赤球$2$個，青球$3$個，緑球$1$個が入った白い箱がある．この白い箱から無作為に$1$個の球を取り出し，球の色を確認後，球を白い箱に戻す作業を試行$\mathrm{A}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)試行$\mathrm{A}$を$5$回繰り返すときに，取り出される$5$個の球のうち，$3$個が青球である確率を求めよ．
(2)試行$\mathrm{A}$を$4$回繰り返すときに，少なくとも赤球が$2$個出る確率を求めよ．
次に，赤い箱，青い箱，緑の箱に数字の書かれたカードが$4$枚ずつ入っていて，それぞれの箱のカードに書かれた数字と枚数は次の通りとする．
\begin{itemize}
赤い箱：$1$が$2$枚，$2$が$1$枚，$3$が$1$枚
青い箱：$1$が$1$枚，$2$が$2$枚，$3$が$1$枚
緑の箱：$1$が$2$枚，$2$が$2$枚
\end{itemize}
試行$\mathrm{A}$を$1$回実施し，取り出した球と同じ色の箱から無作為に$1$枚のカードを取り出し，カードに書かれた数字を確認後，カードを元の箱に戻す作業を試行$\mathrm{B}$とする．
(3)試行$\mathrm{B}$を$1$回実施するときに，出る数字の期待値を求めよ．
(4)試行$\mathrm{B}$を$2$回繰り返すときに，出る$2$個の数字の合計が偶数である確率を求めよ．
(5)動点$\mathrm{P}$は数直線上の原点から出発し，奇数回目の試行$\mathrm{B}$で出た数字の分だけ正の方向に動き，偶数回目の試行$\mathrm{B}$で出た数字の分だけ負の方向に動くこととする．試行$\mathrm{B}$を$4$回繰り返したとき，動点$\mathrm{P}$の座標が$3$である確率を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)箱の中に，$1$から$9$までの番号を$1$つずつ書いた$9$枚のカードが入っている．ただし，異なるカードには異なる番号が書かれているものとする．この箱から$2$枚のカードを同時に選び，小さいほうの数を$X$とする．これらのカードを箱に戻して，再び$2$枚のカードを同時に選び，小さいほうの数を$Y$とする．$X=Y$である確率を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}}(x+1)\sqrt{1-2x^2}\, dx$を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)辺$\mathrm{AB}$，辺$\mathrm{BC}$，辺$\mathrm{CA}$の長さがそれぞれ$12$，$11$，$10$の三角形$\mathrm{ABC}$を考える．$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(2)箱の中に，$1$から$9$までの番号を$1$つずつ書いた$9$枚のカードが入っている．ただし，異なるカードには異なる番号が書かれているものとする．この箱から$2$枚のカードを同時に選び，小さいほうの数を$X$とする．これらのカードを箱に戻して，再び$2$枚のカードを同時に選び，小さいほうの数を$Y$とする．$X=Y$である確率を求めよ．

$n$を$3$以上の整数とする．$3n$枚のカードに1から$3n$までの数字が$1$つずつ書かれている．この中から$3$枚のカードを取りだす．ひとたび取りだしたカードは戻さないものとする．

(1)$3$枚のカードの数字がすべて$3$の倍数である確率を求めよ．
(2)$3$枚のカードの数字の和が$3$の倍数である確率を求めよ．
(3)$3$枚のカードの数字の積が$3$の倍数である確率と$3$枚のカードの数字の和が$3$の倍数でない確率とはどちらが大きいかを調べよ．

袋の中に0から4までの数字のうち1つが書かれたカードが1枚ずつ合計5枚入っている．4つの数$0,\ 3,\ 6,\ 9$をマジックナンバーと呼ぶことにする．次のようなルールをもつ，1人で行うゲームを考える．\\
\quad ルール：袋から無作為に 1 枚ずつカードを取り出していく．ただし，一度取
り出したカードは袋に戻さないものとする．取り出したカードの数字の合計がマ
ジックナンバーになったとき，その時点で負けとし，それ以降はカードを取り出
さない．途中で負けとなることなく，すべてのカードを取り出せたとき，勝ちと
する．以下の問に答えよ．

