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私立 自治医科大学 2013年 第17問赤いカードが$6$枚，白いカードが$2$枚入っている箱の中から，カード$1$枚取り出し，色を記録してから，取り出したカードをもとの箱に戻すことを$10$回続けて行うこととする．$8$回以上赤いカードが出る確率を$p$，$8$回以上白いカードが出る確率を$q$としたとき，$\displaystyle \frac{109p}{7q} \times 3^{-8}$の値を求めよ．
私立 自治医科大学 2013年 第18問箱の中に赤いカード$6$枚，白いカード$5$枚，黒いカード$4$枚が入っている．この箱の中から$4$枚のカードを同時に取り出すとき，$2$枚だけが同色で，残りの$2$枚はそれぞれ異なる色となる確率を$p$とする．$\displaystyle \frac{91p}{6}$の値を求めよ．
私立 昭和大学 2013年 第1問次の各問に答えよ．
(1)空間に点$\mathrm{P}(-4,\ -6,\ 3)$がある．いま，$2$点$\mathrm{A}(2,\ -3,\ 0)$，$\mathrm{B}(-4,\ 0,\ 12)$を結ぶ直線上に点$\mathrm{H}$をとり，直線$\mathrm{PH}$が直線$\mathrm{AB}$と垂直になるようにする．点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(2)次の$(ⅰ),\ (ⅱ)$に答えよ．
(i) $\displaystyle \tan \frac{\theta}{2}=t$とおく．$\sin \theta$を$t$を用いて表せ．
(ii) $\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=-\frac{1}{5} (-\pi<\theta<\pi)$とする．$\displaystyle \tan \frac{\theta}{2}$の値を求めよ．
(3)$1$から$n$までの番号が$1$つずつ書かれた$n$枚の同じ形のカードがある．ただし，$n$は$2$以上の整数である．この$n$枚のカードから，元に戻さずに$1$枚ずつ$2$回無作為に抜き出すとする．$2$回目に抜き出したカードの番号が$1$回目の番号より大きければ，$2$回目のカードの番号を得点とする．そうでなければ得点は$0$とする．次の問に答えよ．
(i) $m$は$1 \leqq m \leqq n$を満たす整数とする．$2$回目のカードの番号が$m$となる確率を求めよ．
(ii) $m$は$(ⅰ)$と同じとする．得点が$m$となる確率を求めよ．
(iii) 得点が$0$となる確率を求めよ．
\mon[$\tokeishi$] 得点の期待値を求めよ．
(1)空間に点$\mathrm{P}(-4,\ -6,\ 3)$がある．いま，$2$点$\mathrm{A}(2,\ -3,\ 0)$，$\mathrm{B}(-4,\ 0,\ 12)$を結ぶ直線上に点$\mathrm{H}$をとり，直線$\mathrm{PH}$が直線$\mathrm{AB}$と垂直になるようにする．点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(2)次の$(ⅰ),\ (ⅱ)$に答えよ．
(i) $\displaystyle \tan \frac{\theta}{2}=t$とおく．$\sin \theta$を$t$を用いて表せ．
(ii) $\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=-\frac{1}{5} (-\pi<\theta<\pi)$とする．$\displaystyle \tan \frac{\theta}{2}$の値を求めよ．
(3)$1$から$n$までの番号が$1$つずつ書かれた$n$枚の同じ形のカードがある．ただし，$n$は$2$以上の整数である．この$n$枚のカードから，元に戻さずに$1$枚ずつ$2$回無作為に抜き出すとする．$2$回目に抜き出したカードの番号が$1$回目の番号より大きければ，$2$回目のカードの番号を得点とする．そうでなければ得点は$0$とする．次の問に答えよ．
(i) $m$は$1 \leqq m \leqq n$を満たす整数とする．$2$回目のカードの番号が$m$となる確率を求めよ．
(ii) $m$は$(ⅰ)$と同じとする．得点が$m$となる確率を求めよ．
(iii) 得点が$0$となる確率を求めよ．
\mon[$\tokeishi$] 得点の期待値を求めよ．
私立 日本女子大学 2013年 第2問$1$から$100$までの番号を$1$つずつ書いた$100$枚のカードがある．
(1)これらのカードから$1$枚を取り出すとき，そのカードの番号が次のような数である確率を求めよ．
(i) $3$の倍数
(ii) $400$の約数
(iii) $100$の約数または$70$の約数
(2)これらのカードから同時に$2$枚を取り出すとき，この$2$枚のカードの番号の和が次のような数である確率を求めよ．
(i) $6$以下
(ii) $20$以下
(1)これらのカードから$1$枚を取り出すとき，そのカードの番号が次のような数である確率を求めよ．
(i) $3$の倍数
(ii) $400$の約数
(iii) $100$の約数または$70$の約数
(2)これらのカードから同時に$2$枚を取り出すとき，この$2$枚のカードの番号の和が次のような数である確率を求めよ．
