数字1が書かれたカードが1枚，数字2が書かれたカードが2枚，数字3が書かれたカードが1枚の合計4枚のカードがある．この4枚のカードを母集団とし，カードに書かれている数字を変量とする．このとき，次の各問いに答えよ．ただし，母集団の中から標本を抽出するのに，毎回もとに戻してから次のものを1個ずつ取り出すことを復元抽出といい，取り出したものをもとに戻さずに続けて抽出することを非復元抽出という．

(1)母平均$m$と母標準偏差$\sigma$を求めよ．
(2)この母集団から，非復元抽出によって，大きさ2の無作為標本を抽出し，そのカードの数字を取り出した順に$Y_1$，$Y_2$とする．標本平均$\displaystyle \overline{Y}=\frac{Y_1+Y_2}{2}$の確率分布，期待値$E(\overline{Y})$，標準偏差$\sigma(\overline{Y})$を求めよ．
(3)この母集団から，復元抽出によって，大きさ200の無作為標本を抽出し，その標本平均を$\overline{X}$とする．このとき，標本平均$\overline{X}$が近似的に正規分布に従うとみなすことができるとして，$P(\overline{X}<a)=0.05$を満たす定数$a$を求めよ．ただし，確率変数$Z$が標準正規分布$N(0,\ 1)$に従うとき，$P(Z>1.65)=0.05$とする．

赤，青，黄$3$組のカードがある．各組は$10$枚ずつで，それぞれ$1$から$10$までの番号がひとつずつ書かれている．次の問いに答えよ．

(1)$30$枚のカードの中からカード$4$枚を取り出すとき，$2$枚だけが同じ番号で残りの$2$枚は相異なる番号である確率を求めよ．
(2)$30$枚のカードの中からカード$k$枚（$4 \leqq k \leqq 10$）を取り出すとき，$2$枚だけが同じ番号で残りの$(k-2)$枚はすべて異なる番号が書かれている確率を$p(k)$とする．

(i) $\displaystyle \frac{p(k+1)}{p(k)} \ (4 \leqq k \leqq 9)$を求めよ．
(ii) $p(k) \ (4 \leqq k \leqq 10)$が最大となる$k$を求めよ．

$n$を$5$以上の自然数とする．箱の中に，$1$から$n$までの自然数を$1$つずつ書いた$n$枚のカードがある．このとき，次の問に答えよ．

(1)箱から$2$枚のカードを同時に取り出すとき，取り出した$2$枚のカードの数の和が$6$である確率を$n$で表せ．
(2)箱から$3$枚のカードを同時に取り出すとき，取り出した$3$枚のカードの数の最大値を$M$とする．このとき，$M \leqq 5$である確率を$n$で表せ．
(3)最大値$M$の期待値を$n$で表せ．

数字$k (k=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5)$が記入されたカードがそれぞれ$k$枚あり，さらに，数字$0$が記入されたカードが$1$枚，合計$16$枚のカードがある．この中から$2$枚のカードを同時に取り出し，$2$枚のカードの数が同じ場合は$1$点，異なる場合は大きい方の数の点を得る．ただし，$0$を含む場合は大きい方の数の$2$倍の点を得る．このとき，次の各問に答えよ．

(1)得点が$1$点となる場合は何通りあるか．
(2)得点が$4$点以上となる確率を求めよ．
(3)得点が偶数となる確率を求めよ．

一つの箱の中に$+1,\ 0,\ -1$と数が書かれたカードがそれぞれ$3$枚，$2$枚，$1$枚の計$6$枚入っていて，その箱から$3$枚のカードを同時に取り出す．

(1)取り出したカードに書いてある数の和が$0$になる確率を求めよ．
(2)取り出したカードに書いてある数を$a,\ b,\ c$とするとき，$(a-b)(b-c)(c-a)=0$である確率を求めよ．
(3)取り出したカードに書いてある数の和の期待値を求めよ．

次の各問題の$[　]$に適する答えを記入せよ．

(1)$x^3+ax^2+bx+1$を$x-1$で割ると余りは$4$であり，$2x-1$で割ると余りは$\displaystyle \frac{3}{2}$である．このとき$(a,\ b)=[ア]$である．
(2)$1$の数字が書かれたカード$1$枚，$2$の数字が書かれたカード$2$枚，$3$の数字が書かれたカード$2$枚の計$5$枚のカードを並べてできる$5$けたの数字の中で，$23000$より大きいものは$[イ]$個ある．
(3)関数$\displaystyle y=\sqrt{2} \sin \left( x+\frac{\pi}{4} \right)-\sin 2x$の最大値は$[ウ]$である．

$1$から$9$までの数字を$1$つずつ書いた$9$枚のカードが袋の中に入っている．この中から$3$枚のカードを同時に取り出したとき，

(1)$1$枚が$2$以下で，$2$枚が$7$以上となる確率は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コサ]}$である．
(2)最小の数が$2$以下で，最大の数が$7$以上となる確率は$\displaystyle \frac{[シス]}{[セソ]}$である．
(3)最大の数が$7$となる確率は$\displaystyle \frac{[タ]}{[チツ]}$である．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)一般項が$a_n=2n+1$で与えられる数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$S_{10}=[ア]$であり，$S_n=9999$となるのは$n=[イ]$のときである．
(2)$A=\left( \begin{array}{rr}
1 & -3 \\
-2 & 3
\end{array} \right),\ E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$のとき，$A^2-4A=[ウ]$であり，$A^3-5A^2+A-E=[エ]$である．
(3)複素数$\alpha,\ \beta$が$\alpha^3+\beta^3=-2$，$\alpha\beta=1$を満たすとき，$\alpha+\beta=[オ]$であり，$\alpha^2+\beta^2=[カ]$である．
(4)関数$\displaystyle y=|\cos x|+2 \sin \frac{x}{2}$を考える．$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，$y$のとりうる値の範囲は$[キ]$である．$\displaystyle \frac{\pi}{2}<x \leqq \pi$のとき，$y$のとりうる値の範囲は$[ク]$である．
(5)$1$と書かれたカード，$2$と書かれたカード，$3$と書かれたカードがそれぞれ$1$枚ずつ入った袋がある．この袋からでたらめにカードを$1$枚取り出して，書かれた数字の数だけコインをもらい，カードを袋に戻すという試行を繰り返すゲームを行う．ゲームが終了するのは，試行を$2$回繰り返した後にそれまでにもらったコインの枚数の合計がちょうど$4$枚になったとき，または，そうならずに試行を$3$回繰り返したときのいずれかである．このゲームが終了したときに，それまでにもらったコインの枚数の合計が$4$枚である確率は$[ケ]$であり，$6$枚以上である確率は$[コ]$である．

$1$から$120$までの数字が書かれたカード$120$枚から任意に$1$枚取り出すとき，次の問いに答えなさい．

(1)取り出したカードの数字が$2$でも$3$でも割り切れる確率を求めなさい．
(2)取り出したカードの数字が$3$で割り切れるが，$2$で割り切れない確率を求めなさい．
(3)取り出したカードの数字が$2$でも$3$でも割り切れない確率を求めなさい．

$1$から$3$の番号が$1$つずつ書かれた$3$種類のカードが，書かれた番号と同じ枚数だけ箱に入っている．この箱からカードを引きその番号を得点とする．このとき，次の設問に答えよ．

(1)カードを$1$枚引くときの得点の期待値を求めよ．
(2)カードを$2$枚同時に引くときの得点の合計の期待値を求めよ．