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公立 大阪府立大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)次の文章の$[ ]$に適する答えを記入せよ．
次のように$1$から$5$までの数字が書かれたカードを用意する．
\[ \fbox{ $1$ } \quad \fbox{ $2$ } \quad \fbox{ $3$ } \quad \fbox{ $4$ } \quad \fbox{ $5$ } \]
それに次のように$4$の数字が書かれたカードを$1$枚加える．
\[ \fbox{ $1$ } \quad \fbox{ $2$ } \quad \fbox{ $3$ } \quad \fbox{ $4$ } \quad \fbox{ $5$ } \quad \fbox{ $4$ } \]
この$6$枚のカードを$1$列に並べて$6$桁の整数をつくる．このとき，つくられる相異なる整数の場合の数は$[$①$]$であり，その中で$5$の倍数となる相異なる整数の場合の数は$[$②$]$である．次に，この$6$枚のカードに$0$と書かれたカードを加えて$7$枚のカードにし，この$7$枚のカードを$1$列に並べる．左端に$0$以外のカードが来ることによって$7$桁の相異なる整数になる場合の数は$[$③$]$である．その中で，$1$のカードと$2$のカードが隣りあう相異なる整数の場合の数は$[$④$]$である．
(2)次の不定積分を求めよ．ただし，積分定数は省略してよい．
\[ \int x \log (1+x) \, dx \]
(1)次の文章の$[ ]$に適する答えを記入せよ．
次のように$1$から$5$までの数字が書かれたカードを用意する．
\[ \fbox{ $1$ } \quad \fbox{ $2$ } \quad \fbox{ $3$ } \quad \fbox{ $4$ } \quad \fbox{ $5$ } \]
それに次のように$4$の数字が書かれたカードを$1$枚加える．
\[ \fbox{ $1$ } \quad \fbox{ $2$ } \quad \fbox{ $3$ } \quad \fbox{ $4$ } \quad \fbox{ $5$ } \quad \fbox{ $4$ } \]
この$6$枚のカードを$1$列に並べて$6$桁の整数をつくる．このとき，つくられる相異なる整数の場合の数は$[$①$]$であり，その中で$5$の倍数となる相異なる整数の場合の数は$[$②$]$である．次に，この$6$枚のカードに$0$と書かれたカードを加えて$7$枚のカードにし，この$7$枚のカードを$1$列に並べる．左端に$0$以外のカードが来ることによって$7$桁の相異なる整数になる場合の数は$[$③$]$である．その中で，$1$のカードと$2$のカードが隣りあう相異なる整数の場合の数は$[$④$]$である．
(2)次の不定積分を求めよ．ただし，積分定数は省略してよい．
\[ \int x \log (1+x) \, dx \]
公立 島根県立大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{\sin {2014}^\circ}{\log_{10}25}$の値を求めよ．ただし，$\sin {34}^\circ=0.56$，$\log_{10}2=0.30$とする．
(2)$1$から$6$までの整数が$1$つずつ書かれた$6$枚のカードから$3$枚のカードを無作為に取り出す．$1$枚目に取り出したカードに書かれた数字を$a$，$2$枚目を$b$，$3$枚目を$c$とする．このとき，$a,\ b,\ c$を係数に含む$x$に関する$2$次方程式$ax^2+2bx+c=0$が重解を持つ確率を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{5y}=\frac{1}{5}$を満たす自然数の組$(x,\ y)$をすべて求めよ．
(4)下の図において，$\mathrm{AB}=a$，$\mathrm{AC}=b$，$\mathrm{AD}=c$のとき，$\cos \angle \mathrm{ABD}$を$a,\ b,\ c$を用いて表しなさい．ただし，$\mathrm{BC}$は円$\mathrm{O}$の直径とし，点$\mathrm{A}$における円の接線と直線$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．
（図は省略）
