$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{3}$を満たす$\theta$と正の実数$p$に対して，$a_1=\log_4 (p \sin \theta)$，$a_2=\log_4 (\sin 2\theta)$，$a_3=\log_4 (\sin 3\theta)$とする．

(1)$a_1=a_2=a_3$となるのは，
\[ p=\frac{[ア]+\sqrt{[イ]}}{[ウ]},\quad \theta=\frac{[エ]}{[オ]} \pi \]
のときである．
(2)$3$つの数$a_1,\ a_2,\ a_3$がこの順に等差数列をなしているとする．このとき，
\[ p>\frac{[カ]}{[キ]} \]
となる．$p$をこの範囲で変化させたとき，$a_2+a_3$が最大となるのは，
\[ \cos^2 \theta=\frac{[クケ]+\sqrt{[コサシ]}}{[スセ]},\quad p=\frac{[ソ]+\sqrt{[コサシ]}}{[タチ]} \]
のときである．
(3)$p=2$で，$a_1,\ a_2,\ a_3$がこの順に等差数列をなしているとき，この数列の初項$a_1$および公差$d$は
\[ a_1=\frac{[ツ]}{[テ]},\quad d=\frac{[トナ]}{[ニ]} \]
である．この初項と公差を持つ等差数列$\{a_k\} (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$に対して，極限値
\[ \alpha=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n 2^{2a_k} \]
を定義すると，$\alpha$は$2$次方程式
\[ x^2-[ヌ] x-[ネ]=0 \]
の解となっている．

次の問いに答えよ．

(1)$x=\sqrt{3}+\sqrt{2}$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}=[ア] \sqrt{[イ]}$，$\displaystyle x^3+\frac{1}{x^3}=[ウエ] \sqrt{[オ]}$である．
(2)$(2a+1)(2a-1)(a^2-a+4)$の展開式における$a^2$の項の係数は$[カキ]$である．
(3)整式$A=x^2-2xy+3y^2$，$B=2x^2+3y^2$，$C=x^2-2xy$について
\[ 2(A-B)-\{C-(3A-B)\}=[クケ]x^2-[コ]xy+[サ]y^2 \]
である．
(4)方程式$x^2+3kx+k^2+5k=0$が重解をもつような定数$k$の値は$[シ]$，$[ス]$である．ただし，$[シ]<[ス]$とする．また，$k=[ス]$のとき，この方程式の重解は$x=[セソ]$である．
(5)$2$次関数$y=2x^2-2mx-m^2+9$のグラフが$x$軸の正の部分と異なる$2$点で交わるような定数$m$の値の範囲は$\sqrt{[タ]}<m<[チ]$である．
(6)$\displaystyle \tan \theta=-\frac{\sqrt{5}}{2}$のとき，$\displaystyle \sin \theta=\frac{\sqrt{5}}{[ツ]}$，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[テト]}{[ナ]}$である．ただし，$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$とする．
(7)数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$を使い$4$桁の整数を作る．このとき，$4$桁の整数は全部で$[アイ]$個あり，このうち$2$の倍数は$[ウエ]$個ある．ただし，同じ数字を重複して使わないこととする．
(8)大小$2$個のさいころを同時に投げ，大きいさいころの出た目を$X$，小さいさいころの出た目を$Y$とする．このとき，$X+Y=8$となる確率は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カキ]}$であり，$2X-Y=4$となる確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケコ]}$である．

円$x^2+y^2+4x-2y-4=0$を$C$とし，直線$y=-x+2$を$\ell$とする．

(1)円$C$の中心$\mathrm{P}$の座標は$([クケ],\ [コ])$であり，半径は$[サ]$である．
(2)直線$\ell$に関して点$\mathrm{P}$と対称な点$\mathrm{Q}$の座標は$([シ],\ [ス])$である．
(3)点$\mathrm{P}$と直線$\ell$の間の距離は$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソ]} \sqrt{[タ]}$である．
(4)円$C$と直線$\ell$の$2$つの共有点の間の距離は$[チ] \sqrt{[ツ]}$である．
(5)点$\mathrm{Q}$を中心とし，円$C$と同じ半径をもつ円を$C^\prime$とすると，$2$つの円$C$と$C^\prime$の共通部分の面積は$\displaystyle \frac{[テ]}{[ト]} \pi-[ナ]$である．

