$n$を自然数，$i$を虚数単位とする．集合$I_1,\ I_2,\ I_3,\ I_4$，および$A$を

$I_1=\{k \;|\; k \text{は} n \text{以下の自然数} \}$
$I_2=\{-k \;|\; k \text{は} n \text{以下の自然数} \}$
$I_3=\{ki \;|\; k \text{は} n \text{以下の自然数} \}$
$I_4=\{-ki \;|\; k \text{は} n \text{以下の自然数} \}$
$A=I_1 \cup I_2 \cup I_3 \cup I_4 \cup \{0\}$

とする．集合$A$の要素が$1$つずつ書かれたカードが$4n+1$枚ある．ただし，それぞれのカードに書かれている要素は異なるものとする．これらのカードをよくまぜて，左から右に一列に並べる．左から$k$番目のカードに書かれた数を$X_k$とするとき，次の確率を求めよ．

(1)積$X_1X_2X_3$が$0$となる．
(2)積$X_1X_2X_3$が実数となる．
(3)和$X_1+X_2$が実数となる．
(4)$X_1(X_2+X_3)$が$0$となる．

$n$を$1$以上の整数とする．袋の中に，$1$の数字を書いたカードが$1$枚，$2$の数字を書いたカードが$2$枚，$3$の数字を書いたカードが$3$枚入っている．この袋の中から，無作為にカードを$1$枚取り出して数字を記録し，もとに戻すという試行を繰り返す．次の問いに答えよ．

(1)この試行を$n$回繰り返したとき，記録された$n$個の数字すべての積を$R_n$とする．$R_n$が$3$で割り切れない確率と，$R_n$が$6$で割り切れる確率を$n$を用いて表せ．
(2)この試行を$n$回繰り返したとき，記録された$n$個の数字の合計を$S_n$とし，$S_n$が偶数である確率を$p_n$とする．$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表し，数列$\{p_n\}$の一般項を求めよ．

$n$を$1$以上の整数とする．袋の中に，$1$の数字を書いたカードが$1$枚，$2$の数字を書いたカードが$2$枚，$3$の数字を書いたカードが$3$枚入っている．この袋の中から，無作為にカードを$1$枚取り出して数字を記録し，もとに戻すという試行を繰り返す．次の問いに答えよ．

(1)この試行を$n$回繰り返したとき，記録された$n$個の数字すべての積を$R_n$とする．$R_n$が$3$で割り切れない確率と，$R_n$が$6$で割り切れる確率を$n$を用いて表せ．
(2)この試行を$n$回繰り返したとき，記録された$n$個の数字の合計を$S_n$とし，$S_n$が偶数である確率を$p_n$とする．$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表し，数列$\{p_n\}$の一般項を求めよ．

$n$を自然数とする．$n$個の白球，$n$個の赤球，$1$から$n$までの数字が$1$つずつ書かれた$n$枚のカードがある．次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$の操作を順に行う．

(i) $n$枚のカードから$1$枚取り出す．
(ii) 取り出されたカードに書かれた数字と同じ個数の赤球と$n$個の白球を袋に入れる．
(iii) 袋から$1$個の球を取り出す．

このとき，取り出された球が白球である確率を$P_n$とおく．次の問いに答えよ．

(1)$P_1,\ P_2$をそれぞれ求めよ．
(2)定積分を利用して，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n$を求めよ．

$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の数字が書かれた$6$枚のカードがある．以下の問いに答えよ．ただし，答えは既約分数で示せ．

(1)これら$6$枚のカードの中から$4$枚を取って並べるとき，$4$桁の整数は全部で何通りできるか求めよ．
(2)これら$6$枚のカードを$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$組に分ける方法は全部で何通りあるか求めよ．ただし，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$いずれの組も少なくとも$1$枚のカードを含む．
(3)これら$6$枚のカードを$2$組に分ける方法は全部で何通りあるか求めよ．ただし，いずれの組も少なくとも$1$枚のカードを含む．
(4)これら$6$枚のカードが箱に入っている．この箱の中から$2$枚のカードを一度に無作為に取り出す．大きい方の数字が$4$以下で，小さい方の数字が$2$以上である確率を求めよ．
(5)これら$6$枚のカードを無作為に横一列に並べるとき，$1$が$0$の隣にならない確率を求めよ．

