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国立 宮崎大学 2011年 第3問100点と書かれたカード，50点と書かれたカード，10点と書かれたカードがそれぞれ2枚ずつ入った1つの袋の中から1枚ずつカードを取り出す．取り出したカードは袋の中にもどさないものとする．10点のカードが初めて取り出されたとき，このカードも含めて取り出されたカードの合計枚数を$k$とする．この$k$枚のカードの合計点を$S$とする．ただし，どのカードも取り出される確率は等しいものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$k=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$となるときの確率をそれぞれ求めよ．
(2)$S$の期待値を求めよ．
(1)$k=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$となるときの確率をそれぞれ求めよ．
(2)$S$の期待値を求めよ．
国立 宮崎大学 2011年 第3問100点と書かれたカード，50点と書かれたカード，10点と書かれたカードがそれぞれ2枚ずつ入った1つの袋の中から1枚ずつカードを取り出す．取り出したカードは袋の中にもどさないものとする．10点のカードが初めて取り出されたとき，このカードも含めて取り出されたカードの合計枚数を$k$とする．この$k$枚のカードの合計点を$S$とする．ただし，どのカードも取り出される確率は等しいものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$k=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$となるときの確率をそれぞれ求めよ．
(2)$S$の期待値を求めよ．
(1)$k=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$となるときの確率をそれぞれ求めよ．
(2)$S$の期待値を求めよ．
国立 山口大学 2011年 第3問1から6までの数字が1つずつ書かれた6枚のカードがある．6枚のカードの中から3枚を取り出し，左から一列に並べる．並べたカードの数字を左から順に百の位，十の位，一の位とする3桁の整数を$M$とし，また右から順に百の位，十の位，一の位とする3桁の整数を$N$とする．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)$M+N$が3の倍数となるカードの並べ方の総数を求めなさい．
(2)$|M-N|<200$を満たすカードの並べ方の総数を求めなさい．
(1)$M+N$が3の倍数となるカードの並べ方の総数を求めなさい．
(2)$|M-N|<200$を満たすカードの並べ方の総数を求めなさい．
国立 長岡技術科学大学 2011年 第4問$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$種類のカードがある．$\mathrm{A}$を$2$枚，$\mathrm{B}$を$3$枚それぞれ積み重ね，$3$人の人が順番に$1$枚のカードを次のように持ち帰ることにする．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$両方のカードが残っているときは$\mathrm{A}$か$\mathrm{B}$かを確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で選んで$1$枚持ち帰る．また，どちらか一方のカードしか残っていないときはそれを$1$枚持ち帰る．このようにすると最後に$2$枚のカードが残る．これについて次の問いに答えなさい．
(1)$\mathrm{A}$のカードが$2$枚残る確率を求めなさい．
(2)$\mathrm{B}$のカードが$2$枚残る確率を求めなさい．
(3)$\mathrm{B}$のカードが$2$枚残ったとき，$1$番目の人が$\mathrm{B}$のカードを持ち帰った条件付き確率を求めなさい．
(1)$\mathrm{A}$のカードが$2$枚残る確率を求めなさい．
(2)$\mathrm{B}$のカードが$2$枚残る確率を求めなさい．
(3)$\mathrm{B}$のカードが$2$枚残ったとき，$1$番目の人が$\mathrm{B}$のカードを持ち帰った条件付き確率を求めなさい．
国立 宮城教育大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \tan \alpha=a,\ \tan \beta=b \ \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2} \right)$のとき，$\cos (2 \alpha+\beta)$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)1から9までの異なる整数が1つずつ書かれている9枚のカードがある．この中から4枚のカードを同時に取り出すとき，その4つの整数の和が奇数になる確率を求めよ．
(1)$\displaystyle \tan \alpha=a,\ \tan \beta=b \ \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2} \right)$のとき，$\cos (2 \alpha+\beta)$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)1から9までの異なる整数が1つずつ書かれている9枚のカードがある．この中から4枚のカードを同時に取り出すとき，その4つの整数の和が奇数になる確率を求めよ．
私立 明治大学 2011年 第1問次の各設問の$[1]$から$[8]$までの空欄と$[ ]$に適当な答えを入れよ．
