袋の中に$1$から$8$までの数字が$1$つずつ重複せずに書かれた$8$枚のカードが入っている．袋の中からカードを$1$枚取り出して，もとに戻すという操作を$4$回繰り返す．$1$回目，$2$回目，$3$回目，$4$回目に取り出されたカードに書かれた数をそれぞれ$a,\ b,\ c,\ d$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$a+b+c+d=6$となる確率を求めよ．
(2)積$abcd$が奇数となる確率を求めよ．
(3)$(a-1)(b-1)(c-1)(d-1)=0$となる確率を求めよ．
(4)$\displaystyle \frac{1}{ab}+\frac{2}{cd}=\frac{1}{2}$となる確率を求めよ．

$3$枚のカードに，$1$，$2$，$3$の各数字が書かれている．この$3$枚のカードから$1$枚引き，そこに書いてある数字を記録してカードを戻す，という作業を$n$回繰り返す．ただし，何回目の作業であっても，どのカードを引く確率も等しいとする．一度も引かなかったカードがあった場合に限り，$n$回引いて得た数字のうち一番大きいものを得点として獲得するものとする．\\
例えば$n=5$のとき，引いた数字が順に$2$，$2$，$3$，$3$，$2$であれば$3$点を獲得し，$2$，$1$，$2$，$2$，$3$であれば得点は獲得しない．\\
以下の問いに答えよ．

(1)$1$点を獲得する確率を求めよ．
(2)$2$点を獲得する確率を求めよ．
(3)$3$点を獲得する確率を求めよ．
(4)獲得する得点の期待値が最大になるような作業の回数$n$の値を全て求め，そのときの期待値を求めよ．

$3$枚のカードに，$1$，$2$，$3$の各数字が書かれている．この$3$枚のカードから$1$枚引き，そこに書いてある数字を記録してカードを戻す，という作業を$n$回繰り返す．ただし，何回目の作業であっても，どのカードを引く確率も等しいとする．一度も引かなかったカードがあった場合に限り，$n$回引いて得た数字のうち一番大きいものを得点として獲得するものとする．\\
例えば$n=5$のとき，引いた数字が順に$2$，$2$，$3$，$3$，$2$であれば$3$点を獲得し，$2$，$1$，$2$，$2$，$3$であれば得点は獲得しない．\\
以下の問いに答えよ．

(1)$1$点を獲得する確率を求めよ．
(2)$2$点を獲得する確率を求めよ．
(3)$3$点を獲得する確率を求めよ．
(4)獲得する得点の期待値が最大になるような作業の回数$n$の値を全て求め，そのときの期待値を求めよ．

$3$枚のカードに，$1$，$2$，$3$の各数字が書かれている．この$3$枚のカードから$1$枚引き，そこに書いてある数字を記録してカードを戻す，という作業を$n$回繰り返す．ただし，何回目の作業であっても，どのカードを引く確率も等しいとする．一度も引かなかったカードがあった場合に限り，$n$回引いて得た数字のうち一番大きいものを得点として獲得するものとする．\\
例えば$n=5$のとき，引いた数字が順に$2$，$2$，$3$，$3$，$2$であれば$3$点を獲得し，$2$，$1$，$2$，$2$，$3$であれば得点は獲得しない．\\
以下の問いに答えよ．

(1)$1$点を獲得する確率を求めよ．
(2)$2$点を獲得する確率を求めよ．
(3)$3$点を獲得する確率を求めよ．
(4)獲得する得点の期待値が最大になるような作業の回数$n$の値を全て求め，そのときの期待値を求めよ．

$m$を9以下の自然数とする．箱の中に$m$枚のカードが入っており，それぞれのカードに$1,\ 2,\ \cdots,\ m$の数字がひとつずつ書かれている．ただし，異なるカードには異なる数字が書かれているものとする．この箱からカードを1枚引き，そのカードに書かれた数字を記録してから元に戻す．この操作を2回繰り返す．1回目に引いたカードに書かれた数字を$a$，2回目に引いたカードに書かれた数字を$b$とし，また，$a$を十の位，$b$を一の位とする，2桁の数を$n$とする．次の問に答えよ．

