袋A，袋Bのそれぞれに，1から$N$の自然数がひとつずつ書かれた$N$枚のカードが入っている．これらのカードをよくかきまぜて取り出していく．以下の問いに答えよ．

(1)$N=4$とする．袋A，Bのそれぞれから同時に1枚ずつカードを取り出し，数字が同じかどうかを確認する操作を繰り返す．ただし，取り出したカードは元には戻さないものとする．4回のカードの取り出し操作が終わった後，数字が一致していた回数を$X$とする．$X=1,\ X=2,\ X=3,\ X=4$となる確率をそれぞれ求めよ．また$X$の期待値を求めよ．
(2)$N=3$とし，$n$は自然数とする．袋A，Bのそれぞれから同時に1枚ずつカードを取り出し，カードの数字が一致していたら，それらのカードを取り除き，一致していなかったら，元の袋に戻すという操作を繰り返す．カードが初めて取り除かれるのが$n$回目で起こる確率を$p_n$とし，$n$回目の操作ですべてのカードが取り除かれる確率を$q_n$とする．$p_n$と$q_n$を求めよ．

袋$\mathrm{A}$，袋$\mathrm{B}$のそれぞれに，$1$から$N$の自然数がひとつずつ書かれた$N$枚のカードが入っている．これらのカードをよくかきまぜて取り出していく．以下の問いに答えよ．

(1)$N=4$とする．袋$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$のそれぞれから同時に$1$枚ずつカードを取り出し，数字が同じかどうかを確認する操作を繰り返す．ただし，取り出したカードは元には戻さないものとする．$4$回のカードの取り出し操作が終わった後，数字が一致していた回数を$X$とする．$X=1,\ X=2,\ X=3,\ X=4$となる確率をそれぞれ求めよ．また$X$の期待値を求めよ．
(2)$N=3$とし，$n$は自然数とする．袋$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$のそれぞれから同時に$1$枚ずつカードを取り出し，カードの数字が一致していたら，それらのカードを取り除き，一致していなかったら，元の袋に戻すという操作を繰り返す．カードが初めて取り除かれるのが$n$回目で起こる確率を$p_n$とし，$n$回目の操作ですべてのカードが取り除かれる確率を$q_n$とする．$p_n$と$q_n$を求めよ．

$n$を2以上の整数とする．1から$n$までの整数が1つずつ書かれている$n$枚のカードがある．ただし，異なるカードには異なる整数が書かれているものとする．この$n$枚のカードから，1枚のカードを無作為に取り出して，書かれた整数を調べてからもとに戻す．この試行を3回繰り返し，取り出したカードに書かれた整数の最小値を$X$，最大値を$Y$とする．次の問に答えよ．ただし，$j$と$k$は正の整数で，$j+k\leqq n$を満たすとする．また，$s$は$n-1$以下の正の整数とする．

(1)$X \geqq j$かつ$Y \leqq j+k$となる確率を求めよ．
(2)$X=j$かつ$Y=j+k$となる確率を求めよ．
(3)$Y-X=s$となる確率を$P(s)$とする．$P(s)$を求めよ．
(4)$n$が偶数のとき，$P(s)$を最大にする$s$を求めよ．

$n$を自然数とする．袋の中に$n$枚のカードが入っていて，それらに$1$から$n$までの自然数がひとつずつ書かれている．袋からカードを$1$枚取り出し，書かれている数を記録し，カードを袋に戻すという試行を$3$回繰り返す．$3$回の試行で記録された数の最大値を$X$とするとき，$X$の期待値を求めよ．

箱の中に，数字の$1$が書かれたカードと数字の$2$が書かれたカードが，それぞれ$1$枚ずつ入っている．この箱の中から$1$枚のカードを取り出し，数字を記録して箱に戻す．これを$n$回繰り返したとき，記録された数字の和が$3$の倍数である確率を$P_n$とする．

(1)$P_1,\ P_2$を求めよ．
(2)$P_{n+1}$を$P_n$を用いて表せ．
(3)$P_n$を$n$を用いて表せ．

箱の中に$1$から$9$までの異なる整数が$1$つずつ書かれたカードが$9$枚入っている．「箱からカードを$1$枚引き，カードに書かれた整数を記録して箱の中に戻す」という操作を$3$回繰り返す．記録された$3$つの整数の最小値を$m$，最大値を$M$とする．次の問いに答えよ．

(1)$m=M$となる確率を求めよ．
(2)$5<m$となる確率および$M<5$となる確率を求めよ．
(3)$m \leqq 5 \leqq M$となる確率を求めよ．

箱の中に$1$から$9$までの異なる整数が$1$つずつ書かれたカードが$9$枚入っている．「箱からカードを$1$枚引き，カードに書かれた整数を記録して箱の中に戻す」という操作を$3$回繰り返す．記録された$3$つの整数の最小値を$m$，最大値を$M$とする．次の問いに答えよ．

(1)$5<m$となる確率および$M<5$となる確率を求めよ．
(2)$m \leqq 5 \leqq M$となる確率を求めよ．
(3)$k=1,\ 2,\ \cdots,\ 9$に対して，$m \leqq k \leqq M$となる確率を$p(k)$とする．$p(k)$の最大値，最小値を求めよ．

$N$を$2$以上の自然数とする．$1$から$N$までの番号を$1$つずつ書いた$N$枚のカードから$2$枚を同時に取り出し，そのうち大きい番号を$X$とし，小さい番号を$Y$とする．次の問に答えよ．

(1)$i$を$1$以上$N$以下の自然数とするとき，$X=i$となる確率$p_i$および$Y=i$となる確率$q_i$を求めよ．
(2)$X$の期待値$E_1$および$Y$の期待値$E_2$を求めよ．

1個買うごとに景品を1個もらえる商品がある．景品は全部で$n$種類あり，それぞれ1から$n$までの番号がつけてある．また，1から$n$までの数字が1つずつ記入された$n$枚のカードがある．$n$枚のカードは外から数字が見えない箱の中に入れてあり，購入した商品1個ごとに箱の中から1枚引いて数字を確認して景品と交換する．引いたカードは，そのつど箱に戻すものとする．もらえる景品の番号は，引いたカードの数字と同じ番号のものとする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)この商品を$m$個購入したとき，番号1の景品が少なくとも1個もらえる確率を求めよ．ただし，$m>n$とする．
(2)この商品を$n$個購入したとき，全種類の景品がそろわない確率を求めよ．
(3)この商品を$n+1$個購入したとき，全種類の景品がもらえる確率を求めよ．

$1$から$n$までの番号をつけた$n$枚のカードがある．次の問いに答えよ．ただし，$n$は自然数で$n \geqq 5$とする．

(1)$n=5$とする．$5$枚のカードから同時に$2$枚を取り出すとき，取り出した番号の和の期待値を求めよ．
(2)$n$を偶数とする．$n$枚のカードから同時に$k$枚を取り出すとき，取り出した番号の積が偶数である確率を$n$と$k$を用いて表せ．ただし，$\displaystyle 2 \leqq k \leqq \frac{n}{2}$とする．
(3)$n$を偶数とする．$n$枚のカードから同時に$3$枚を取り出すとき，取り出した番号の和が偶数である確率を求めよ．