(1)箱の中に，$1$と書かれたカードが$4$枚．$2$と書かれたカードが$3$枚，$3$と書かれたカードが$2$枚，$4$と書かれたカードが$1$枚ある．箱から同時に$3$枚のカードを取り出すとき，以下の問いに答えよ．
(i) $1$と書かれたカードが少なくとも$1$枚含まれる確率は$[1]$である．
(ii) $3$枚のカードに書かれた数字の和が$5$となる確率は$[2]$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において次が成り立つとき，以下の問いに答えよ．
\[ \sin A:\sin B:\sin C = 13:8:7 \]
(i) $\cos A=[3]$である．
(ii) $\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の直径が$13$であるとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[ ]$である．ただし，分母を有理化して答えよ．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とする．実数$s,\ t$が次の条件を満たすとき．点$\mathrm{P}$が動く部分の面積を求めよ．ただし，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$1$とする．
(i) $\displaystyle \frac{1}{2} \leqq s+t \leqq 1,\ 0 \leqq s,\ 0 \leqq t$のとき$[4]$．
(ii) $t \leqq s,\ s \leqq 3,\ 0 \leqq t$のとき$[5]$．
(4)$\displaystyle 81^{-x}-\frac{1}{2}\cdot 3^{-2x+2}+2=0$を満たす最大の$x$は$\log_9 [6]$である．
(5)ある星$\mathrm{O}$を中心として同一方向に円軌道を描きながら回っている星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$がある．ただし，星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$の円軌道は同一平面上にあると仮定する．星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{O}$との距離は$0.9$億$\mathrm{km}$で，星$\mathrm{B}$と星$\mathrm{O}$との距離は$1.5$億$\mathrm{km}$である．星$\mathrm{A}$は星$\mathrm{O}$の周りを一周するのに$240$日かかり，星$\mathrm{B}$は$360$日かかる．現在，星$\mathrm{A}$が星$\mathrm{B}$より回転方向に$90^{\circ}$進んだ位置にあるとするとき，星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$との距離が最初に最大になるのは，今から$[7]$日後である．また，$60$日後の星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$との距離は$[8]$億$\mathrm{km}$である．
(1)箱の中に，$1$と書かれたカードが$4$枚．$2$と書かれたカードが$3$枚，$3$と書かれたカードが$2$枚，$4$と書かれたカードが$1$枚ある．箱から同時に$3$枚のカードを取り出すとき，以下の問いに答えよ．
(i) $1$と書かれたカードが少なくとも$1$枚含まれる確率は$[1]$である．
(ii) $3$枚のカードに書かれた数字の和が$5$となる確率は$[2]$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において次が成り立つとき，以下の問いに答えよ．
\[ \sin A:\sin B:\sin C = 13:8:7 \]
(i) $\cos A=[3]$である．
(ii) $\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の直径が$13$であるとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[ ]$である．ただし，分母を有理化して答えよ．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とする．実数$s,\ t$が次の条件を満たすとき．点$\mathrm{P}$が動く部分の面積を求めよ．ただし，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$1$とする．
(i) $\displaystyle \frac{1}{2} \leqq s+t \leqq 1,\ 0 \leqq s,\ 0 \leqq t$のとき$[4]$．
(ii) $t \leqq s,\ s \leqq 3,\ 0 \leqq t$のとき$[5]$．
(4)$\displaystyle 81^{-x}-\frac{1}{2}\cdot 3^{-2x+2}+2=0$を満たす最大の$x$は$\log_9 [6]$である．
