「グラフ」について
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国立 神戸大学 2016年 第2問$a$を正の定数とし，$f(x)=|x^2+2ax+a|$とおく．以下の問に答えよ．
(1)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(2)$y=f(x)$のグラフが点$(-1,\ 2)$を通るときの$a$の値を求めよ．また，そのときの$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．
(3)$a=2$とする．すべての実数$x$に対して$f(x) \geqq 2x+b$が成り立つような実数$b$の取りうる値の範囲を求めよ．
(1)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(2)$y=f(x)$のグラフが点$(-1,\ 2)$を通るときの$a$の値を求めよ．また，そのときの$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．
(3)$a=2$とする．すべての実数$x$に対して$f(x) \geqq 2x+b$が成り立つような実数$b$の取りうる値の範囲を求めよ．
国立 北海道大学 2016年 第2問$f(x)=|x(x-2)|+|(x-1)(x-4)|+3x-10 (-2 \leqq x \leqq 4)$とおく．
(1)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．グラフと$x$軸との$2$つの交点の$x$座標$\alpha$，$\beta (\alpha<\beta)$の値も求めよ．
(2)$(1)$の$\alpha,\ \beta$に対して，定積分$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} f(x) \, dx$の値を求めよ．
(1)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．グラフと$x$軸との$2$つの交点の$x$座標$\alpha$，$\beta (\alpha<\beta)$の値も求めよ．
(2)$(1)$の$\alpha,\ \beta$に対して，定積分$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} f(x) \, dx$の値を求めよ．
国立 山口大学 2016年 第1問関数$f(x)=|x^3-3x^2-3x+1|$について，次の問いに答えなさい．
(1)方程式$f(x)=0$の実数解をすべて求めなさい．
(2)$f(x)$の増減，極値を調べ，$y=f(x)$のグラフをかきなさい．ただし，グラフの変曲点と凹凸は調べなくてよい．
(3)$a$を実数の定数とする．$x$についての方程式$f(x)=a$が，ちょうど$4$個の異なる実数解をもつように，$a$の値の範囲を定めなさい．
(1)方程式$f(x)=0$の実数解をすべて求めなさい．
(2)$f(x)$の増減，極値を調べ，$y=f(x)$のグラフをかきなさい．ただし，グラフの変曲点と凹凸は調べなくてよい．
(3)$a$を実数の定数とする．$x$についての方程式$f(x)=a$が，ちょうど$4$個の異なる実数解をもつように，$a$の値の範囲を定めなさい．
国立 名古屋工業大学 2016年 第1問関数$\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{x^2+1}$のグラフを曲線$C$とする．
(1)関数$f(x)$の極値を求めよ．
(2)曲線$C$の変曲点を求めよ．
(3)曲線$C$上の点$(0,\ f(0))$における接線を$\ell$とする．曲線$C$と接線$\ell$とで囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(1)関数$f(x)$の極値を求めよ．
(2)曲線$C$の変曲点を求めよ．
(3)曲線$C$上の点$(0,\ f(0))$における接線を$\ell$とする．曲線$C$と接線$\ell$とで囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
国立 岡山大学 2016年 第3問$a$は正の数とし，次の関数$y=f_a(x)$のグラフの変曲点を$\mathrm{P}$とする．
\[ f_a(x)=axe^{-\frac{x}{a}} \quad (x \geqq 0) \]
このとき以下の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)$a$が区間$1 \leqq a \leqq 2$全体を動くとき，点$\mathrm{P}$が描く曲線$C$の概形を図示せよ．
(3)$x \geqq 0$における曲線$y=f_1(x)$，$y=f_2(x)$と$(2)$の曲線$C$の$3$曲線で囲まれた部分の面積を求めよ．
\[ f_a(x)=axe^{-\frac{x}{a}} \quad (x \geqq 0) \]
このとき以下の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)$a$が区間$1 \leqq a \leqq 2$全体を動くとき，点$\mathrm{P}$が描く曲線$C$の概形を図示せよ．
(3)$x \geqq 0$における曲線$y=f_1(x)$，$y=f_2(x)$と$(2)$の曲線$C$の$3$曲線で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 新潟大学 2016年 第4問関数$f(x)=|x^2-4|-3$について，次の問いに答えよ．
