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私立 北海学園大学 2012年 第2問$n$は$2$以上の整数とする．$1$が書かれたカードが$1$枚，$2$が書かれたカードが$1$枚，$\cdots$，$2n+1$が書かれたカードが$1$枚の全部で$2n+1$枚のカードが袋の中に入っている．この袋から$2$枚のカードを同時に取り出すとき，次の問いに答えよ．
(1)取り出した$2$枚のカードに書かれた整数が，両方とも奇数である確率を$n$を用いて表せ．
(2)取り出した$2$枚のカードに書かれた整数の和が，偶数である確率を$n$を用いて表せ．
(3)取り出した$2$枚のカードに書かれた整数の和が，$7$以上の奇数である確率を$n$を用いて表せ．
(1)取り出した$2$枚のカードに書かれた整数が，両方とも奇数である確率を$n$を用いて表せ．
(2)取り出した$2$枚のカードに書かれた整数の和が，偶数である確率を$n$を用いて表せ．
(3)取り出した$2$枚のカードに書かれた整数の和が，$7$以上の奇数である確率を$n$を用いて表せ．
私立 西南学院大学 2012年 第2問袋の中に$4$枚のカードが入っており，それぞれのカードには$1,\ 2,\ 3,\ 4$の数字が書かれている．いま袋から$1$枚カードを取り出しては，そのつど袋に戻すという試行を何回か繰り返す．このとき，最後に取り出したカードに書かれた数が，得点になるものとする．以下の問に答えよ．
(1)試行が一度だけのとき，得点の期待値は$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}$である．
(2)試行を二度行う権利を有するとき（試行を一度でやめても，二度目を行ってもよいとき），得点の期待値を最大にするには，$(1)$の結果より，一度目の数字$x$が$[ケ]$以下のときは二度目を行い，$x$が$[コ]$以上のときは一度でやめればよい．したがって，得点の期待値の最大値は$[サ]$となる．
(1)試行が一度だけのとき，得点の期待値は$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}$である．
(2)試行を二度行う権利を有するとき（試行を一度でやめても，二度目を行ってもよいとき），得点の期待値を最大にするには，$(1)$の結果より，一度目の数字$x$が$[ケ]$以下のときは二度目を行い，$x$が$[コ]$以上のときは一度でやめればよい．したがって，得点の期待値の最大値は$[サ]$となる．
私立 上智大学 2012年 第3問$1$から$9$までの数字が$1$つずつ書かれた$9$枚のカードがある．これらを$3$枚ずつ$3$つのグループに無作為に分け，それぞれのグループから最も大きい数が書かれたカードを取り出す．
(1)取り出された$3$枚のカードの中に$9$が書かれたカードが含まれる確率は$\displaystyle \frac{[ミ]}{[ム]}$である．
(2)取り出された$3$枚のカードの中に$8$が書かれたカードが含まれる確率は$\displaystyle \frac{[メ]}{[モ]}$である．
(3)取り出された$3$枚のカードの中に$3$が書かれたカードが含まれる確率は$\displaystyle \frac{[ヤ]}{[ユ]}$である．
(4)取り出された$3$枚のカードの中に$6$が書かれたカードが含まれる確率は$\displaystyle \frac{[ヨ]}{[ラ]}$である．
(5)取り出された$3$枚のカードに書かれた数の中で，最小の数が$6$である確率は$\displaystyle \frac{[リ]}{[ル]}$である．
(1)取り出された$3$枚のカードの中に$9$が書かれたカードが含まれる確率は$\displaystyle \frac{[ミ]}{[ム]}$である．
(2)取り出された$3$枚のカードの中に$8$が書かれたカードが含まれる確率は$\displaystyle \frac{[メ]}{[モ]}$である．
(3)取り出された$3$枚のカードの中に$3$が書かれたカードが含まれる確率は$\displaystyle \frac{[ヤ]}{[ユ]}$である．
(4)取り出された$3$枚のカードの中に$6$が書かれたカードが含まれる確率は$\displaystyle \frac{[ヨ]}{[ラ]}$である．