(5)ある星$\mathrm{O}$を中心として同一方向に円軌道を描きながら回っている星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$がある．ただし，星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$の円軌道は同一平面上にあると仮定する．星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{O}$との距離は$0.9$億$\mathrm{km}$で，星$\mathrm{B}$と星$\mathrm{O}$との距離は$1.5$億$\mathrm{km}$である．星$\mathrm{A}$は星$\mathrm{O}$の周りを一周するのに$240$日かかり，星$\mathrm{B}$は$360$日かかる．現在，星$\mathrm{A}$が星$\mathrm{B}$より回転方向に$90^{\circ}$進んだ位置にあるとするとき，星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$との距離が最初に最大になるのは，今から$[7]$日後である．また，$60$日後の星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$との距離は$[8]$億$\mathrm{km}$である．
私立 明治大学 2011年 第1問次の各問の$[ ]$に数値を入れよ．
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots$を初項が$-15$，公差が整数$d$の等差数列とする．このとき$a_4<0<a_5$ならば，$d=[1]$となり，
\[ \sum_{n=1}^5 (-1)^{n-1}na_n=[2] \]
である．
(2)$1$から$4$までの数字が，$1$つずつ書いてある$4$枚のカードがある．この中から同時に$2$枚を取り出し，大きい方の数字を$a$とし，小さい方の数字を$b$とするとき，$2a-b$を得点とする．このとき，得点の期待値は，$[3]$であり，得点が$[3]$未満となる確率は，$[4]$である．
(3)$0 \leqq x \leqq \pi$かつ$\displaystyle x \neq \frac{\pi}{2}$を満たす$x$について，
\[ 1-\tan^2 x=3 \cos (\pi-x)+\frac{2}{\cos (\pi-x)} \]
を満たすとき，
\[ \cos x=[5],\quad \sin x=[6] \]
である．
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots$を初項が$-15$，公差が整数$d$の等差数列とする．このとき$a_4<0<a_5$ならば，$d=[1]$となり，
\[ \sum_{n=1}^5 (-1)^{n-1}na_n=[2] \]
である．
(2)$1$から$4$までの数字が，$1$つずつ書いてある$4$枚のカードがある．この中から同時に$2$枚を取り出し，大きい方の数字を$a$とし，小さい方の数字を$b$とするとき，$2a-b$を得点とする．このとき，得点の期待値は，$[3]$であり，得点が$[3]$未満となる確率は，$[4]$である．
(3)$0 \leqq x \leqq \pi$かつ$\displaystyle x \neq \frac{\pi}{2}$を満たす$x$について，
\[ 1-\tan^2 x=3 \cos (\pi-x)+\frac{2}{\cos (\pi-x)} \]
を満たすとき，
\[ \cos x=[5],\quad \sin x=[6] \]
である．
私立 甲南大学 2011年 第1問以下の空欄にあてはまる数を入れよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{B}={105}^\circ$，$\angle \mathrm{C}={30}^\circ$，$\mathrm{BC}=6$であるとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[1]$であり，辺$\mathrm{AC}$の長さは$[2]$である．
(2)次の不等式をみたす$x$の値の範囲は，$[3]<x<[4]$である．
\[ \log_2(3x-1)+\log_2(4x+5)<\log_4(7x-1)^2 \]
(3)$3$次方程式$x^3+(2a-1)x^2+(5a+8)x-7a-8=0$は解$x=1$をもつという．この方程式が$3$重解をもつのは，$a=[5]$のときであり，ちょうど$2$つの異なる実数解をもつのは$a=[6]$のときである．
(4)$y=|x^2-4|$のグラフと直線$y=x+k$の共有点の個数が$3$個であるとき，$k$の値は$[7]$または$[8]$である．
(5)$2,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4$の数が$1$つずつ書かれた$7$枚のカードが箱の中に入っており，箱から同時にカードを$3$枚取り出すという試行を行う．取り出したカードに書いてある数の合計を得点とするとき，得点が$8$点の確率は$[9]$である．また，$1$回の試行における得点の期待値は$[10]$である．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{B}={105}^\circ$，$\angle \mathrm{C}={30}^\circ$，$\mathrm{BC}=6$であるとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[1]$であり，辺$\mathrm{AC}$の長さは$[2]$である．
(2)次の不等式をみたす$x$の値の範囲は，$[3]<x<[4]$である．
\[ \log_2(3x-1)+\log_2(4x+5)<\log_4(7x-1)^2 \]
(3)$3$次方程式$x^3+(2a-1)x^2+(5a+8)x-7a-8=0$は解$x=1$をもつという．この方程式が$3$重解をもつのは，$a=[5]$のときであり，ちょうど$2$つの異なる実数解をもつのは$a=[6]$のときである．
(4)$y=|x^2-4|$のグラフと直線$y=x+k$の共有点の個数が$3$個であるとき，$k$の値は$[7]$または$[8]$である．