(1)$\displaystyle \frac{\sin {2014}^\circ}{\log_{10}25}$の値を求めよ．ただし，$\sin {34}^\circ=0.56$，$\log_{10}2=0.30$とする．
(2)$1$から$6$までの整数が$1$つずつ書かれた$6$枚のカードから$3$枚のカードを無作為に取り出す．$1$枚目に取り出したカードに書かれた数字を$a$，$2$枚目を$b$，$3$枚目を$c$とする．このとき，$a,\ b,\ c$を係数に含む$x$に関する$2$次方程式$ax^2+2bx+c=0$が重解を持つ確率を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{5y}=\frac{1}{5}$を満たす自然数の組$(x,\ y)$をすべて求めよ．
(4)下の図において，$\mathrm{AB}=a$，$\mathrm{AC}=b$，$\mathrm{AD}=c$のとき，$\cos \angle \mathrm{ABD}$を$a,\ b,\ c$を用いて表しなさい．ただし，$\mathrm{BC}$は円$\mathrm{O}$の直径とし，点$\mathrm{A}$における円の接線と直線$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．
（図は省略）
国立 千葉大学 2013年 第4問$1$から$9$までの番号をつけた$9$枚のカードがある．これらを無作為に$1$列に並べる試行を行う．
(1)下記の条件(A)が成り立つ確率を求めよ．
(2)下記の条件(B)が成り立つ確率を求めよ．
(3)条件(A)，(B)が同時に成り立つ確率を求めよ．
ただし，条件(A)，(B)は次の通りである．
\mon[(A)] 番号$1$のカードと番号$2$のカードは隣り合わない．
\mon[(B)] 番号$8$のカードと番号$9$のカードの間には，ちょうど$1$枚のカードがある．
(1)下記の条件(A)が成り立つ確率を求めよ．
(2)下記の条件(B)が成り立つ確率を求めよ．
(3)条件(A)，(B)が同時に成り立つ確率を求めよ．
ただし，条件(A)，(B)は次の通りである．
\mon[(A)] 番号$1$のカードと番号$2$のカードは隣り合わない．
\mon[(B)] 番号$8$のカードと番号$9$のカードの間には，ちょうど$1$枚のカードがある．
国立 奈良女子大学 2013年 第3問$n$を正の整数とする．袋の中に，$1$から$4n$までの数字が$1$つずつ書かれた$4n$枚のカードが入っている．ただし，異なるカードには異なる数字が書かれているものとする．この袋から，カードを$1$枚ずつ$2$回取り出す．ただし，取り出したカードは袋に戻さないものとする．取り出された$2$枚のカードに書かれた数字の和が$6n$以下となる確率を$P_n$とおく．次の問いに答えよ．
(1)$P_1,\ P_2$をそれぞれ求めよ．
(2)$P_n$を$n$を用いて表せ．また，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n$を求めよ．
(1)$P_1,\ P_2$をそれぞれ求めよ．
(2)$P_n$を$n$を用いて表せ．また，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n$を求めよ．
国立 滋賀大学 2013年 第2問$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人がそれぞれ$9$個のボールを持っていて，次のようなゲームを行う．まずどちらかが硬貨を投げ，表であれば$\mathrm{A}$の勝ち，裏であれば$\mathrm{B}$の勝ちとする．勝者は$0$から$3$までの数が$1$つずつ書かれた$4$枚のカードから無作為に$1$枚を取り出し，書かれている数だけ敗者からボールを受け取る．ただし，取り出したカードはもとに戻すものとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)このゲームを$2$回続けて行ったとき，$2$人の持っているボールの個数が同じである確率を求めよ．
(2)このゲームを$2$回続けて行ったとき，$\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$よりも$2$個多くボールを持っている確率を求めよ．
(3)このゲームを$3$回続けて行ったとき，$2$人の持っているボールの個数が同じである確率を求めよ．
(1)このゲームを$2$回続けて行ったとき，$2$人の持っているボールの個数が同じである確率を求めよ．