(5)取り出された$3$枚のカードに書かれた数の中で，最小の数が$6$である確率は$\displaystyle \frac{[リ]}{[ル]}$である．
私立 津田塾大学 2012年 第1問次の各問に答えよ．
(1)多項式$f(x)$と$g(x)$の間に
$\displaystyle f(x)=2x+\int_0^1 g(t) \, dt$
$\displaystyle g(x)=\int_0^x f(t) \, dt+\int_0^1 f(t) \, dt$
という関係が成り立つとき，$f(x)$と$g(x)$を求めよ．
(2)関数$y=\log (x+\sqrt{x^2+1})$を微分せよ．
(3)$1$から$6$までの番号が$1$つずつ書かれた$6$枚のカードを横一列に並べる．$1$が書かれたカードと$2$が書かれたカードの間に他のカードが$1$枚ある並べ方は何通りあるか．
(1)多項式$f(x)$と$g(x)$の間に
$\displaystyle f(x)=2x+\int_0^1 g(t) \, dt$
$\displaystyle g(x)=\int_0^x f(t) \, dt+\int_0^1 f(t) \, dt$
という関係が成り立つとき，$f(x)$と$g(x)$を求めよ．
(2)関数$y=\log (x+\sqrt{x^2+1})$を微分せよ．
(3)$1$から$6$までの番号が$1$つずつ書かれた$6$枚のカードを横一列に並べる．$1$が書かれたカードと$2$が書かれたカードの間に他のカードが$1$枚ある並べ方は何通りあるか．
私立 中央大学 2012年 第2問$\mathrm{C}$，$\mathrm{H}$，$\mathrm{U}$，$\mathrm{O}$のいずれかの文字が書かれたカードがある．いま，$\mathrm{C}$が$1$枚，$\mathrm{H}$が$2$枚，$\mathrm{U}$が$4$枚，$\mathrm{O}$が$n$枚からなるカードの山をよく切り，山から同時に$3$枚のカードを抜き出す．ただし，$n \geqq 0$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$3$枚とも同じ文字である確率，すべて異なる文字である確率をそれぞれ$n$の式で表せ．
(2)$3$枚とも同じ文字であれば得点を$2$点得，すべて異なる文字であれば得点を$1$点失い，その他の場合は得点に変化がないというゲームがある．このゲームで得る得点の期待値が$0$点以下となるような$n$の値の範囲を求めよ．
(1)$3$枚とも同じ文字である確率，すべて異なる文字である確率をそれぞれ$n$の式で表せ．
(2)$3$枚とも同じ文字であれば得点を$2$点得，すべて異なる文字であれば得点を$1$点失い，その他の場合は得点に変化がないというゲームがある．このゲームで得る得点の期待値が$0$点以下となるような$n$の値の範囲を求めよ．
私立 金沢工業大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$x=\sqrt{7}-\sqrt{3}$，$y=\sqrt{7}+\sqrt{3}$のとき，$\displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}$であり，$\displaystyle \frac{1}{x^3}-\frac{1}{y^3}=\frac{[ウ] \sqrt{[エ]}}{[オ]}$である．
(2)$(9x-5)(2x+3)+10x-41=([カ]x-[キ])([ク]x+[ケ])$である．
(3)連立不等式$\displaystyle \frac{5x-7}{3}-1 \leqq x+2<\frac{4x-3}{2}$の解は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}<x \leqq [シ]$である．
(4)等式$2 |x-1|+x-7=0$を満たす実数$x$の値は$[スセ]$と$[ソ]$である．
(5)男子$4$人，女子$3$人が$1$列に並ぶとき，男女が交互に並ぶ並び方は$[タチツ]$通りである．
(6)$1$から$9$までの整数を$1$つずつ書いたカードが$9$枚ある．この中から同時に$2$枚を取り出したとき，それらの整数の積が偶数である確率は$\displaystyle \frac{[テト]}{[ナニ]}$である．
