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国立 東京工業大学 2010年 第3問1から$n$までの数字がもれなく一つずつ書かれた$n$枚のカードの束から同時に2枚のカードを引く．このとき，引いたカードの数字のうち小さいほうが3の倍数である確率を$p(n)$とする．
(1)$p(8)$を求めよ．
(2)正の整数$k$に対し，$p(3k +2)$を$k$で表せ．
(1)$p(8)$を求めよ．
(2)正の整数$k$に対し，$p(3k +2)$を$k$で表せ．
国立 岐阜大学 2010年 第2問$n$を3以上の整数とする．1から$n$までの番号を1つずつ重複せずに書いた$n$枚のカードが箱に入っている．この箱から3枚のカードを同時に取り出し，取り出したカードの番号を小さい順に$a,\ b,\ c$とする．$b-a=c-b$が成り立つ確率を$p_n$とする．以下の問に答えよ．
(1)$p_5$を求めよ．
(2)$p_6$を求めよ．
(3)$n$が奇数のとき，$p_n$を求めよ．
(4)$n$が偶数のとき，$p_n$を求めよ．
(1)$p_5$を求めよ．
(2)$p_6$を求めよ．
(3)$n$が奇数のとき，$p_n$を求めよ．
(4)$n$が偶数のとき，$p_n$を求めよ．
国立 岐阜大学 2010年 第2問$n$を3以上の整数とする．1から$n$までの番号を1つずつ重複せずに書いた$n$枚のカードが箱に入っている．この箱から3枚のカードを同時に取り出し，取り出したカードの番号を小さい順に$a,\ b,\ c$とする．$b-a=c-b$が成り立つ確率を$p_n$とする．以下の問に答えよ．
(1)$p_5$を求めよ．
(2)$p_6$を求めよ．
(3)$n$が奇数のとき，$p_n$を求めよ．
(4)$n$が偶数のとき，$p_n$を求めよ．
(1)$p_5$を求めよ．
(2)$p_6$を求めよ．
(3)$n$が奇数のとき，$p_n$を求めよ．
(4)$n$が偶数のとき，$p_n$を求めよ．
国立 東北大学 2010年 第3問$1,\ 2,\ 3,\ 4$の数字が$1$つずつ書かれた$4$枚のカードを用いて，次の手順で$5$桁の整数をつくる．まず$1$枚を取り出して現れた数字を$1$の位とする．取り出した$1$枚を元に戻し，$4$枚のカードをよく混ぜて，再び$1$枚を取り出して現れた数字を$10$の位とする．このような操作を$5$回繰り返して，$5$桁の整数をつくる．得られた整数を$X$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$X$に数字$1$がちょうど$2$回現れる確率を求めよ．
(2)$X$に数字$1$と数字$2$がちょうど$1$回ずつ現れる確率を求めよ．
(3)$X$にちょうど$2$回現れる数字が$1$種類以上ある確率を求めよ．
(1)$X$に数字$1$がちょうど$2$回現れる確率を求めよ．
(2)$X$に数字$1$と数字$2$がちょうど$1$回ずつ現れる確率を求めよ．
(3)$X$にちょうど$2$回現れる数字が$1$種類以上ある確率を求めよ．
国立 徳島大学 2010年 第3問10枚のカードに0から9までの数字が1つずつ記入してある．この中から1枚のカードを取り出し，その数字を記録してもとに戻す．この試行を4回繰り返すとき，記録された4つの数字について次の問いに答えよ．
(1)1種類の数字からなる確率，すなわち4つの数字がすべて同じになる確率を求めよ．
(2)2種類の数字からなる確率を求めよ．
(3)3種類の数字からなる確率を求めよ．
(1)1種類の数字からなる確率，すなわち4つの数字がすべて同じになる確率を求めよ．
(2)2種類の数字からなる確率を求めよ．
(3)3種類の数字からなる確率を求めよ．
国立 愛媛大学 2010年 第4問$4$の数字が書かれたカードが$1$枚，$3$の数字が書かれたカードが$1$枚，$2$の数字が書かれたカードが$2$枚，$1$の数字が書かれたカードが$2$枚，$0$の数字が書かれたカードが$4$枚ある．これら$10$枚のカードをよくまぜて，左から右に一列に並べる．
(1)左から$4$番目までの$4$枚のカードに書かれた数がすべて$0$となる確率を求めよ．
(2)右から$1$番目のカードに書かれた数の期待値を求めよ．
(3)左から$3$番目までの$3$枚のカードに書かれた$3$つの数について，次の条件$①,\ ②$を考える．
\mon[$①$] $3$つの数がすべて異なる．
\mon[$②$] $3$つの数の中で，左から$1$番目のカードに書かれた数$a$が最大である．
条件$①,\ ②$の両方が同時にみたされた場合の得点を$a$とし，それ以外の場合の得点を$0$とする．