(2)このゲームを$2$回続けて行ったとき，$\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$よりも$2$個多くボールを持っている確率を求めよ．
(3)このゲームを$3$回続けて行ったとき，$2$人の持っているボールの個数が同じである確率を求めよ．
国立 鹿児島大学 2013年 第7問$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$の数字が$1$つずつ記入された$5$枚のカードがある．この$5$枚のカードの中から$1$枚引き，数字を記録して戻すという作業を$3$回繰り返す．ただし，$3$回ともどのカードを引く確率も等しいとする．記録した$3$つの数字の最小値を$X$とするとき，次の各問いに答えよ．
(1)$k=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$に対して確率$P(X \geqq k)$を求めよ．
(2)確率変数$X$の確率分布を表で表せ．
(3)確率変数$X$の平均（期待値）$E(X)$を求めよ．
(4)確率変数$X$の分散$V(X)$を求めよ．
(1)$k=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$に対して確率$P(X \geqq k)$を求めよ．
(2)確率変数$X$の確率分布を表で表せ．
(3)確率変数$X$の平均（期待値）$E(X)$を求めよ．
(4)確率変数$X$の分散$V(X)$を求めよ．
国立 岐阜大学 2013年 第3問$1$から$9$までの数字が$1$つずつ重複せずに書かれた$9$枚のカードがある．そのうち$8$枚のカードを$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の$4$人に$2$枚ずつ分ける．以下の問に答えよ．
(1)$9$枚のカードの分け方は全部で何通りあるか．
(2)各人が持っている$2$枚のカードに書かれた数の和が$4$人とも奇数である確率を求めよ．
(3)各人が持っている$2$枚のカードに書かれた数の差が$4$人とも同じである確率を求めよ．ただし，$2$枚のカードに書かれた数の差とは，大きいほうの数から小さいほうの数を引いた数である．
(1)$9$枚のカードの分け方は全部で何通りあるか．
(2)各人が持っている$2$枚のカードに書かれた数の和が$4$人とも奇数である確率を求めよ．
(3)各人が持っている$2$枚のカードに書かれた数の差が$4$人とも同じである確率を求めよ．ただし，$2$枚のカードに書かれた数の差とは，大きいほうの数から小さいほうの数を引いた数である．
国立 愛媛大学 2013年 第4問$1$から$40$までの番号をつけた$40$枚のカードが$2$組ある．これら$80$枚のカードを袋に入れてよくかき混ぜて，同時に$3$枚を取り出すとき，次の確率を求めよ．
(1)$3$つの番号がすべて$3$の倍数である確率
(2)$3$つの番号の積が$3$の倍数である確率
(3)$3$つの番号の和が$3$の倍数である確率
(1)$3$つの番号がすべて$3$の倍数である確率
(2)$3$つの番号の積が$3$の倍数である確率
(3)$3$つの番号の和が$3$の倍数である確率
国立 愛媛大学 2013年 第5問$1$から$40$までの番号をつけた$40$枚のカードが$2$組ある．これら$80$枚のカードを袋に入れてよくかき混ぜて，同時に$3$枚を取り出すとき，次の確率を求めよ．
(1)$3$つの番号がすべて$3$の倍数である確率
(2)$3$つの番号の積が$3$の倍数である確率
(3)$3$つの番号の和が$3$の倍数である確率
(4)$3$つの番号の積が$27$の倍数である確率
(1)$3$つの番号がすべて$3$の倍数である確率
(2)$3$つの番号の積が$3$の倍数である確率
(3)$3$つの番号の和が$3$の倍数である確率
(4)$3$つの番号の積が$27$の倍数である確率
国立 愛媛大学 2013年 第1問$1$から$40$までの番号をつけた$40$枚のカードが$2$組ある．これら$80$枚のカードを袋に入れてよくかき混ぜて，同時に$3$枚を取り出すとき，次の確率を求めよ．
(1)$3$つの番号がすべて$3$の倍数である確率
(2)$3$つの番号の積が$3$の倍数である確率
(3)$3$つの番号の和が$3$の倍数である確率
(1)$3$つの番号がすべて$3$の倍数である確率
(2)$3$つの番号の積が$3$の倍数である確率
(3)$3$つの番号の和が$3$の倍数である確率