$n$を自然数，$m$を$2n$以下の自然数とする．$1$から$n$までの自然数が$1$つずつ記されたカードが，それぞれの数に対して$2$枚ずつ，合計$2n$枚ある．この中から，$m$枚のカードを無作為に選んだとき，それらに記された数がすべて異なる確率を$P_n(m)$と表す．ただし$P_n(1)=1$とする．さらに，
\[ E_n(m)=mP_n(m) \]
とおく．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)$P_3(2),\ P_3(3),\ P_3(4)$を求めよ．
(2)$E_{10}(m)$が最大となるような$m$を求めよ．
(3)自然数$n$に対し，
\[ E_n(m)>E_n(m+1) \]
を満たす自然数$m$の最小値を$f(n)$とするとき，$f(n)$を$n$を用いて表せ．ただし，ガウス記号$[ \quad ]$を用いてよい．ここで，実数$x$に対して，$x$を超えない最大の整数を$[x]$と表す．

$n$を自然数，$m$を$2n$以下の自然数とする．$1$から$n$までの自然数が$1$つずつ記されたカードが，それぞれの数に対して$2$枚ずつ，合計$2n$枚ある．この中から，$m$枚のカードを無作為に選んだとき，それらに記された数がすべて異なる確率を$P_n(m)$と表す．ただし$P_n(1)=1$とする．さらに，
\[ E_n(m)=mP_n(m) \]
とおく．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)$P_3(2),\ P_3(3),\ P_3(4)$を求めよ．
(2)$E_{10}(3),\ E_{10}(4),\ E_{10}(5)$の中で最大のものはどれか．
(3)自然数$n$に対し，
\[ E_n(m)>E_n(m+1) \]
を満たす自然数$m$の最小値を$f(n)$とするとき，$f(n)$を$n$を用いて表せ．ただし，ガウス記号$[ \quad ]$を用いてよい．ここで，実数$x$に対して，$x$を超えない最大の整数を$[x]$と表す．

$1$から$7$までの番号を$1$つずつ書いた$7$枚のカードが袋の中に入っている．無作為に同時に$3$枚のカードを取り出し，その番号を$x,\ y,\ z$（ただし$x<y<z$）とおく．

(1)$3$つの番号の積$xyz$が$5$の倍数になる確率を求めよ．
(2)$3$つの番号の積$xyz$が奇数になる確率を求めよ．
(3)$x=3$となる確率を求めよ．
(4)$z \geqq 5$となる確率を求めよ．

次の設問に答えよ．

(1)$|3-x|<9$を解きなさい．
(2)周の長さが$20 \, \mathrm{cm}$の長方形の面積が$16 \, \mathrm{cm}^2$より小さくなるときの$1$辺の長さの範囲を求めよ．
(3)フルマラソン（$42.195 \, \mathrm{km}$）を$4$時間$10$分で完走した場合，分速は何$\mathrm{m}$か求めよ．
(4)$0$～$5$までの数字が書かれたカードを$3$枚引いて$3$桁の整数を作りたい．整数はいくつできるか求めよ．ただし，カードは$1$枚ずつ$3$回引いて，一度引いたらもとに戻さない．

次の設問に答えよ．

(1)数字$1$～$5$を書いたカードが$1$枚ずつある．この中から$3$枚取って並べ，$3$ケタの整数を作るとき，整数はいくつできるか．
(2)男子$5$人，女子$4$人の中から$3$人の代表を選ぶとき，少なくとも女子$1$人を含む選び方は何通りあるか．
(3)学生$60$人のうち女子が$25 \, \%$である．女子が$30 \, \%$になるためには，男子を何人減らすべきか．
(4)$100$人が$100$個のパンを食べるが，大人は$1$人$3$個，子供は$3$人$1$個であった．大人，子供はそれぞれ何人か．