(7)$0^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ$とする．$\displaystyle \sin \theta=\frac{1}{5}$のとき，
\[ \sin (180^\circ-\theta)+\cos (180^\circ-\theta)+\tan (90^\circ-\theta)=\frac{[ア]+[イ] \sqrt{[ウ]}}{[エ]} \]
である．
(8)$a,\ b$を正の整数の定数とする．$2$次関数$y=2x^2+(a-2)x+3-b$のグラフが$x$軸と接するとき，$a=[オ]$，$b=[カ]$，あるいは$a=[キ]$，$b=[ク]$である．ただし，$[オ]<[キ]$である．
(1)$x=\sqrt{7}-\sqrt{3}$，$y=\sqrt{7}+\sqrt{3}$のとき，$\displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}$であり，$\displaystyle \frac{1}{x^3}-\frac{1}{y^3}=\frac{[ウ] \sqrt{[エ]}}{[オ]}$である．
(2)$(9x-5)(2x+3)+10x-41=([カ]x-[キ])([ク]x+[ケ])$である．
(3)連立不等式$\displaystyle \frac{5x-7}{3}-1 \leqq x+2<\frac{4x-3}{2}$の解は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}<x \leqq [シ]$である．
(4)等式$2 |x-1|+x-7=0$を満たす実数$x$の値は$[スセ]$と$[ソ]$である．
(5)男子$4$人，女子$3$人が$1$列に並ぶとき，男女が交互に並ぶ並び方は$[タチツ]$通りである．
(6)$1$から$9$までの整数を$1$つずつ書いたカードが$9$枚ある．この中から同時に$2$枚を取り出したとき，それらの整数の積が偶数である確率は$\displaystyle \frac{[テト]}{[ナニ]}$である．
(7)$0^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ$とする．$\displaystyle \sin \theta=\frac{1}{5}$のとき，
\[ \sin (180^\circ-\theta)+\cos (180^\circ-\theta)+\tan (90^\circ-\theta)=\frac{[ア]+[イ] \sqrt{[ウ]}}{[エ]} \]
である．
(8)$a,\ b$を正の整数の定数とする．$2$次関数$y=2x^2+(a-2)x+3-b$のグラフが$x$軸と接するとき，$a=[オ]$，$b=[カ]$，あるいは$a=[キ]$，$b=[ク]$である．ただし，$[オ]<[キ]$である．
私立 関西大学 2012年 第3問$1$から$5$までの番号が$1$つずつ書かれた$5$枚の赤色のカードと，$1$から$5$までの番号が$1$つずつ書かれた$5$枚の白色のカードと，$1$から$5$までの番号が$1$つずつ書かれた$5$枚の青色のカードがある．これら$15$枚のカードをよくかきまぜた後，$3$枚のカードを取り出す．次の$[ ]$を数値でうめよ．
(1)$3$枚とも赤色のカードである確率は$[$①$]$である．
(2)赤色，白色，青色のカードが$1$枚ずつある確率は$[$②$]$である．
(3)赤色，白色，青色のカードが$1$枚ずつあり，かつ$3$枚のカードの数字が異なっている確率は$[$③$]$である．
(4)$3$枚のカードの数字の積が$5$の倍数である確率は$[$④$]$である．
(5)$3$枚のカードの数字の積が$9$の倍数である確率は$[$⑤$]$である．
(1)$3$枚とも赤色のカードである確率は$[$①$]$である．
(2)赤色，白色，青色のカードが$1$枚ずつある確率は$[$②$]$である．
(3)赤色，白色，青色のカードが$1$枚ずつあり，かつ$3$枚のカードの数字が異なっている確率は$[$③$]$である．
(4)$3$枚のカードの数字の積が$5$の倍数である確率は$[$④$]$である．
(5)$3$枚のカードの数字の積が$9$の倍数である確率は$[$⑤$]$である．