(i) $6$以下
(ii) $20$以下
私立 沖縄国際大学 2013年 第4問以下の各問いに答えなさい．
(1)次の値を求めなさい．
\[ ① 4! \qquad ② \comb{10}{4} \]
(2)ジョーカーを除いた$1$組$52$枚のトランプからカードを$1$枚引くとするとき，以下の各問いに答えなさい．
\mon[$①$] カードがハート，または二桁である事象の場合の数を求めなさい．
\mon[$②$] $①$の事象を$A$としたとき，$A$の事象が生じる確率を求めなさい．
\mon[$③$] 事象$A$が生じた際には$780$円，それ以外の事象が生じた際には$260$円もらえるとしたとき，その期待値を求めなさい．
(1)次の値を求めなさい．
\[ ① 4! \qquad ② \comb{10}{4} \]
(2)ジョーカーを除いた$1$組$52$枚のトランプからカードを$1$枚引くとするとき，以下の各問いに答えなさい．
\mon[$①$] カードがハート，または二桁である事象の場合の数を求めなさい．
\mon[$②$] $①$の事象を$A$としたとき，$A$の事象が生じる確率を求めなさい．
\mon[$③$] 事象$A$が生じた際には$780$円，それ以外の事象が生じた際には$260$円もらえるとしたとき，その期待値を求めなさい．
私立 藤田保健衛生大学 2013年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$0 \leqq \theta<2\pi$とする．$2 \sin^2 \theta-3 \cos \theta-3 \geqq 0$を満足する$\theta$の範囲は$[ ]$であり，この$\theta$に対する$\tan \theta$の最大値は$[ ]$である．
(2)数字$1$のカード$1$枚，数字$3$のカード$2$枚，数字$a$（$a$は$1,\ 3,\ 6$以外の正の整数）のカード$2$枚，数字$6$のカード$b$枚の中から無作為に$1$枚のカードを取り出したとき，そのカードに記された数字の期待値が$\displaystyle \frac{9}{2}$になった．このとき$(a,\ b)$の組をすべて求めると$(a,\ b)=[ ]$である．
(3)$f(x)=x^6-2x^4-x^2+2$とする．$f(x)$を整数の範囲で因数分解すると$[ ]$となり，複素数の範囲で因数分解すると$[ ]$となる．
(1)$0 \leqq \theta<2\pi$とする．$2 \sin^2 \theta-3 \cos \theta-3 \geqq 0$を満足する$\theta$の範囲は$[ ]$であり，この$\theta$に対する$\tan \theta$の最大値は$[ ]$である．
(2)数字$1$のカード$1$枚，数字$3$のカード$2$枚，数字$a$（$a$は$1,\ 3,\ 6$以外の正の整数）のカード$2$枚，数字$6$のカード$b$枚の中から無作為に$1$枚のカードを取り出したとき，そのカードに記された数字の期待値が$\displaystyle \frac{9}{2}$になった．このとき$(a,\ b)$の組をすべて求めると$(a,\ b)=[ ]$である．
(3)$f(x)=x^6-2x^4-x^2+2$とする．$f(x)$を整数の範囲で因数分解すると$[ ]$となり，複素数の範囲で因数分解すると$[ ]$となる．
私立 日本獣医生命科学大学 2013年 第3問$1$から$8$までの各数字が$1$枚に$1$つずつ記入された$8$枚のカードがある．$7$枚を選んで左から順に並べて$7$桁の整数を作るとき，
(1)その整数が$3$の倍数になる場合は何通りか．
(2)その整数が$15$の倍数になる場合は何通りか．
(1)その整数が$3$の倍数になる場合は何通りか．
(2)その整数が$15$の倍数になる場合は何通りか．
私立 桜美林大学 2013年 第4問$0$，$1$，$2$，$3$，$4$の数字が$1$つずつ書かれたカードが$2$枚ずつ合計$10$枚ある．この中から同時に$3$枚のカードを取り出すとき，以下の問に答えなさい．
(1)取り出したカードを並べて$3$桁の自然数をつくるとき，$213$以下となるものは$[ル][レ]$個ある．
(2)取り出したカードの中に$0$のカードが含まれている確率は$\displaystyle \frac{[ロ]}{[ワ][ヲ]}$である．
(3)取り出したカードの数字がいずれも$3$以下である確率は$\displaystyle \frac{[ガ]}{[ギ][グ]}$である．
(4)取り出したカードの数字の最大値が$3$である確率は$\displaystyle \frac{[ゲ]}{[ゴ][ザ]}$である．
(1)取り出したカードを並べて$3$桁の自然数をつくるとき，$213$以下となるものは$[ル][レ]$個ある．
(2)取り出したカードの中に$0$のカードが含まれている確率は$\displaystyle \frac{[ロ]}{[ワ][ヲ]}$である．
(3)取り出したカードの数字がいずれも$3$以下である確率は$\displaystyle \frac{[ガ]}{[ギ][グ]}$である．
(4)取り出したカードの数字の最大値が$3$である確率は$\displaystyle \frac{[ゲ]}{[ゴ][ザ]}$である．
私立 大阪工業大学 2013年 第1問次の空所を埋めよ．