(1)方程式$f(x)=0$の解を求めよ．
(2)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(3)関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)方程式$f(x)=0$の解を求めよ．
(2)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(3)関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 新潟大学 2016年 第4問$a$を$0<a<1$を満たす実数として$x$の関数$f(x)=ax-\log (1+e^x)$の最大値を$M(a)$とするとき，次の問いに答えよ．ただし必要があれば
\[ \lim_{x \to +0} x \log x=0 \]
が成り立つことを用いてよい．
(1)$M(a)$を$a$を用いて表せ．
(2)$a$の関数$y=M(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．
(3)$a$の関数$y=M(a)$のグラフをかけ．
\[ \lim_{x \to +0} x \log x=0 \]
が成り立つことを用いてよい．
(1)$M(a)$を$a$を用いて表せ．
(2)$a$の関数$y=M(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．
(3)$a$の関数$y=M(a)$のグラフをかけ．
国立 三重大学 2016年 第4問$\log x$は$x$の自然対数とする．
(1)$2$と$\log 4$の大小関係を，理由をつけて述べよ．必要ならば$e=2.718 \cdots$を用いてよい．さらに$x>0$のとき$\sqrt{x}>\log x$を示せ．
(2)$x>1$のとき，$\displaystyle y=\frac{x}{\log x}$の増減，極値およびグラフの凹凸を調べ，このグラフの概形をかけ．
(3)$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{\log x}} (e \leqq x \leqq e^2)$と$\displaystyle y=\frac{1}{\log x} (e \leqq x \leqq e^2)$，および$x=e^2$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
(1)$2$と$\log 4$の大小関係を，理由をつけて述べよ．必要ならば$e=2.718 \cdots$を用いてよい．さらに$x>0$のとき$\sqrt{x}>\log x$を示せ．
(2)$x>1$のとき，$\displaystyle y=\frac{x}{\log x}$の増減，極値およびグラフの凹凸を調べ，このグラフの概形をかけ．
(3)$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{\log x}} (e \leqq x \leqq e^2)$と$\displaystyle y=\frac{1}{\log x} (e \leqq x \leqq e^2)$，および$x=e^2$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
国立 東北大学 2016年 第2問放物線$\displaystyle C:y=-\frac{1}{2}x^2$を考える．以下の問いに答えよ．
(1)関数$y=-2 |x|+k$のグラフが放物線$C$と共有点をもつような実数$k$の範囲を求めよ．
(2)$a,\ b$を実数とする．関数$y=-2 |x-a|+b$のグラフが放物線$C$と共有点をちょうど$4$個もつような点$(a,\ b)$全体のなす領域$D$を$xy$平面に図示せよ．
(3)$(2)$で求めた領域$D$の面積を求めよ．
(1)関数$y=-2 |x|+k$のグラフが放物線$C$と共有点をもつような実数$k$の範囲を求めよ．
(2)$a,\ b$を実数とする．関数$y=-2 |x-a|+b$のグラフが放物線$C$と共有点をちょうど$4$個もつような点$(a,\ b)$全体のなす領域$D$を$xy$平面に図示せよ．
(3)$(2)$で求めた領域$D$の面積を求めよ．
国立 室蘭工業大学 2016年 第1問$a,\ b,\ c$を定数とし，$a \neq 0$とする．関数$f(x)$を
\[ f(x)=ax^2+bx+c \]
と定める．放物線$y=f(x)$の頂点の$x$座標を$x=1$とする．また，放物線$y=f(x)$と直線$y=x$の交点の$x$座標を$x=2$と$x=-3$とする．
(1)$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)放物線$y=f(x)$と関数$y=|x|$のグラフの交点をすべて求めよ．
(3)放物線$y=f(x)$と関数$y=|x|$のグラフで囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
\[ f(x)=ax^2+bx+c \]
と定める．放物線$y=f(x)$の頂点の$x$座標を$x=1$とする．また，放物線$y=f(x)$と直線$y=x$の交点の$x$座標を$x=2$と$x=-3$とする．
(1)$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)放物線$y=f(x)$と関数$y=|x|$のグラフの交点をすべて求めよ．
(3)放物線$y=f(x)$と関数$y=|x|$のグラフで囲まれた図形の面積$S$を求めよ．