$1$から$6$までの番号を$1$つずつ書いた$6$枚のカードがある．この$6$枚のカードを並べてできる$6$桁の自然数について次の問いに答えよ．

(1)番号$1$または番号$6$のカードがいずれも端になく，この$2$枚のカードが隣り合う並べ方は$[　]$通りある．
(2)$6$桁の自然数を小さい順に並べたとき，$315$番目の$6$桁の自然数は$[　]$である．

$1$から$9$の数字がそれぞれ書かれた$9$枚のカードから，$\mathrm{A}$グループとして$3$枚，$\mathrm{B}$グループとして$4$枚のカードを選ぶ．次の問いに答えよ．

(1)このような選び方は何通りあるか．
(2)$\mathrm{A}$グループの数字がすべて$4$以下になる確率を求めよ．
(3)$\mathrm{A}$グループの最大数が$\mathrm{B}$グループの最小数より小さい場合の得点を$\mathrm{A}$グループの数字の和とし，そうでない場合は得点を$0$とする．得点の期待値を求めよ．

AとBの二人が，$1,\ 2,\ 3,\ 4$の番号が1つずつ書かれた4枚のカードをそれぞれ持っているとする．お互いが自分のカードのうちから1枚を選んで同時に出す．次に，手元に残された3枚からまた1枚を選んで同時に出す．これをお互いの手持ちのカードがなくなるまでくり返す．この4回の試行について，次の問いに答えよ．

(1)4回の試行のすべてで，AとBが出したカードの番号が一致する確率を求めよ．
(2)4回の試行のうちちょうど2回で，AとBが出したカードの番号が一致する確率を求めよ．
(3)4回の試行のうちちょうど1回で，AとBが出したカードの番号が一致する確率を求めよ．
(4)4回の試行で，AとBが出したカードの番号が1回も一致しない確率を求めよ．

$52$枚の$1$組のトランプがあるとき，次の確率を求めなさい．ただし，確率は分数で表しなさい．また，トランプにはスペード，ハート，ダイヤ，クラブ（クローバー）の$4$種類のカードがある．

(1)$1$組のトランプから$2$枚のカードをでたらめに引いたとき，$2$枚とも$\mathrm{A}$（エース）である確率
(2)$1$組のトランプから$4$枚のカードをでたらめに引いたとき，$4$枚とも異なった種類のカードである確率