(1)$2$次方程式$x^2-16x+4=0$の$2$つの実数解を$\alpha,\ \beta$とすると，$\sqrt{\alpha} \sqrt{\beta}=[ア]$であり，$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\alpha}}+\frac{1}{\sqrt{\beta}}=[イ]$である．
(2)三角関数の合成により$\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta=2 \sin (\theta+[ウ])$と表される．ただし，$0<[ウ]<2\pi$とする．また，$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta=2$を満たす$\theta$は，$\theta=[エ]$である．
(3)実数$x,\ y$が$2$つの不等式$x^2+y^2 \leqq 1$，$y \geqq 0$を同時に満たすとき，$y-x$の最小値は$[オ]$であり，最大値は$[カ]$である．
(4)$1$から$15$までの数を$1$つずつ書いた$15$枚のカードの中から，同時に$2$枚のカードを引く．このとき，カードの数がどちらも偶数である確率は$[キ]$であり，$2$枚のカードの数の積が$7$の倍数である確率は$[ク]$である．
(1)$2$次方程式$x^2-16x+4=0$の$2$つの実数解を$\alpha,\ \beta$とすると，$\sqrt{\alpha} \sqrt{\beta}=[ア]$であり，$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\alpha}}+\frac{1}{\sqrt{\beta}}=[イ]$である．
(2)三角関数の合成により$\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta=2 \sin (\theta+[ウ])$と表される．ただし，$0<[ウ]<2\pi$とする．また，$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta=2$を満たす$\theta$は，$\theta=[エ]$である．
(3)実数$x,\ y$が$2$つの不等式$x^2+y^2 \leqq 1$，$y \geqq 0$を同時に満たすとき，$y-x$の最小値は$[オ]$であり，最大値は$[カ]$である．
(4)$1$から$15$までの数を$1$つずつ書いた$15$枚のカードの中から，同時に$2$枚のカードを引く．このとき，カードの数がどちらも偶数である確率は$[キ]$であり，$2$枚のカードの数の積が$7$の倍数である確率は$[ク]$である．
私立 大阪工業大学 2013年 第1問次の空所を埋めよ．
(1)$2$次方程式$x^2-16x+4=0$の$2$つの実数解を$\alpha,\ \beta$とすると，$\sqrt{\alpha} \sqrt{\beta}=[ア]$であり，$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\alpha}}+\frac{1}{\sqrt{\beta}}=[イ]$である．
(2)三角関数の合成により$\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta=2 \sin (\theta+[ウ])$と表される．ただし，$0<[ウ]<2\pi$とする．また，$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta=2$を満たす$\theta$は，$\theta=[エ]$である．
(3)実数$x,\ y$が$2$つの不等式$x^2+y^2 \leqq 1$，$y \geqq 0$を同時に満たすとき，$y-x$の最小値は$[オ]$であり，最大値は$[カ]$である．
(4)$1$から$15$までの数を$1$つずつ書いた$15$枚のカードの中から，同時に$2$枚のカードを引く．このとき，カードの数がどちらも偶数である確率は$[キ]$であり，$2$枚のカードの数の積が$7$の倍数である確率は$[ク]$である．
(1)$2$次方程式$x^2-16x+4=0$の$2$つの実数解を$\alpha,\ \beta$とすると，$\sqrt{\alpha} \sqrt{\beta}=[ア]$であり，$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\alpha}}+\frac{1}{\sqrt{\beta}}=[イ]$である．
(2)三角関数の合成により$\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta=2 \sin (\theta+[ウ])$と表される．ただし，$0<[ウ]<2\pi$とする．また，$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta=2$を満たす$\theta$は，$\theta=[エ]$である．
(3)実数$x,\ y$が$2$つの不等式$x^2+y^2 \leqq 1$，$y \geqq 0$を同時に満たすとき，$y-x$の最小値は$[オ]$であり，最大値は$[カ]$である．
(4)$1$から$15$までの数を$1$つずつ書いた$15$枚のカードの中から，同時に$2$枚のカードを引く．このとき，カードの数がどちらも偶数である確率は$[キ]$であり，$2$枚のカードの数の積が$7$の倍数である確率は$[ク]$である．