(1)2枚のカードを取り出したところで負けとなる確率を求めよ．
(2)3枚のカードを取り出したところで負けとなる確率を求めよ．
(3)このゲームで勝つ確率を求めよ．

ある袋に10と書かれた2枚のカードと 5と書かれた3枚のカードが入っている．この袋の中をよくかきまぜてから，カードを取り出す．以下の3つの方法で取り出した場合に，それぞれの期待値を求めなさい．

(1)この袋からカードを1枚取り出すとき，カードに書かれた数の期待値．
(2)この袋からカードを2枚取り出すとき，カードに書かれた数の合計の期待値．
(3)最初に，この袋からカードを2枚取り出す．2枚のカードに書かれた数が異なる場合には，次にそのまま続けて3枚目のカードを取り出す．一方，初めに取り出したカードに書かれた数が同じ場合には，そのうちの1枚のカードを袋に戻した後に，3枚目のカードを取り出すことにする．このとき，袋に戻したカードも含
めて，取り出した3枚のカードに書かれていた数の合計の期待値．

$1$から$4$までの数字が$1$つずつ書かれた$4$枚のカードがある．その$4$枚のカードを横一列に並べ，以下の操作を考える．

操作： \ $1$から$4$までの数字が$1$つずつ書かれた$4$個の球が入っている袋から同時に$2$個の球を取り出す．球に書かれた数字が$i$と$j$ならば，$i$のカードと$j$のカードを入れかえる．その後，$2$個の球は袋に戻す．

初めにカードを左から順に$1$，$2$，$3$，$4$と並べ，上の操作を$2$回繰り返した後のカードについて，以下の問いに答えよ．

(1)カードが左から順に$1,\ 2,\ 3,\ 4$と並ぶ確率を求めよ．
(2)カードが左から順に$4,\ 3,\ 2,\ 1$と並ぶ確率を求めよ．
(3)左端のカードの数字が$1$になる確率を求めよ．
(4)左端のカードの数字の期待値を求めよ．

1から4までの番号を1つずつ書いた4枚のカードがある．この中から1枚を抜き取り，番号を記録してもとに戻す．これを$n$回繰り返したとき，記録された$n$個の数の最大公約数を$X$とする．ただし，$n$は2以上の自然数とする．次の問いに答えよ．

(1)$X=3$となる確率と$X=4$となる確率を$n$を用いて表せ．
(2)$X=2$となる確率を$n$を用いて表せ．
(3)$X$の期待値を$n$を用いて表せ．

$1$から$4$までの数字が$1$つずつ書かれた$4$枚のカードがある．その$4$枚のカードを横一列に並べ，以下の操作を考える．

操作：$1$から$4$までの数字が$1$つずつ書かれた$4$個の球が入っている袋から同時に$2$個の球を取り出す．球に書かれた数字が$i$と$j$ならば，$i$のカードと$j$のカードを入れかえる．その後，$2$個の球は袋に戻す．

初めにカードを左から順に$1$，$2$，$3$，$4$と並べ，上の操作を$n$回繰り返した後のカードについて，以下の問いに答えよ．

(1)$n = 2$のとき，カードが左から順に$1$，$2$，$3$，$4$と並ぶ確率を求めよ．
(2)$n = 2$のとき，カードが左から順に$4$，$3$，$2$，$1$と並ぶ確率を求めよ．
(3)$n = 2$のとき，左端のカードの数字が$1$になる確率を求めよ．
(4)$n = 3$のとき，左端のカードの数字の期待値を求めよ．

100点と書かれたカードが4枚，10点と書かれたカードが2枚入った1つの袋の中から1枚ずつカードを取り出す．取り出したカードは袋の中にもどさないものとする．10点のカードが初めて取り出されたとき，このカードも含めて取り出されたカードの合計枚数を$k$とする．この$k$枚のカードの合計点を$S$とする．ただし，どのカードも取り出される確率は等しいものとする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)$k=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$となるときの確率をそれぞれ求めよ．
(2)$S$の期待値を求めよ．