実数$x$はいくつあるか．
私立 早稲田大学 2011年 第3問$f(x)=\displaystyle\frac{\log x}{x}$とする．以下の問に答えよ．
(1)$y=f(x)$のグラフの概形を次の点に注意して描け：$f(x)$の増減，グラフの凹凸，$x$→$+0$，$x$→$\infty$のときの$f(x)$の挙動．
(2)$n$を自然数とする．$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$に対して$x$が$\displaystyle e^{\frac{k-1}{n}} \leqq x \leqq e^{\frac{k}{n}}$を動くときの$f(x)$の最大値を$M_k$，最小値を$m_k$とし，
\[ A_n = \sum_{k=1}^n M_k(e^{\frac{k}{n}}- e^{\frac{k-1}{n}}) \]
\[ B_n = \sum_{k=1}^n m_k(e^{\frac{k}{n}}- e^{\frac{k-1}{n}}) \]
とおく．$A_n,\ B_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle\lim_{n \to \infty} A_n$および$\displaystyle\lim_{n \to \infty} B_n$求めよ．
(4)各$n$に対して$\displaystyle B_n < \int_1^e f(x)\, dx < A_n$であることを示せ．
(1)$y=f(x)$のグラフの概形を次の点に注意して描け：$f(x)$の増減，グラフの凹凸，$x$→$+0$，$x$→$\infty$のときの$f(x)$の挙動．
(2)$n$を自然数とする．$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$に対して$x$が$\displaystyle e^{\frac{k-1}{n}} \leqq x \leqq e^{\frac{k}{n}}$を動くときの$f(x)$の最大値を$M_k$，最小値を$m_k$とし，
\[ A_n = \sum_{k=1}^n M_k(e^{\frac{k}{n}}- e^{\frac{k-1}{n}}) \]
\[ B_n = \sum_{k=1}^n m_k(e^{\frac{k}{n}}- e^{\frac{k-1}{n}}) \]
とおく．$A_n,\ B_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle\lim_{n \to \infty} A_n$および$\displaystyle\lim_{n \to \infty} B_n$求めよ．
(4)各$n$に対して$\displaystyle B_n < \int_1^e f(x)\, dx < A_n$であることを示せ．
私立 愛知工業大学 2011年 第2問$f(x)=x(1-\log x) (x>0)$とする．ただし，$\log x$は$x$の自然対数である．
(1)$xy$平面において，$y=f(x)$の増減，凹凸を調べ，グラフの概形をかけ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to +0}x \log x=0$である．
(2)$xy$平面において，曲線$y=f(x)$が$x$軸の正の部分と交わる点における曲線の接線を$\ell$とする．直線$\ell$，直線$x=1$および曲線$y=f(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$xy$平面において，$y=f(x)$の増減，凹凸を調べ，グラフの概形をかけ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to +0}x \log x=0$である．
(2)$xy$平面において，曲線$y=f(x)$が$x$軸の正の部分と交わる点における曲線の接線を$\ell$とする．直線$\ell$，直線$x=1$および曲線$y=f(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．
公立 広島市立大学 2011年 第4問関数$f(x)=(x-2)e^{-\frac{x}{3}}$について，以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の増減，極値，凹凸，変曲点を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形を描け．必要であれば$\displaystyle \lim_{x \to \infty}xe^{-x}=0$を用いてよい．
(2)次の連立不等式の表す領域の面積を求めよ．
\[ x \geqq 0,\quad y \leqq 0,\quad y \geqq f(x) \]
(1)$f(x)$の増減，極値，凹凸，変曲点を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形を描け．必要であれば$\displaystyle \lim_{x \to \infty}xe^{-x}=0$を用いてよい．
(2)次の連立不等式の表す領域の面積を求めよ．
\[ x \geqq 0,\quad y \leqq 0,\quad y \geqq f(x) \]
公立 兵庫県立大学 2011年 第3問次の問いに答えよ．
(1)$\sin (\pi \sin x)$の導関数を求めよ．
(2)$y=\sin (\pi \sin x) \ (0 \leqq x \leqq 2\pi)$の増減，極値を調べ，グラフの概形をかけ．凹凸は調べる必要はない．
(1)$\sin (\pi \sin x)$の導関数を求めよ．
(2)$y=\sin (\pi \sin x) \ (0 \leqq x \leqq 2\pi)$の増減，極値を調べ，グラフの概形をかけ．凹凸は調べる必要はない．