$n$を自然数，$m$を$2n$以下の自然数とする．$1$から$n$までの自然数が$1$つずつ記されたカードが，それぞれの数に対して$2$枚ずつ，合計$2n$枚ある．この中から，$m$枚のカードを無作為に選んだとき，それらに記された数がすべて異なる確率を$P_n(m)$と表す．ただし$P_n(1)=1$とする．さらに，
\[ E_n(m)=mP_n(m) \]
とおく．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)$P_3(2),\ P_3(3),\ P_3(4)$を求めよ．
(2)$E_{10}(m)$が最大となるような$m$を求めよ．
(3)自然数$n$に対し，
\[ E_n(m)>E_n(m+1) \]
を満たす自然数$m$の最小値を$f(n)$とするとき，$f(n)$を$n$を用いて表せ．ただし，ガウス記号$[ \quad ]$を用いてよい．ここで，実数$x$に対して，$x$を超えない最大の整数を$[x]$と表す．

$n$を自然数，$m$を$2n$以下の自然数とする．$1$から$n$までの自然数が$1$つずつ記されたカードが，それぞれの数に対して$2$枚ずつ，合計$2n$枚ある．この中から，$m$枚のカードを無作為に選んだとき，それらに記された数がすべて異なる確率を$P_n(m)$と表す．ただし$P_n(1)=1$とする．さらに，
\[ E_n(m)=mP_n(m) \]
とおく．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)$P_3(2),\ P_3(3),\ P_3(4)$を求めよ．
(2)$E_{10}(3),\ E_{10}(4),\ E_{10}(5)$の中で最大のものはどれか．
(3)自然数$n$に対し，
\[ E_n(m)>E_n(m+1) \]
を満たす自然数$m$の最小値を$f(n)$とするとき，$f(n)$を$n$を用いて表せ．ただし，ガウス記号$[ \quad ]$を用いてよい．ここで，実数$x$に対して，$x$を超えない最大の整数を$[x]$と表す．

$a$を正の整数とする．正の実数$x$についての方程式
\[ (*) \quad x = \left[ \frac{1}{2} \left( x+ \frac{a}{x} \right) \right] \]
が解を持たないような$a$を小さい順に並べたものを$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots$とする．ここに$[ \quad ]$はガウス記号で，実数$u$に対し，$[ \; u \; ]$は$u$以下の最大の整数を表す．

(1)$a = 7,\ 8,\ 9$の各々について，$(*)$の解があるかどうかを判定し，ある場合は解$x$を求めよ．
(2)$a_1,\ a_2$を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n}$を求めよ．