(i) 得点が$4$となる確率を求めよ．
(ii) 得点の期待値を求めよ．
(1)左から$4$番目までの$4$枚のカードに書かれた数がすべて$0$となる確率を求めよ．
(2)右から$1$番目のカードに書かれた数の期待値を求めよ．
(3)左から$3$番目までの$3$枚のカードに書かれた$3$つの数について，次の条件$①,\ ②$を考える．
\mon[$①$] $3$つの数がすべて異なる．
\mon[$②$] $3$つの数の中で，左から$1$番目のカードに書かれた数$a$が最大である．
条件$①,\ ②$の両方が同時にみたされた場合の得点を$a$とし，それ以外の場合の得点を$0$とする．
(i) 得点が$4$となる確率を求めよ．
(ii) 得点の期待値を求めよ．
国立 山口大学 2010年 第4問$2$人の生徒$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が先生$1$人を交えて次のようなゲームを行う．
{\bf ゲーム}：$1$から$5$までの番号が$1$枚に$1$つずつ書かれた$5$枚のカードの中から先生が生徒に$2$枚ずつカードを配る．残った$1$枚は先生が持つ．各生徒の勝敗は配られた$2$枚のカードの番号と先生が持つカードの番号の大小で決まる．$2$枚とも大きければ生徒の勝ち．$1$枚が大きく$1$枚が小さければ引き分け．$2$枚とも小さければその生徒の負けとなる．
例えば，$\mathrm{A}$に$3$と$4$のカードが配られ，$\mathrm{B}$に$1$と$5$のカードが配られたとき，先生のカードは$2$なので，$\mathrm{A}$は勝ち，$\mathrm{B}$は引き分けとなる．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)生徒$2$人がともに勝つ確率を求めなさい．
(2)生徒$2$人がともに引き分けとなる確率を求めなさい．
(3)生徒$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めなさい．
(4)生徒$2$人のうち，少なくとも$1$人が勝つ確率を求めなさい．
(5)生徒$2$人のうち，少なくとも$1$人が引き分けとなる確率を求めなさい．
{\bf ゲーム}：$1$から$5$までの番号が$1$枚に$1$つずつ書かれた$5$枚のカードの中から先生が生徒に$2$枚ずつカードを配る．残った$1$枚は先生が持つ．各生徒の勝敗は配られた$2$枚のカードの番号と先生が持つカードの番号の大小で決まる．$2$枚とも大きければ生徒の勝ち．$1$枚が大きく$1$枚が小さければ引き分け．$2$枚とも小さければその生徒の負けとなる．
例えば，$\mathrm{A}$に$3$と$4$のカードが配られ，$\mathrm{B}$に$1$と$5$のカードが配られたとき，先生のカードは$2$なので，$\mathrm{A}$は勝ち，$\mathrm{B}$は引き分けとなる．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)生徒$2$人がともに勝つ確率を求めなさい．
(2)生徒$2$人がともに引き分けとなる確率を求めなさい．
(3)生徒$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めなさい．
(4)生徒$2$人のうち，少なくとも$1$人が勝つ確率を求めなさい．
(5)生徒$2$人のうち，少なくとも$1$人が引き分けとなる確率を求めなさい．
国立 山口大学 2010年 第4問$2$人の生徒$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が先生$1$人を交えて次のようなゲームを行う．
{\bf ゲーム}：$1$から$5$までの番号が$1$枚に$1$つずつ書かれた$5$枚のカードの中から先生が生徒に$2$枚ずつカードを配る．残った$1$枚は先生が持つ．各生徒の勝敗は配られた$2$枚のカードの番号と先生が持つカードの番号の大小で決まる．$2$枚とも大きければ生徒の勝ち．$1$枚が大きく$1$枚が小さければ引き分け．$2$枚とも小さければその生徒の負けとなる．
例えば，$\mathrm{A}$に$3$と$4$のカードが配られ，$\mathrm{B}$に$1$と$5$のカードが配られたとき，先生のカードは$2$なので，$\mathrm{A}$は勝ち，$\mathrm{B}$は引き分けとなる．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)生徒$2$人がともに勝つ確率を求めなさい．