(1)$a+b$が3で割り切れる確率と$n$が3で割り切れる確率は等しいことを示せ．
(2)$a+2b$を3で割った余りと$n$を3で割った余りが等しくなる確率が$\displaystyle \frac{1}{3}$となる$m$をすべて求めよ．

$3$つの箱$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$があり，$1$から$4$までの数字を$1$つずつ書いた$4$枚のカードがそれぞれの箱に入っている．箱$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$から無作為に$1$枚ずつカードを引き，そこに書かれた数字を$a,\ b,\ c$とする．$p=a+b+c$とし，以下のルールで得点を定める．

(i) $a,\ b,\ c$すべてが同じ数字であるとき，得点を$3p$とする．
(ii) $a,\ b,\ c$の中に同じ数字が$2$つあり，残りが異なる数字であるとき，得点を$2p$とする．
(iii) $a,\ b,\ c$すべてが異なるとき，得点を$p$とする．

このとき，次の問いに答えなさい．

(1)得点が$7$である確率を求めなさい．
(2)得点が$10$以下である確率を求めなさい．
(3)得点の期待値を求めなさい．

袋の中に文字$\mathrm{K}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{I}$が書かれたカードがそれぞれ$1$枚ずつと，文字$\mathrm{O}$が書かれたカードが何枚か入っている．いま，袋の中から$1$枚ずつカードを取り出し，$\mathrm{K}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{O}$のすべての文字のカードがそれぞれ$1$枚以上出たところで終了する．ただし，一度取り出したカードは袋の中には戻さないものとする．

(1)袋の中に文字$\mathrm{O}$が書かれたカードが$7$枚あり，合計$10$枚のカードが入っている場合を考える．$3$枚目に文字$\mathrm{O}$のカードを取り出す確率は$[ク]$であり，$1$枚目または$3$枚目に文字$\mathrm{O}$のカードを取り出す確率は$[ケ]$である．また，最後に取り出したカードに書かれている文字が$\mathrm{K}$である確率は$[コ]$である．
(2)袋の中に文字$\mathrm{O}$が書かれたカードが$n$枚（$n \geq 2$）あり，合計$n+3$枚のカードが入っている場合を考える．$k$枚目で終了する確率を$p_k$とすると，$p_4=[サ]$であり，$5 \leq k \leq n+3$に対しては$p_k=[シ]$である．いま，終了した時点で袋の中に残っているカードの枚数の期待値を$E_n$とすると，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{E_n}{n}= [ス]$が成り立つ．

$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の係数$a,\ b$を次のようにして決める．\\
$1$から$6$までの目のある正$6$面体のサイコロを$2$回投げる．$1$回目に出た目の数を$a$，$2$回目に出た目の数を$b$とする．このとき$2$次方程式の解が実数である確率は
\[ \frac{[(1)][(2)]}{[(3)][(4)]} \]
である．\\
\quad 次に$m$を自然数として，$1$から$4m$まで書かれた$4m$枚のカードから無作為に$1$枚のカードを選び，書かれた数の正の平方根を$a$とする．選んだカードをもとに戻し，再び無作為に$1$枚のカードを選び，書かれた数を$b$とする．このとき$x^2+ax+b=0$の解が実数である確率は
\[ \frac{[(5)]m-[(6)]}{[(7)][(8)]m} \]
である．

$n$を$2$以上$9$以下の自然数とする．$1$から$n$までの数字が書いてある$n$枚のカードを入れた袋から，カードを順に$2$枚引いて，引いた順に右から並べて$2$桁の数を作り，それらのカードを袋に戻す試行を考える．次の各問いに答えよ．

(1)$n=9$のとき，この試行によって得られた$2$桁の数が$3$の倍数である確率は$\displaystyle\frac{[ア]}{[イ]}$である．
(2)この試行を$2$回繰り返すとき，$1$回目の数が$2$回目の数以上となる確率を$P(n)$とする．このとき，$P(5)=\displaystyle\frac{[ウエ]}{[オカ]}$である．また，$P(n) \geq \displaystyle\frac{7}{13}$となる最大の$n$の値は[キ]である．

箱の中に$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10$の数字が$1$つずつ書かれた$10$枚のカードがある．箱の中から，カードを同時に$3$枚取り出すとき，$3$枚のカードのなかで最大の値が$6$となる確率を$p$とする．$\displaystyle \frac{1}{2p}$の値を求めよ．