私立 北星学園大学 2012年 第4問男子チームと女子チームがある．$1$から$8$までの数字が書かれた$8$枚のカードがある．カードを$1$枚引き，その数字が$5$以下であれば男子の勝ち，$5$より大きければ女子の勝ちになるゲームをする．引いたカードを戻さずにこのゲームを$3$回するとき，以下の問に答えよ．
(1)$3$回ともすべて男子の勝ちとなる確率を求めよ．
(2)$3$回のゲームで取り出したカードの数字の小さい順に，$X,\ Y,\ Z$とする．$X=2$のとき，少なくとも$1$回は男子が勝ちとなる場合の数を求めよ．
(3)$3$回のゲームで取り出したカードの数字の小さい順に，$X,\ Y,\ Z$とする．少なくとも$1$回は男子が勝ちとなる場合について$X$の期待値を求めよ．
(1)$3$回ともすべて男子の勝ちとなる確率を求めよ．
(2)$3$回のゲームで取り出したカードの数字の小さい順に，$X,\ Y,\ Z$とする．$X=2$のとき，少なくとも$1$回は男子が勝ちとなる場合の数を求めよ．
(3)$3$回のゲームで取り出したカードの数字の小さい順に，$X,\ Y,\ Z$とする．少なくとも$1$回は男子が勝ちとなる場合について$X$の期待値を求めよ．
私立 杏林大学 2012年 第1問$[カ]$，$[キ]$の解答はそれぞれの解答群の中から最も適当なものを$1$ずつ選べ．
袋の中に，$1$から$13$までの数字が書かれたカードが$1$枚ずつ入っている．この袋から$3$枚のカードを同時に取り出して，カードに書かれた数字を小さい方から順に$x,\ y,\ z$と定め，カードを袋に戻すという操作を行う．このような操作によって取りうるすべての整数の組$(x,\ y,\ z)$を，重複なく集めてできる集合
\[ U=\{ (x,\ y,\ z) \;|\; x,\ y,\ z \text{はカードを取り出して定められる数} \} \]
を全体集合と定める．また，集合$U$の部分集合$P,\ Q$をそれぞれ
$P=\{ (x,\ y,\ z) \;|\; z>x+y,\ (x,\ y,\ z) \in U \},$
$Q=\{ (x,\ y,\ z) \;|\; z<x+y,\ (x,\ y,\ z) \in U \}$
とする．
(1)集合$U$の要素の個数は$[アイウ]$である．また，$\overline{P} \cap \overline{Q}$に含まれる要素の個数は$[エオ]$である．
(2)集合$U$の要素$(x,\ y,\ z)$を
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^\prime=z-y \\
y^\prime=z-x \\
z^\prime=z
\end{array} \right. \]
で表わされる$(x^\prime,\ y^\prime,\ z^\prime)$に移す変換を$f$とする．このとき，集合$P$の要素$p$の変換$f$による像$p^\prime$は$p^\prime [カ]$を満たし，$p^\prime$の変換$f$による像$p^{\prime\prime}$は$p^{\prime\prime} [キ]$となる．
また，集合$Q$の要素の個数は$[クケコ]$である．
$[カ]$の解答群
\[ \begin{array}{lll}
① \in P \phantom{AAA} & ② \in Q & ③ \in \overline{P} \\
④ \in \overline{Q} & ⑤ \in \overline{P} \cap \overline{Q} \phantom{AAA} & ⑥ \not\in U
\end{array} \]
$[キ]$の解答群
\[ \begin{array}{llll}
① \in Q \phantom{AAA} & ② \in \overline{P} \phantom{AAA} & ③ \in \overline{Q} \phantom{AAA} & ④ \in \overline{P} \cap \overline{Q} \\
⑤ \not\in U & ⑥ =p & ④chi =p^\prime &
\end{array} \]
(3)$3$辺の長さがそれぞれ$x,\ y,\ z$である直角三角形を作ることができる$(x,\ y,\ z)$の組は$[サ]$通りある．また，$z=13$の場合，$3$辺の長さが$x,\ y,\ z$である鋭角三角形を作ることができる$(x,\ y,\ z)$の組は$[シス]$通りである．