次の各問の$[　]$にあてはまる数を記入せよ．

座標空間内に点$\mathrm{P}(s+3,\ 2s-1,\ 2s+1)$と点$\mathrm{Q}(2s+3,\ 1-2s,\ s-1)$がある．ただし，$s$は実数全体を動く．次の問に答えよ．
(1)線分$\mathrm{PQ}$の長さは
\[ \sqrt{[ア] \left( [イ]s^2-[ウ]s+[エ] \right)} \]
であり，$\displaystyle s=\frac{[オ]}{[カ]}$のときに最小値$\sqrt{[キ]}$をとる．

(2)$\mathrm{O}$を原点とし，$\theta=\angle \mathrm{POQ}$とする．$\cos \theta$のとる値の範囲を求めよう．$k=\cos \theta$とおくと
\[ k=\frac{[クケ]s+[コ]}{[サ]s^2+[シ]s+[スセ]} \cdots\cdots (*) \]
である．

(i) $\displaystyle s=-\frac{[コ]}{[クケ]}$のとき$k=0$となる．
(ii) $k \neq 0$のときに$(*)$を満たす実数$s$が存在するための条件は
\[ -\frac{[ソ]}{[タ]} \leqq k \leqq \frac{[チ]}{[ツ]} \]
である．

$(ⅰ),\ (ⅱ)$より$\cos \theta$のとる値の範囲は
\[ -\frac{[ソ]}{[タ]} \leqq \cos \theta \leqq \frac{[チ]}{[ツ]} \]
である．また，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[チ]}{[ツ]}$となるのは$\displaystyle s=\frac{[テ]}{[ト]}$のときである．

三角形$\mathrm{ABC}$があり，点$\mathrm{P}$は，$3 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+4 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=2 \overrightarrow{\mathrm{PA}}$を満たしている．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$は
\[ \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{[ア]}{[イ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[ウ]}{[エ]} \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
であり，線分$\mathrm{BC}$と線分$\mathrm{AP}$との交点を$\mathrm{D}$とすると，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{[オ]}{[カ]} \overrightarrow{\mathrm{AD}}$である．
(2)三角形$\mathrm{ABD}$の面積を$S_1$，三角形$\mathrm{CPD}$の面積を$S_2$とすると，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}=\frac{[キ]}{[クケ]}$である．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AD}$が$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線で，$\angle \mathrm{BAC}=60^\circ$とすると
\[ |\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=\frac{[コ]}{[サ]} |\overrightarrow{\mathrm{AB}}| \]
であり
\[ |\overrightarrow{\mathrm{AP}}|=\frac{[シ] \sqrt{[ス]}}{[セ]} |\overrightarrow{\mathrm{AB}}| \]
となる．

三角形$\mathrm{ABC}$で$\angle \mathrm{B}={45}^\circ$，$\angle \mathrm{C}={60}^\circ$，$\mathrm{BC}=10$のとき，
\[ \sin A=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{[ア]}}{[イ]} \]
で，$\mathrm{AB}$の長さは$[ウエ] \sqrt{[オ]}-[カ] \sqrt{[キ]}$，

$\mathrm{AC}$の長さは$[クケ] \sqrt{[コ]}-[サシ]$である．

関数$f(x)=x^3+3ax^2+3bx+c$を考える．このとき，次の問に答えなさい．

(1)$f(0)=65$，$f(4)=81$であるという．このとき，$b=[アイ]a-[ウ]$，$c=[エオ]$である．
(2)さらに$x<0$となる$x$で極大値$81$をもつという．このとき，$a=[カ]$である．
(3)$f(x)$は$x=[キ]$で極小値$[クケ]$をとる．
(4)方程式$f(x)=0$の解は，$x=[コサ]$，$\displaystyle \frac{[シ] \pm [ス] \sqrt{[セ]} i}{[ソ]}$である．

さいころを$4$個同時に振って$x$種類の数字がでたら$x$点とする．例えば$1,\ 2,\ 2,\ 5$がでたら$3$点である．このとき，次の問に答えなさい．

(1)$1$点となる確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イウエ]}$である．

(2)$4$点となる確率は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カキ]}$である．

(3)$2$点となる確率は$\displaystyle \frac{[クケ]}{[コサシ]}$である．

(4)$3$点となる確率は$\displaystyle \frac{[ス]}{[セ]}$である．

(5)得点$x$の期待値は$\displaystyle \frac{[ソタチ]}{[ツテト]}$である．