(2)生徒$2$人がともに引き分けとなる確率を求めなさい．
(3)生徒$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めなさい．
{\bf ゲーム}：$1$から$5$までの番号が$1$枚に$1$つずつ書かれた$5$枚のカードの中から先生が生徒に$2$枚ずつカードを配る．残った$1$枚は先生が持つ．各生徒の勝敗は配られた$2$枚のカードの番号と先生が持つカードの番号の大小で決まる．$2$枚とも大きければ生徒の勝ち．$1$枚が大きく$1$枚が小さければ引き分け．$2$枚とも小さければその生徒の負けとなる．
例えば，$\mathrm{A}$に$3$と$4$のカードが配られ，$\mathrm{B}$に$1$と$5$のカードが配られたとき，先生のカードは$2$なので，$\mathrm{A}$は勝ち，$\mathrm{B}$は引き分けとなる．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)生徒$2$人がともに勝つ確率を求めなさい．
(2)生徒$2$人がともに引き分けとなる確率を求めなさい．
(3)生徒$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めなさい．
国立 山形大学 2010年 第1問$k$を定数とする．$2$次関数$\displaystyle y=2x^2+kx-\frac{k}{2} \ \cdots\cdots①$について，次の問に答えよ．
(1)グラフの頂点の座標を$k$を用いて表せ．
(2)$k$を動かすとき，頂点の軌跡を求めよ．
(3)箱の中に$1$から$12$までの数字が$1$つずつ書かれた$12$枚のカードが入っている．その中から$3$枚のカードを同時に取り出す．このとき，次の$(ⅰ),\ (ⅱ)$に答えよ．
(i) $2$けたの数字が書かれたカードの枚数が$0$，$1$，$2$，$3$となる確率をそれぞれ求めよ．
(ii) $2$けたの数字が書かれたカードの枚数を$k$とするとき，$2$次関数$①$の最小値が$-1$以下になる確率を求めよ．
(1)グラフの頂点の座標を$k$を用いて表せ．
(2)$k$を動かすとき，頂点の軌跡を求めよ．
(3)箱の中に$1$から$12$までの数字が$1$つずつ書かれた$12$枚のカードが入っている．その中から$3$枚のカードを同時に取り出す．このとき，次の$(ⅰ),\ (ⅱ)$に答えよ．
(i) $2$けたの数字が書かれたカードの枚数が$0$，$1$，$2$，$3$となる確率をそれぞれ求めよ．
(ii) $2$けたの数字が書かれたカードの枚数を$k$とするとき，$2$次関数$①$の最小値が$-1$以下になる確率を求めよ．
国立 防衛医科大学校 2010年 第1問$1$から$n$までの数字が$1$つずつ書かれた合計$n$枚のカードからランダムに$1$枚取り出して，書かれた数字を記録し，カードを元に戻す．この操作を$k$回繰り返したとき，記録された$k$個の数字の最大値を$X$とする(例えば$k=3$の場合で，記録された数字が$(5,\ 1,\ 2)$，$(3,\ 5,\ 5)$あるいは$(5,\ 5,\ 5)$のとき，$X=5$となる)．このとき，以下の問に答えよ．
(1)$n=4,\ k=3$とすると，$P(X=2)$はいくらになるか．
(2)$n=4,\ k=3$としたときの$X$の期待値を求めよ．
(3)$k=3$としたときの$X$の期待値を，$n$を用いて表せ．
(4)$\mathrm{A}$君は$k=1$として上の試行を行い，値$X_A$を得るものとする．$\mathrm{B}$君は$k=a \ $($a$は1以上の整数)として上の試行を行い，値$X_B$を得るものとする．このとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P(X_A \geqq X_B)$を求めよ．
(1)$n=4,\ k=3$とすると，$P(X=2)$はいくらになるか．
(2)$n=4,\ k=3$としたときの$X$の期待値を求めよ．
(3)$k=3$としたときの$X$の期待値を，$n$を用いて表せ．
(4)$\mathrm{A}$君は$k=1$として上の試行を行い，値$X_A$を得るものとする．$\mathrm{B}$君は$k=a \ $($a$は1以上の整数)として上の試行を行い，値$X_B$を得るものとする．このとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P(X_A \geqq X_B)$を求めよ．