袋の中に，$1$から$13$までの数字が書かれたカードが$1$枚ずつ入っている．この袋から$3$枚のカードを同時に取り出して，カードに書かれた数字を小さい方から順に$x,\ y,\ z$と定め，カードを袋に戻すという操作を行う．このような操作によって取りうるすべての整数の組$(x,\ y,\ z)$を，重複なく集めてできる集合
\[ U=\{ (x,\ y,\ z) \;|\; x,\ y,\ z \text{はカードを取り出して定められる数} \} \]
を全体集合と定める．また，集合$U$の部分集合$P,\ Q$をそれぞれ
$P=\{ (x,\ y,\ z) \;|\; z>x+y,\ (x,\ y,\ z) \in U \},$
$Q=\{ (x,\ y,\ z) \;|\; z<x+y,\ (x,\ y,\ z) \in U \}$
とする．
(1)集合$U$の要素の個数は$[アイウ]$である．また，$\overline{P} \cap \overline{Q}$に含まれる要素の個数は$[エオ]$である．
(2)集合$U$の要素$(x,\ y,\ z)$を
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^\prime=z-y \\
y^\prime=z-x \\
z^\prime=z
\end{array} \right. \]
で表わされる$(x^\prime,\ y^\prime,\ z^\prime)$に移す変換を$f$とする．このとき，集合$P$の要素$p$の変換$f$による像$p^\prime$は$p^\prime [カ]$を満たし，$p^\prime$の変換$f$による像$p^{\prime\prime}$は$p^{\prime\prime} [キ]$となる．
また，集合$Q$の要素の個数は$[クケコ]$である．
$[カ]$の解答群
\[ \begin{array}{lll}
① \in P \phantom{AAA} & ② \in Q & ③ \in \overline{P} \\
④ \in \overline{Q} & ⑤ \in \overline{P} \cap \overline{Q} \phantom{AAA} & ⑥ \not\in U
\end{array} \]
$[キ]$の解答群
\[ \begin{array}{llll}
① \in Q \phantom{AAA} & ② \in \overline{P} \phantom{AAA} & ③ \in \overline{Q} \phantom{AAA} & ④ \in \overline{P} \cap \overline{Q} \\
⑤ \not\in U & ⑥ =p & ④chi =p^\prime &
\end{array} \]
(3)$3$辺の長さがそれぞれ$x,\ y,\ z$である直角三角形を作ることができる$(x,\ y,\ z)$の組は$[サ]$通りある．また，$z=13$の場合，$3$辺の長さが$x,\ y,\ z$である鋭角三角形を作ることができる$(x,\ y,\ z)$の組は$[シス]$通りである．
私立 安田女子大学 2012年 第4問数字の$1$が記入されたカードが$2$枚，数字の$2$が記入されたカードが$1$枚，数字の$3$が記入されたカードが$2$枚，数字の$4$が記入されたカードが$1$枚，合計$6$枚のカードが箱の中に入っている．このとき，次の問いに答えよ．
(1)箱の中から$2$枚のカードを同時に取り出すとき，$2$枚のカードに書かれた数が同じになる確率を求めよ．
(2)箱の中から$2$枚のカードを同時に取り出すとき，$2$枚のカードに書かれた数の和が$5$になる確率を求めよ．
(3)箱の中から$3$枚のカードを同時に取り出すとき，$3$枚のカードに書かれた数がすべて異なる確率を求めよ．
(1)箱の中から$2$枚のカードを同時に取り出すとき，$2$枚のカードに書かれた数が同じになる確率を求めよ．
(2)箱の中から$2$枚のカードを同時に取り出すとき，$2$枚のカードに書かれた数の和が$5$になる確率を求めよ．
(3)箱の中から$3$枚のカードを同時に取り出すとき，$3$枚のカードに書かれた数がすべて異なる確率を求めよ．