(5)$2,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4$の数が$1$つずつ書かれた$7$枚のカードが箱の中に入っており，箱から同時にカードを$3$枚取り出すという試行を行う．取り出したカードに書いてある数の合計を得点とするとき，得点が$8$点の確率は$[9]$である．また，$1$回の試行における得点の期待値は$[10]$である．
私立 名城大学 2011年 第1問次の$[ ]$に適切な答えを入れよ．
(1)$x^2-x-1=0$の解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha^2+\beta^2=[ア]$，$\alpha^3+\beta^3=[イ]$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$は$\angle \mathrm{ACB}=90^\circ$の直角三角形である．点$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線を$\mathrm{CD}$とする．$\mathrm{BD}:\mathrm{DA}=2:3$のとき，$\sin \angle \mathrm{CAB}=[ウ]$，$\sin \angle \mathrm{ABC}=[エ]$である．
(3)$1$から$100$までの自然数の番号をつけた$100$枚のカードから$1$枚を取り出すとき，そのカードの番号が$4$の倍数または$5$の倍数である確率は$[オ]$，$3$の倍数または$7$の倍数である確率は$[カ]$である．
(4)$2^n$が$4$桁の数となるような自然数$n$は$[キ]$個であり，$12$桁の数となるような自然数$n$は$[ク]$個である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(1)$x^2-x-1=0$の解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha^2+\beta^2=[ア]$，$\alpha^3+\beta^3=[イ]$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$は$\angle \mathrm{ACB}=90^\circ$の直角三角形である．点$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線を$\mathrm{CD}$とする．$\mathrm{BD}:\mathrm{DA}=2:3$のとき，$\sin \angle \mathrm{CAB}=[ウ]$，$\sin \angle \mathrm{ABC}=[エ]$である．
(3)$1$から$100$までの自然数の番号をつけた$100$枚のカードから$1$枚を取り出すとき，そのカードの番号が$4$の倍数または$5$の倍数である確率は$[オ]$，$3$の倍数または$7$の倍数である確率は$[カ]$である．
(4)$2^n$が$4$桁の数となるような自然数$n$は$[キ]$個であり，$12$桁の数となるような自然数$n$は$[ク]$個である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
私立 名城大学 2011年 第1問次の$[ ]$に適切な答えを入れよ．
(1)$x^2-x-1=0$の解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha^2+\beta^2=[ア]$，$\alpha^3+\beta^3=[イ]$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$は$\angle \mathrm{ACB}=90^\circ$の直角三角形である．点$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線を$\mathrm{CD}$とする．$\mathrm{BD}:\mathrm{DA}=2:3$のとき，$\sin \angle \mathrm{CAB}=[ウ]$，$\sin \angle \mathrm{ABC}=[エ]$である．
(3)$1$から$100$までの自然数の番号をつけた$100$枚のカードから$1$枚を取り出すとき，そのカードの番号が$4$の倍数または$5$の倍数である確率は$[オ]$，$3$の倍数または$7$の倍数である確率は$[カ]$である．
(4)$2^n$が$4$桁の数となるような自然数$n$は$[キ]$個であり，$12$桁の数となるような自然数$n$は$[ク]$個である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(1)$x^2-x-1=0$の解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha^2+\beta^2=[ア]$，$\alpha^3+\beta^3=[イ]$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$は$\angle \mathrm{ACB}=90^\circ$の直角三角形である．点$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線を$\mathrm{CD}$とする．$\mathrm{BD}:\mathrm{DA}=2:3$のとき，$\sin \angle \mathrm{CAB}=[ウ]$，$\sin \angle \mathrm{ABC}=[エ]$である．
(3)$1$から$100$までの自然数の番号をつけた$100$枚のカードから$1$枚を取り出すとき，そのカードの番号が$4$の倍数または$5$の倍数である確率は$[オ]$，$3$の倍数または$7$の倍数である確率は$[カ]$である．
(4)$2^n$が$4$桁の数となるような自然数$n$は$[キ]$個であり，$12$桁の数となるような自然数$n$は$[ク]$個である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．